高考第二轮专题复习3函数与方程及函数的实际应用.docx

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高考第二轮专题复习3函数与方程及函数的实际应用

高考专题训练三　函数与方程及函数的实际应用

班级________　姓名________　时间：

45分钟　分值：

75分　总得分________

一、选择题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．（2011·西安五校第一次模拟考试）“a<－2”是“函数f（x）＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

解析：

当a<－2时，由f（x）＝ax＋3＝0，得x＝－

∈

⊆[－1,2]；由函数f（x）＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0，得x0＝－

∈[－1,2]，此时a<－2可能不成立，可能有a＝3.因此，“a<－2”是“函数f（x）＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的充分非必要条件，故选A.

答案：

A

2．（2011·山东省原创卷八）已知函数f（x）＝（

）x－log2x，正实数a，b，c成公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）<0.若实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，则x0与c的大小关系是（　　）

A．x0c

C．x0≤cD．x0≥c

解析：

如图，在同一平面直角坐标系中分别画出函数g（x）＝（

）x和h（x）＝log2x的图象，由题意知0

答案：

A

3．（2011·济宁一模）已知a是函数f（x）＝2x－log

x的零点，若0

A．f（x0）＝0B．f（x0）<0

C．f（x0）>0D．f（x0）的符号不确定

解析：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数且f（a）＝0，又0

答案：

B

4．（2011·山东省高考调研卷）已知函数f（x）＝ax2＋bx－1（a，b∈R且a>0）有两个零点，其中一个零点在区间（1,2）内，则a－b的取值范围为（　　）

A．（－1，＋∞）B．（－∞，－1）

C．（－∞，1）D．（－1,1）

解析：

依题意得f

（1）f

（2）<0⇔（a＋b－1）（4a＋2b－1）<0，

即

或

（不合题意，舍去），满足不等式组的区域如图阴影部分所示（不包括边界）．

令z＝a－b，即b＝a－z.当它经过两直线

的交点A（0,1）时，－z取得最大值，即－zmax＝1，即z≥－1.又不等式组的区域不包括边界，所以z>－1.也就是a－b>－1，故选A.

答案：

A

5．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）－log4|x|的零点个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

函数周期为2，画出y1＝log4|x|与y2＝f（x）在（0，＋∞）上的大致图象，又y＝f（x）－log4|x|为偶函数，可得答案选D.

答案：

D

6．设函数y＝f（x）在区间（a，b）上是连续的，且f（a）·f（b）<0，取x0＝

，若f（a）·f（x0）<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为（　　）

A．（a，b）B．（a，x0）

C．（x0，b）D．不能确定

解析：

利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f（a）·f（x0）<0，则取其对应的端点（a，x0）为新的区间．

答案：

B

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

7．（2011·聊城模拟

（一））若函数f（x）＝ex－a－

恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：

令f（x）＝ex－a－

＝0，得ex＝a＋

，设y1＝ex，y2＝a＋

，

分别作出y1、y2的图象，观察图象可知a≤0时，两图象只有一个交点．

答案：

a≤0

8．（2011·扬州市四星级高中4月联考）已知函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝log2x＋x，h（x）＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是________．

解析：

令y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，y4＝－x，

图象如图，则a

答案：

a

9．（2011·大联考）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表

低谷时间段用电价格表

高峰月用电量

（单位：

千瓦时）

高峰电价

（单位：

千瓦时）

低谷月用电量

（单位：

千瓦时）

低谷电价

（单位：

千瓦时）

50及以下的部分

0.568

50及以下的部分

0.288

超过50至

200的部分

0.598

超过50至

200的部分

0.318

超过200的部分

0.668

超过200的部分

0.388

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）．

解析：

①高峰时段用电量50及以下部分：

50×0.568＝28.4（元）；

②高峰时段用电量50～200的部分：

150×0.598＝89.7（元）；

③低谷时段用电量50及以下的部分：

50×0.288＝14.4（元）；

④低谷时段用电量50～200的部分：

50×0.318＝15.9（元）；

∴共用28.4＋89.7＋14.4＋15.9＝148.4（元）．

答案：

148.4

10．已知函数f（x）＝ax＋x－b的零点x0∈（n，n＋1）（n∈Z），其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.

解析：

f（x）＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝

＝log32

答案：

－1

三、解答题：

本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（12分）已知函数f（x）＝ax＋

（a>1）．

（1）求证：

函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数；

（2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.01）．

分析：

（1）可利用定义证明；

（2）利用二分法确定方程的根．

→

→

解：

（1）证明：

任取x1、x2∈（－1，＋∞），且x11，∴ax2－ax1>0.

又∵x1＋1>0，x2＋1>0，

∴

－

＝

>0.

于是f（x2）－f（x1）＝ax2－ax1＋

－

>0.

故函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．

（2）由

（1）知，当a＝3时，f（x）＝3x＋

在（－1，＋∞）上为增函数，且在（0，＋∞）上单调递增，因此f（x）＝0的正根至多有一个，以下用二分法求这一正根：

由于f（0）＝－1<0，f

（1）＝

>0，取[0,1]为初始区间，用二分法逐次计算．列表如下：

区间

中点

中点函数值

[0,1]

0.5

0.732

[0,0.5]

0.25

－0.084

[0.25,0.5]

0.375

0.322

[0.25,0.375]

0.3125

0.124

[0.25,0.3125]

0.28125

0.021

[0.25,0.28125]

0.2656

－0.032

[0.2656,0.28125]

0.27343

－0.00552

[0.27343,0.28125]

由于区间[0.27343,0.28125]的长度为0.00782<0.01，所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.

点评：

（1）用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．

（2）用二分法求函数零点的近似值x0，要求精确度为ε，即零点的近似值x0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x0的选取有以下方法：

①若区间（a，b）使|a－b|<ε，则因零点值α∈（a，b），所以a（或b）与真值α满足|a－α|<ε或|b－α|<ε，所以只需取零点近似值x0＝a（或b）；

②若区间[an，bn]使|an－bn|<2ε，取零点近似值x0＝

，则|x0－α|<

|an－bn|<ε.

12．（13分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0

（1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

（2）年销售量关于x的函数为y＝3240（－x2＋2x＋

），则当x为何值时，本年度的年利润最大？

最大利润为多少？

解：

（1）由题意得，上年度的利润为（13－10）×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10（1＋x）；本年度每辆车的出厂价为13（1＋0.7x）；本年度年销售量为5000（1＋0.4x），因此本年度的利润为y＝[13（1＋0.7x）－10（1＋x）]·5000（1＋0.4x）＝（3－0.9x）·5000（1＋0.4x）＝－1800x2＋1500x＋15000（015000，解得0

，x在此范围内，本年度的年利润比上年度有所增加．

（2）本年度的利润为

f（x）＝（3－0.9x）·3240（－x2＋2x＋

）＝3240×（0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5）．

则f′（x）＝3240（2.7x2－9.6x＋4.5）＝972（9x－5）（x－3），由f′（x）＝0，解得x＝

或x＝3，当x∈（0，

）时，f′（x）>0，f（x）是增函数；当x∈（

，1）时，f′（x）<0，f（x）是减函数．∴当x＝

时，f（x）取极大值f（

）＝20000万元，∵f（x）在（0,1）上只有一个极大值，∴它是最大值，∴当x＝

时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．