第8讲 立体几何中的交线问题解析版新高考数学立体几何压轴小题专题突破.docx

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第8讲立体几何中的交线问题解析版新高考数学立体几何压轴小题专题突破

第8讲立体几何的交线问题

一．选择题（共12小题）

1．（2020秋•庄河市校级期中）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的余弦值为　　

A．B．C．D．

【解析】解：

如图，

平面，平面，平面，

可知，，，

△是正三角形，，所成角就是，

则，所成角的余弦值为．

故选：

．

2．（2021春•南通月考）平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为　　

A．B．C．D．

【解析】解：

如图所示，平面过正方体的顶点，

平面平面，平面平面，平面平面，

，又，

则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为．

故选：

．

3．（2018春•五华区校级月考）过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为　　

A．B．C．D．

【解析】解：

如图，，，

平面，则，

同理，则平面，

过正方体的顶点的平面与直线垂直，

平面平面，

平面平面，平面平面，

直线与直线所成角即为与所成角．

△为等边三角形，直线与直线所成角的大小为．

故选：

．

4．（2020秋•宜春期末）平面过正方体的顶点，，点、分别为，的中点，，若平面，平面，则直线与直线所成角的正切值为　　

A．B．C．D．

【解析】解：

建立空间直角坐标系如图所示，设，

则，0，，，2，，，1，，，2，，

因为，所以，

则，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

已知平面的法向量为，

设直线，的方向向量分别为，

因为平面，，

所以，

令，则，

又平面，

所以，

令，，

所以，

设直线与直线所成的角为，

则，所以，

则，

故直线与直线所成角的正切值为．

故选：

．

5．（2021•全国一模）过正方体顶点作平面，使平面，和的中点分别为和，则直线与平面所成角的正弦值为　　

A．B．C．D．

【解析】解：

如图所示，平面，则与平面所成的角即为与平面所成的角，

取的中点，连结，，设交点为，

由正方体的结构特征可得，为正方体的中心，

因为，，，，平面，

所以平面，因为，分别为，的中点，所以，

所以平面，

过点作的延长线交于点，

则，连结，则为线在平面的投影，

所以为直线和平面所成的角，

设正方体的棱长为，则，，

所以．

故选：

．

6．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是　　

A．B．平面C．平面D．

【解析】解：

在正方体中，，

平面，平面

平面．

又平面平面，

．故正确；

平面，平面，选项正确；

，平面，平面，故正确．

从而选．

故选：

．

7．（2020•厦门二模）过正方体的顶点作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角均相等，则满足条件的平面的个数是　　

A．1B．4C．6D．8

【解析】解：

在正方体中，

与，，平行的直线各有4条，，是正三棱锥，

，，与平面所成角相等，

正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个，

故选：

．

8．（2020秋•寻乌县校级月考）过正方体的顶点作直线，使与直线所成的角为，且与平面所成的角为，则这样的直线的条数是　　

A．1B．2C．3D．4

【解析】解：

如图所示，在平面内，以点为圆心，半径为画圆，

则点与此圆上的点的连线满足：

与平面所成的角为．

所以满足与直线所成的角为有且只有2条，

故选：

．

9．（2021•邯郸一模）过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有　　

A．1条B．2条C．3条D．4条

【解析】解：

因为几何体为正方体，

所以，

所以直线所成的角等于角，同理角；

又因为直线，，

所以平面，

所以角是与平面所成的角，为，

所以过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线是直线共有1条；

故选：

．

10．（2020•东湖区校级模拟）在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为　　

A．B．C．D．3

【解析】解：

如图，在棱长为2的正方体中，记的中点为，

连结，，，则平面即为平面，

证明如下：

由正方体的性质可知：

，则，，，四点共面，

记的中点为，连结，由题意得，连结，则，

平面，则，

同理可证，，平面，

平面即平面，且四边形即平面截正方体所得截面，

正方体的棱长为2，由题意知四边形是菱形，

其对角线，，

平面截正方体所得的截面面积为：

．

故选：

．

11．（2021春•河南月考）设点是正方体的对角线的中点，平面过点，且与直线垂直，平面平面，则与所成角的余弦值为　　

A．B．C．D．

【解析】解：

由题意知，直线与所成角等于，．

故选：

．

12．（2020秋•和平区校级月考）已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有　　

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解析】解：

，过在空间作平面，

使平面与直线和所成的角都等于，

即过点在空间作平面，使平面与直线和所成的角都等于．

令的角平分线和外角平分线分别为和，

要使平面过点，且与、所成的角都为，

则该平面必过或，

，

当过时，平面与、所成角的范围为，，

绕旋转平面，得到符合条件的平面有2个，

，当过时，平面与、所成角的范围为，，

当平面平面，符合条件，故存在一个平面．

综上，满足条件的平面有3个．

故选：

．

二．填空题（共3小题）

13．平面过正方体的棱，平面，平面，则直线与直线所成角的正弦值为　　．

【解析】解：

由题意，在正方体的一边在补形一个正方体，平面过棱，的屏幕为，且平面，平面，如图，可知为对角线，

通过平移，，

直线与直线所成角为，

，，都是正方体的对角线，

△为等边三角形，

因此

故答案为：

．

14．如图，过正方体的顶点，与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为　　．

【解析】解：

如图所示，连接、，

在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，

．

故答案为：

．

15．（2020•昭通二模）如图所示，正方体的棱长为1，，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为　　．

【解析】解：

平面平面，又平面，

平面，，

过作，交于，将平面展开，如图：

设，，

，

当时，取最小值．

故答案为：

．