高考数学考点测试18同角三角函数基本关系与诱导公式.docx
《高考数学考点测试18同角三角函数基本关系与诱导公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学考点测试18同角三角函数基本关系与诱导公式.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高考数学考点测试18同角三角函数基本关系与诱导公式
考点测试18 同角三角函数基本关系与诱导公式
高考概览
考纲研读
1.理解同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式
一、基础小题
1．计算：
sin600°＝（ ）
A.B．－C.D．－
答案 D
解析 sin600°＝－sin60°＝－.故选D.
2．若x是第四象限角，且sinx＝－，则cosx＝（ ）
A.B．－C.D．－
答案 C
解析 x是第四象限角，cosx＞0，cosx＝＝＝.故选C.
3．已知sin（θ＋π）<0，cos（θ－π）>0，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A．sinθ<0，cosθ>0B．sinθ>0，cosθ<0
C．sinθ>0，cosθ>0D．sinθ<0，cosθ<0
答案 B
解析 ∵sin（θ＋π）<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.∵cos（θ－π）>0，∴－cosθ>0，∴cosθ<0.故选B.
4．点A（sin2013°，cos2013°）在直角坐标平面上位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案 C
解析 2013°＝360°×5＋（180°＋33°），因此2013°角的终边在第三象限，sin2013°<0，cos2013°<0，所以点A位于第三象限．故选C.
5．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为（ ）
A．－B．－C.D.
答案 B
解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.故选B.
6．已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合是（ ）
A．{1，－1，2，－2}B．{－1，1}
C．{2，－2}D．{1，－1，0，2，－2}
答案 C
解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－－＝－2.故选C.
7.＝（ ）
A．sin2－cos2B．sin2＋cos2
C．±（sin2－cos2）D．cos2－sin2
答案 A
解析 ＝＝
＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.故选A.
8．若sinθ＋cosθ＝，则tanθ＋＝（ ）
A.B．－C.D．－
答案 D
解析 由sinθ＋cosθ＝，得1＋2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝－，则tanθ＋＝＋＝＝－，故选D.
9．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m的值为（ ）
A．1＋B．1－C．1±D．－1－
答案 B
解析 由题意得sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，又（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ，所以＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－.故选B.
10．已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|<，则θ＝（ ）
A．－B．－C.D.
答案 D
解析 ∵sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝，∵|θ|<，∴θ＝.故选D.
11．化简：
＝________.
答案 1
解析 原式＝＝＝1.
12．若sinθcosθ＝，θ∈，则cosθ－sinθ＝________.
答案 －
解析 （cosθ－sinθ）2＝cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－＝，∵θ∈，∴cosθ二、高考小题
13．（2016·全国卷Ⅲ）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝（ ）
A.B.C．1D.
答案 A
解析 当tanα＝时，原式＝cos2α＋4sinαcosα＝
＝＝＝.故选A.
14．（2014·全国卷Ⅰ）设α∈，β∈，且tanα＝，则（ ）
A．3α－β＝B．2α－β＝
C．3α＋β＝D．2α＋β＝
答案 B
解析 由条件得＝，即sinαcosβ＝cosα（1＋sinβ），sin（α－β）＝cosα＝sin，因为－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，所以2α－β＝.故选B.
15．（2016·四川高考）sin750°＝________.
答案
解析 sin750°＝sin（2×360°＋30°）＝sin30°＝.
三、模拟小题
16．（2018·南昌摸底）已知sinθ＝，θ∈，π，则tanθ＝（ ）
A．－2B．－C．－D．－
答案 C
解析 因为θ∈，π，所以cosθ<0，tanθ<0，又sinθ＝，则cosθ＝－＝－，进而有tanθ＝＝－，故选C.
17．（2018·河北邯郸第一次模拟）若sin（α＋β）＝3sin（π－α＋β），α，β∈0，，则＝（ ）
A．2B.C．3D.
答案 A
解析 ∵sin（α＋β）＝3sin（π－α＋β），∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，∴tanα＝2tanβ，即＝2，故选A.
18．（2018·咸阳月考）已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2018）的值为（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
答案 C
解析 ∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）＝asinα＋bcosβ＝3，∴f（2018）＝asin（2018π＋α）＋bcos（2018π＋β）＝asinα＋bcosβ＝3.故选C.
19．（2018·广州模拟）已知cos＋α＝，且－π<α<－，则cos－α＝（ ）
A.B.C．－D．－
答案 D
解析 因为＋α＋－α＝，所以cos－α＝sin－－α＝sin＋α.因为－π<α<－，所以－<α＋<－.又cos＋α＝>0，所以－<α＋<－，所以sin＋α＝
－＝－＝－.故选D.
20．（2018·绵阳诊断）已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为（ ）
A．－B.C．－或0D.或0
答案 D
解析 由2sinα＝1＋cosα得sinα≥0，且4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，因而5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝或cosα＝－1，那么tanα＝或0，故选D.
21．（2018·福建四地六校联考）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋β＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sinα的值是（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.故选C.
22．（2018·沈阳质检一）已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 原式＝1＋＋＝1＋＋＝＋＝.故选C.
23．（2018·湖北武汉调研）若tanα＝cosα，则＋cos4α＝________.
答案 2
解析 解法一：
∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α，∴＋cos4α＝＋sin2α＝＋sin2α＝tan2α＋1＋sin2α＝cos2α＋1＋sin2α＝2.
解法二：
∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝或sinα＝（舍去）．∴cos2α＝，∴＋cos4α＝＋（cos2α）2＝＋2＝＋＝2.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未独立命题．
二、模拟大题
1．（2018·河北唐山一中月考）已知＝－1，求下列各式的值：
（1）；
（2）1－3sinαcosα＋3cos2α.
解 由＝－1，得tanα＝3.
（1）＝＝－.
（2）1－3sinαcosα＋3cos2α＝
＝
＝
＝＝.
2．（2018·吉林长春月考）已知关于x的方程2x2－（＋1）x＋m＝0的两个根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），求：
（1）＋的值；
（2）m的值；
（3）方程的两根及θ的值．
解
（1）
＋＝＋
＝＝sinθ＋cosθ＝.
（2）将①式两边平方得1＋2sinθcosθ＝.
∴sinθcosθ＝.
由②式得＝，∴m＝.
（3）由
（2）可知原方程变为
2x2－（＋1）x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
∴或
又θ∈（0，2π），∴θ＝或θ＝.
3．（2018·河南洛阳一中调研）已知－<α<0，且函数f（α）＝cos－sinα－1.
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．
解
（1）f（α）＝sinα－sinα－1
＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.
（2）解法一：
由f（α）＝sinα＋cosα＝，
两边平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，
即2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－，
∵（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝，
又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，
∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－.
解法二：
联立方程
解得或
∵－<α<0，∴
∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－.
4．（2018·四川宜宾月考）是否存在α∈，β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝cos，cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？
若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sinα＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cosβ＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cosβ＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
升级会员 