倘若希望平滑后使原波动增幅，即R>1，则必有平滑系数S<0。
作为一特例，取S=1/2，即最大平滑系数，此时响应函数为
R（L,1/2）1sin2（x/L）cos2（x/L）|（2.9）
对于L=2△x的波，R=0，表明波长为2倍网格距的波，通过这种平滑，可认完全被滤掉。
对于IL2x|的波，平滑使波幅有不同程度的衰减，但由于余弦函数，在10/2|之
间是减函数，随角度增加，余弦函数减小，L越大，丨x/L|越小，R越大，表示平滑后波幅随波长的增大而减衰得越来越小。
取L=3△x时，由（2.7）式知，R（3Ax,1/2）=0.25，原波幅衰减了75%。
取L=6△x时，R（6Ax,1/2）=0.75原波幅衰减了25%。
取L=10△x时，R（10Ax,1/2）=0.905,原波幅衰减得更少，不足10%。
可见，取S=1/2滤波时，虽然可以滤去高频波，但同时也削弱了天气波，不甚理想。
理想滤波应该是保留需要的波，滤去所不需要的波，从响应函数曲线（图2.4）上看图
形最好近似为矩形。
图2.4S=1/2的响应函数曲线
倘若为去掉短波，并且尽可能少的改变长波，可以采用不同平滑系数，仍用同一平滑算子，函数进行多次平滑的办法。
可以证明，取平滑系数s,S2,……S,作n次平滑后的响应函数Rn为：
n
R1n（k,S）R1R2?
?
?
Rn1Si（1coskx）或者
i1n
Rin（k,L）12Sisin2（kx）（2.10）
i1
作为一个例子，这里举一个二次（n=2）平滑的情况，并且将平滑系数分别取为
S1=1/2，S2=1/2，平滑后的响应函数，由（2.7知
R12R1（L,1/2）R2（L,1/2）1sin2（x/L）?
1sin2（x/L）
4
1sin（x/L）]（2.11）
同（2.7式，即取S=1/2的一次平滑情况比较。
取上述二次症滑后，对波长L>2△x
的波，可以使其波幅有所恢复。
比如取L=6△x时：
一次平滑得R1（6Ax,1/2）=0.75
二次平滑得R1-2=R（6Ax,1/2）R（6^x,-1/2）=0.94
二者相比，二次平滑使该波幅恢复了19%。
表明这种平滑对保留长波是有益的。
（2）二维平滑算子
对于平面的问题，须进行二维空间的平滑，把一维推广到二维有两种处理方法：
①将计算的场先分别在X方向和丫方向进行平滑，然后取平均，即
这里用到的是i,j点及其前、后、左、右共五个点的资料，故称为五点平滑格式
②将场先在一个方向平滑，然后再在另一方向上平滑，即
-nrS2S22
仆fi,jfi,jT（1S）辂〒怙（2.13）
24
其中：
▽2fij同（2.12）,^2*fj=fi+1,j+1+fi+1,j-1+fi-1,j+1+fi-1,j-1-4fi,jo这里用的是1,J点及其前后,
左右及前后点的左右点（式左右点的前后点）共九个点的资料，故称为九点平滑格式。
用Kx，Ky，Lx,Ly分别表示X，丫方向上的波数和波长，其平面波的表示形式可写成
CAei（kxXkY丫）或CAe（2X/Lx2丫山）
其中A为振幅。
以之代入（2.12）,（2.13易得其相应的响应函数
122
R五占一RxRy1Ssin（kxX/2）sin你丫Y/2）
2
1Ssin2（X/Lx）sin2（Y/Ly）（2.14）
R九点RX?
Ry12Ssin2（kXX/2）?
12Ssin2（kYY/2）
12Ssiri（X/LX）?
12Ssirf（丫/L丫）（2.15）
2.1.6尺度分离
实际的大气运动，包含了各种尺度的天气系统，为着研究的需要，经常要将实际的扰动，分离成不同尺度的波。
应用富里叶级数将扰动展成不同尺度的波是常用的分离状的谱分析方法，但是它只能用于沿整个纬圈的半球性分析，不便考察某一特定地区和某些特定尺度系统等之间的关系。
而利用上节所讲的平滑滤波技术同时可以满足这些方面的要求，同时又有着明显的天气意义。
为了分离不同尺度的波，须事先设计一个合适的滤波器。
对于任意天气变量A,可以写成：
A=?
+（A-?
）o?
表示平滑后的A场，显然：
（A-?
）表示原始场与平滑场的差。
如果在作平滑的过程中，滤去高频波（短波），保留低频波
（长波），这种平滑就称为一个低通滤波器，它的作用是让低频波通过。
表示场的低频
部分，即大尺度运动。
而
（A-?
）部分，为该场的高颇（短波）部分，即小尺度系统。
对（A-?
）进行运算，也就相当
于一个高通滤波器。
这里问题的关键，是如何选择滤波器，如何选择平滑系统和平滑次数，要看对具体
问题的分析。
比如要想分离出短波（波长L为500km左右）可以选用三点平滑算子,
=1/2，连续平滑三次，就得到单波响应函数：
R1-3=（1-sin2（△x/L））3。
如果计算网格距d取为100km,在？
场中波长为5d（500km以下的波，衰减了
70%
以上。
保留了30%以下，而对波长L=20d（2000km）以上的波，竟保留了95%以上。
这表
明，经过如此过滤之后，在？
场中主要是波长为2000公里以上的天气波。
而在（A-?
）
场中，主要是波长在500km以下的次天气尺度的短波系统。
如果研究的是面（二维）上的问题，即可采用二维平滑，如用九点平滑算子:
S2
~S2S2
Ai,jA,j2（1S）Ai,j4A,j
其中
2Ai,jAi1,jAi1,jAi,j1Ai,j14A,j
Ai,jAi1,j1Ai1,j1Ai1,j1Ai1,j14Ai,j
（2.16）
将实测风场，分解为u、v分量，取d=100km,S=1/2，u、v分别用（2.15式连续平滑三
次，然后再合成，即得到相应的流场。
此外，还可以根据这种方法，设计只允许某一范围的波通过，而其它波不能通过的
所谓带通滤波器，以分析研究某种波长的波的活动情况，这里变不再介绍了。
§2.2客观分析
诊断分析一般所需要的资料是网格点上的，而常规的气象观测资料是在固定地点（地面和高空观测站）和固定时间观测到的。
为了由这些离散的分布不规则的资料计算出某些物理量，从原则上必须得到每一观测变量在时、空上呈连续分布的场。
但实际上并不需要观测值（如位势高度）在（X,Y）平面上连续变化的分布。
因为一般可用有限差分方法来计算所需要的导数和梯度，这时只需要把空间上分布不均匀的台站资料内插到规则分布的网格点上就行了。
为了得到网格上的资料，可采用两种方法进行内插：
一种是主观内插法，即手工分析各种气象要素场的等值线，然后按网格点读取格点数，这种方法叫主
观分析；另一种方法是根据直接联系格点值与台站值的方程，从数值上
（用计算机）进行内插。
这种方法叫客观分析。
所用的方程或函数可以是不同的。
常用的有限元、多项式、样条等，数值天气预报中还常使用逐步订正法、最优插值法、谱方法、变分法等。
另外，曲面拟合方法用于台站稀少的地区的物理量计算，也是比较好的方法。
本节我们主要介绍有限元法、多项式法和逐次订正法。
客观分析方案可进行两种类型分析：
一种是向量场分析，例如风场，其中所处理的资料不公有量值，还有方向；另一种处理量只有量值的资料，如温度场、湿度场等，这是标量场分析。
2.2.1有限元素法
图2.5三角形区域单元
将我们要进行物理量计算的区域内的所有测站划分成有限个三个角形单元，如图2.5
就是其中一个单元，A、B、C表示三个邻近的测站，0是IABC|内的一个网格点，若三个测站的要素值在一个平面上，根据有限元素法，它们可按其位置坐标展开以下的线性
（2.17）
关系式:
SA
Li
L2XA
L3YA
SB
Li
L2XB
L3YB
Sc
Li
L2XC
L3YC
其中（XA,YA）,（XB,YB），（XC,YC），分别为A、B、C三测站相对于任意坐标系的位置
坐标。
SA，SB,SC分别为测站所测得的要素值，这些都是已知的。
因此，若有三组观测资料，根据线性代数中的克莱姆法则或高斯消去法等方法，就可求解出方程组的三个系数L1、L2、L3。
对于IABC|内的任意一个风格点0,已知它在同一坐标系里的位置坐标（Xo,Y。
），则
表示0点的要素值So可由下式求得：
S0=Li+L2Xo+L3丫0（2.18）
以上介绍的是有限元素法的一般原理，要用它来内插出所有网格点上的要素值。
还要借助于电子计算机。
具体做法是：
先任取一网格点（i,j）并以此为圆心，以一个网格距为扫瞄半径画圆，然后依次计算各测站到该网格点（i,j）的距离。
凡是距离小于或等于扫瞄半径的测站被入选，大于的被舍去，这样一个过程。
称为第一次“扫瞄”。
这次扫瞄后，
若圆内测站数小于3,则可加大扫瞄半径（取1.5个网格距或两个网格距），按上述的过程再扫瞄一次，若圆内测站仍小于3个，可继续加大扫瞄半径，并重复上述过程，一直到圆内测站数大于或等于3个为止。
如果是等于3个，就可由这3个测站的资料，构成三元一次线性方程组。
用高斯一亚当消去法或用其它的方法求出三个系数Li、L2、L3。
，将
这三个系数网格点（i,j）的位置坐标代入（2.17式，便可内插出该网格点上的要素值。
如果圆内的测站数大于3个，则再调用一个比较距离的子程序，选取离网格点（i,j）最近的一个测站。
禾用其要素值，按上述方法，内插出该网格点上相应的要素值。
网格点（i,j）的要素值被内插出后，再进行下一个循环，同样用上述方法内插出下一个网格点的要素值，这样依次循环下去，直至内插出所有网格点上的要素值为止。
实际上，由于观测误差等原因，通常希望有比3个测站还要多的资料，这样求得的
系数，可以减少观测随机误差的影响。
为了解决这个问题，常采用最小二乘法来确定系
数，由此得到（2.18）式:
式中n是以扫瞄半径所画圆内的测站数，n>4,解方程组（2.19求得系数也、亘和口，然后再利用公式（2.17）求得圆内格点上的要素值
2.2.2多项式法
多项式法的原理是寻找一个由多项式表示的的曲面来逼近网格点周围区域各测站实测的气象要素值。
如果这个曲面被找到，它即可代表该气象要素在这一网格点附近的
空间分布状态，从而可求得网格点上的要素值，具体做法如下：
假如某一等压面上的位势高度分布Z（x,y）可以用一个m次多项式表示，其表达式为
次幂
项数
p=0
①
P=1
②③
P=2
④⑤⑥
P=3
⑦⑧⑨⑩
?
P=m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
缶
式中X，丫是该等压面上的两个位置坐标，p，q分别是它们的次数，ak是xp-qyq的系数。
如果想用一个二次曲面去逼近高度场，那么可取m=2;如果想用一个三次曲面去
逼近高度场，那么可取3;若想用一个更高次曲面去逼近高度场，那么m取更大的
数值。
现在我们所面临的问题是如何运用网格点周围测站已知的一组实测高度值来确定系数ak，使得（2.20）式能最佳地逼近网格附近的高度场。
对于给定的一组观测资料来说，坐标（Xi,yi）（i=1,2,.•…n是已知的，实测高度值Z°b也是已知的，m值是按我们的要求确定的，只有Q是未知数，即待确定的。
当（2.19）式中m=2时，二次多项式的一般形式为
22
Z（x,y）a1a?
xa3yaqXa5xyaey|（2.21）
当3时，三次多项式的一般形式为
Z（x,y）a1a?
xa3yaqX2a§xyaey2
3223（.）
a?
xagxyagxya^y
（2.21）式中含有六个待定系数，至少要有六组观测值才能求解。
（2.2）式中含有10个
待定系数，至少需要
1
10组观测资料。
m与待定系数个数M的关系为，M2（m1）?
（m2）。
实际上，如
有限元素一节中所述，为了减少观测随机误差的影响，得到最佳的逼近，常采用最小乘二法来确定系数刨。
如果所考虑的网格点附近有n个测站，n个测站实测高度值为
Z0b（i1,2,.•…呵，根据各测站的坐标|（3）|，由多项式可以再得相应的高度值，某测站i的实测值与计算值的差为|Zi0b乙|，称为残差，最小二乘法就是取残差的平方和为最小。
残差平方和为：
n
（2.23）
E（aj）（Z°bZi）2
i1
上式为m元二次函数，自变量为（a）,残差平方和为最小的条件是它的一阶偏导数为零，即:
整理得:
代如（2.24得:
上式为求解M个未知数包的线性方程组（若m=2,则M=6;若m=3,M=10）,形式与（2.19式相同，解这个方程组，即可确定系数凶，从而最后确定我们所要寻求的多项式，并用此内插出网格点上的要素值。
在电子计算机上实现的方法和步骤，与有限元素法基本相同。
2.2.3逐步订正法
逐步订正法就是将格点周围站记录与终点值进行比较，用格点周围不同半径范围内
各测站的观测数值情形与估计值之差的加权平均作修正量逐步对其订正，最终使格点分
析值与周围测站记录相比达到完全合理为止。
下面以位势高度□的格点分析值的计算为例，简要介绍一下逐步订正法。
以格点为中心，以R为半径划一个圆，设落在圆内的观测值有N个（图2.6）,我们
将根据这N个观测值来订正估值。
将初估场（预备场）的格点值|d|内插到某一个观测点上，例如i点，设内插出的高度值为□，若1点的高度观测值为□，则观测值与内插值的差可以算出：
iii
对圆内所有N个观测值都算出它们与各自内插值的差―1，I~~2，..….NI，并计算这
些差值的加权平均
N/N
Cw订w（2.28）
i1/i1
就是来自高度场的订正值。
式中回为权重系数。
画有很多种形式，但最主要的特征是和格点到1点的距离的平方成反比，其物理意义是，观测值对格点值的影响程度随着它们之间距离的平方而减小。
显然，这种公重系数是各向同性的，它在平面上的分布是一个个同心圆。
例如可以取|w（R2『）/（R2『）|，式中且是格点到1点的距离，R是扫描半径。
也可以取为W1（1和，□是经验系数，随不同层次，不同要素而异。
如果在求取格点的高度分析值时还要使用风场的观测资料，则还需要求出来自风场
的订正值［Cv0。
Z
/r
/°0
、
0
1■
o4
图2.6圆形区域
「d|在1点展开:
设所要求取的格点分析值为口，则有|ddd
假定在图2.5所示的圆内位势高度是线性变化的，利用台劳展式将
即:
fvxuyi
di
——x
y
d
d
xi
yi
对圆内所有有测风报告的站点加权平均，便得到来自风场的订正值
M
Wif（vXuy）i
（2.30）
i1
~Md
i1
CaC
M为圆内有测风报告的站点个数，显然M〈N于是，总订正值为:
（2.31）
匾］可以取
匕和［aj为加权系数，可根据需要加以调整。
比如，对于风场好用的地区,得大一些，反之亦然，但
U和刨之间必须满足以下关系:
aav1
由此得到格点的分析值为
ddC|（2.32）
这是对于影响半径R进行的第一次许订正，然后逐渐缩小R进行重复订正。
每次订正后的分析场用作下一次订正的估计值。
在连续订正过程中，缩小影响半径可以去掉估计场的大尺度误差，使分析场越来越逼近观测结果。
在逐次订正中还可以采用不同形式的权重系数。
2.2.4拉格朗日垂直插值法
气象资料在垂直方向上往往是不等距的，为计算方便起见，常常需要将资料（观测结果）进行垂直插值。
图2.7线性插值多项式
最简单的插值是线性插值。
设对应变量X有函数值丫，对点IXo’XjX?
……Xn|所对应的函数值为丫0,丫，丫2,……Yn|，取Y=P（X）线性插值，就是在点|Xo,Xl上有函数值［丫^，两点作直线于是可得线性插值。
Y丫0（丫！
Yo）（XXoWX!
X。
）R（x）（2.33）
也就是一次插值多项式。
显然，由此所示得的丫值其误差较大（如图2.7）。
常用的是二次插值多项式，为：
YPn（X）Lo（X）Y0Li（X）YiLn（X）Yn（2.35）
式中的系数，又是一个n阶多项式
由XXo时，丫丫0；XX1时，丫丫；・・・XXn时，丫Yn;可知|Li（X）应满足
条件:
Li（Xj）0j'（2.36）
0JI
考虑Lo（Xj），除J=0，Lo（Xj）=1夕卜，其它点Lo（Xj）=O，故可将Lo（Xj）表示为
多项式:
Lo（X）C（XX1）（XX2）……（XXn）|（2
升级会员 