学建模与数学实验课程设计题目答案.docx
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学建模与数学实验课程设计题目答案
数学建模与数学实验课程设计题目的解答过程
1、一元线性回归问题
在某产品表明腐蚀刻线，下表是试验活得的腐蚀时间（x）与腐蚀深度（y）间的一组数据。
试研究两变量（x，y）之间的关系。
X
5
5
10
20
30
40
50
60
65
90
100
y
5
6
8
13
15
17
19
25
25
29
35
其中：
x------腐蚀时间（秒）；------腐蚀深度（y）（
）。
要求：
1）画出散点图，并观察y与x的关系；
2）求y关于x的线性回归方程：
，求出a与b的值；
3）对模型和回归系数进行检验；
4）预测x=120时的y的置信水平为0.95的预测区间。
5）编程实现上述求解过程。
注：
参考书目：
1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
程序：
x=[051020304050606590100];
y=[5681315171925252935];
scatter（x,y）
clearall;clc
x=[051020304050606590100]';
X=[ones（11,1）x];
Y=[5681315171925252935]';
[b,bint,r,rint,stats]=regress（Y,X）;
b,bint,stats
clearall;clc
x=[051020304050606590100];
y=[5681315171925252935];
[p,Y]=polyfit（x,y,1）
[Y,DELTA]=polyconf（p,120,Y）
结果：
p=0.28745.6273
Y=
R:
[2x2double]
df:
9
normr:
4.1973
Y=
40.1208
DELTA=
4.0236
图列：
2、多元线性回归问题
根据下述某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y对眼肌面积（x1）、腿肉量（x2）、腰肉量（x3）的多元线性回归分析。
序
号
瘦肉量
y（kg）
眼肌面积
x1（cm2）
腿肉量
x2（kg）
腰肉量
x3（kg）
序号
瘦肉量y（kg）
眼肌面积x1（cm2）
腿肉量x2（kg）
腰肉量x3（kg）
1
15.02
23.73
5.49
1.21
14
15.94
23.52
5.18
1.98
2
12.62
22.34
4.32
1.35
15
14.33
21.86
4.86
1.59
3
14.86
28.84
5.04
1.92
16
15.11
28.95
5.18
1.37
4
13.98
27.67
4.72
1.49
17
13.81
24.53
4.88
1.39
5
15.91
20.83
5.35
1.56
18
15.58
27.65
5.02
1.66
6
12.47
22.27
4.27
1.50
19
15.85
27.29
5.55
1.70
7
15.80
27.57
5.25
1.85
20
15.28
29.07
5.26
1.82
8
14.32
28.01
4.62
1.51
21
16.40
32.47
5.18
1.75
9
13.76
24.79
4.42
1.46
22
15.02
29.65
5.08
1.70
10
15.18
28.96
5.30
1.66
23
15.73
22.11
4.90
1.81
11
14.20
25.77
4.87
1.64
24
14.75
22.43
4.65
1.82
12
17.07
23.17
5.80
1.90
25
14.35
20.04
5.08
1.53
13
15.40
28.57
5.22
1.66
要求：
1）画出散点图y与x1，y与x2，y与x3并观察y与x1，x2，x3的关系；
2）求y关于x1，x2，x3的线性回归方程：
-----
（1），求出
的值；
3）对上述回归模型和回归系数进行检验；
4）再分别求y关于单个变量x1，x2,x3的线性回归方程：
----
（2），
-----（3）,
-----（4）求出
的值；
分别求y关于两个变量x1，x2,x3的线性回归方程：
----（2’），
---（3’）,
-----（4’）求出系数
的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
5）编程实现上述求解过程。
注：
参考书目：
1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
程序：
（1）
loadmy.txt
my
A=my;
y=A（:
2）;
x1=A（:
3）;
x2=A（:
4）;
x3=A（:
5）;
subplot（2,2,1）
plot（x1,y,'r+'）
subplot（2,2,2）
plot（x2,y,'g+'）
subplot（2,2,3）
plot（x3,y,'y+'）
结果：
p=
0.28745.6273
Y=
R:
[2x2double]
df:
9
normr:
4.1973
Y=
40.1208
DELTA=
4.0236
图列：
（2）（3）程序：
x=[ones（25,1）,x1,x2,x3];
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x）;
subplot（2,2,4）
b,bint,stats,rcoplot（r,rint）
结果：
b=
0.8539
0.0178
2.0782
1.9396
bint=
-1.99953.7073
-0.04290.0784
1.51992.6365
0.87992.9993
stats=
0.843637.74530.00000.2114
（4）题程序：
clearall;clc
loadmy.txt
my;
A=my;
y=A（:
2）;
x1=A（:
3）;
x2=A（:
4）;
x3=A（:
5）;
x1=[ones（25,1）,x1];
[b1,bint1,r1,rint1,stats1]=regress（y,x1）;
rcoplot（r1,rint1）
x2=[ones（25,1）,x2];
[b2,bint2,r2,rint2,stats2]=regress（y,x2）;
x3=[ones（25,1）,x3];
[b3,bint3,r3,rint3,stats3]=regress（y,x3）;
b1,bint1,stats1,b2,bint2,stats2,b3,bint3,stats3
clearall;clc
loadmy.txt
my;
A=my;
y=A（:
2）;
x1=A（:
3）;
x2=A（:
4）;
x3=A（:
5）;
x4=[ones（25,1）,x1,x2];
[b4,bint4,r4,rint4,stats4]=regress（y,x4）;
x5=[ones（25,1）,x1,x3];
[b5,bint5,r5,rint5,stats5]=regress（y,x5）;
x6=[ones（25,1）,x2,x3];
[b6,bint6,r6,rint6,stats6]=regress（y,x6）;
b4,bint4,stats4,b5,bint5,stats5,b6,bint6,stats6
clearall;clc
结果：
b1=
12.5544
0.0917
bint1=
9.049616.0593
-0.04370.2271
stats1=
0.07871.96350.17451.1370
b2=
2.5718
2.4579
bint2=
-0.70115.8447
1.80773.1082
stats2=
0.726761.14230.00000.3373
b3=
9.4446
3.3462
bint3=
6.340912.5482
1.45905.2334
stats3=
0.369113.45430.00130.7786
模型优劣分析：
load my.txt
my;
A=my;
y=A（:
2）;
x1=A（:
3）;
x2=A（:
4）;
x3=A（:
5）;
z1=12.5544+0.0917*x1;
c1=mean（y-z1）
z2=2.5718+2.4579*x2;
c2=mean（y-z2）
z3=9.4446+3.3462*x3;
c3=mean（y-z3）
z4=2.0661+0.0318*x1+2.3961*x2;
c4=mean（y-z4）
z5=8.3031+0.0559*x1+3.1668*x3;
c5=mean（y-z5）
z6=1.1077+2.1058*x2+1.9787*x3;
c6=mean（y-z6）
结果：
c1 =
1.3880e-005
c2 =
1.2516e-004
c3 =
-1.3840e-005
c4 =
-7.0204e-004
c5 =
-0.0012
c6 =
1.3480e-005
总结：
所得模型的值与原来的y值做差所得的平均值来看最后一个模型及z6=1.1077+2.1058*x2+1.9787*x3与原值做差的平均值更接近于0说明此模型对原问题的求解更好。
文本文档
My=115.0223.735.491.21
212.6222.344.321.35
314.8628.845.041.92
413.9827.674.721.49
515.9120.835.351.56
612.4722.274.271.5
715.827.575.251.85
814.3228.014.621.51
913.7624.794.421.46
1015.1828.965.31.66
1114.225.774.871.64
1217.0723.175.81.9
1315.428.575.221.66
1415.9423.525.181.98
1514.3321.864.861.59
1615.1128.955.181.37
1713.8124.534.881.39
1815.5827.655.021.66
1915.8527.295.551.7
2015.2829.075.261.82
2116.432.475.181.75
2215.0229.655.081.7
2315.7322.114.91.81
2414.7522.434.651.82
2514.3520.045.081.53
3、优化理论中的线性规划问题---生产安排。
某公司打算利用具有下列成分（见下表）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：
2：
5。
合金品种
1
2
3
4
5
含铅%
含锌%
含锡%
30
60
10
10
20
70
50
20
30
10
10
80
50
10
40
单价（元/kg）
8.6
6.0
8.9
5.7
8.8
要求：
（1）根据题意，列出该问题的线性规划模型；
（2）利用单纯形法求解
（1）中的模型，并写出分配方案；
（3）编程实现上述求解过程；
（4）利用程序验证上述模型的最优解。
注：
参考书目：
1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
（1）
（2）（3）解答过程：
利用单纯形法解方程组
得一基解
Lingo软件
min=8.6*x1+6.0*x2+8.9*x3+5.7*x4+8.8*x5;
0.3*x1+0.1*x2+0.5*x3+0.1*x4+0.5*x5=30;
0.6*x1+0.2*x2+0.2*x3+0.1*x4+0.1*x5=20;
0.1*x1+0.7*x2+0.3*x3+0.8*x4+0.4*x5=50;
输出结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
3
Objectivevalue:
744.4444
VariableValueReducedCost
X111.111110.000000
X20.0000000.1111111E-01
X344.444440.000000
X444.444440.000000
X50.0000000.1888889
RowSlackorSurplusDualPrice
1744.4444-1.000000
20.000000-11.96111
30.000000-7.572222
40.000000-4.683333
4、非线性方程求解
分别用二分法、牛顿切线法、迭代法求解非线性方程
的非负实数根。
要求：
（1）精确到
，取不同的初值计算，输出初值、根的近似值和迭代次数，分析根的收敛域。
（2）编写二分法、牛顿切线法的程序。
（可以用Matlab或C语言）。
（3）迭代法求解（可构造不同的迭代公式，如
等）。
（4）比较三种方法的优劣。
注：
参考书目：
1、《高等数学（上）》，同济大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
1）迭代法程序：
x0=input（'初值'）r=input（'允许的误差'）forn=1:
500000000;x1=3.*sin（x0）;ifabs（x1-x0）\n'）;x1fprintf（'迭代次数:
\n'）;n结果：
初值1
x0=
1
允许的误差0.000001
r=
1.0000e-006
方程的根:
x1=
2.2789
迭代次数:
n=
4238200
2）牛顿切线法程序：
建立M函数文件：
function[y,dirv_y]=funnewton（x）
y=sin（x）-x/3;
dirv_y=cos（x）-1/3;
编写主程序文件：
clear all;clc
x=0:
0.0001:
2*pi;
y1=sin（x）;
y2=x/3;
plot（x,y1,x,y2）;
grid on
clear all
Error=1e-6;
format long
x=2.3;
fork=1:
100;
[y,dirv_y]=funnewton（x）;
xk=x;
x=x-y/dirv_y;
if（abs（xk-x）<=Error）
break;
end
x
结果：
x=
2.27903035381451
图列：
二分法程序：
clc;cleara=0;b=3;fa=sin（a）-a/3;fb=sin（b）-b/3;c=（a+b）/2;fc=sin（c）-c/3;iffa*fb>0,break,endwhileabs（fc）>1*10^（-6）c=（a+b）/2;fc=sin（c）-c/3;iffb*fc>0b=c;fb=fc;elsea=c;fa=fc;endendformatlongfx=fc,x=c结果：
x=2.27886199951172
5、非线性回归问题-------多项式回归
给动物口服某种药物A1000mg，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml），得到表9-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。
血药浓度与服药时间测定结果表：
服药时间x（小时）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
血药浓度y（g/ml）
21.89
47.13
61.86
70.78
72.81
66.36
50.34
25.31
3.17
要求：
1）画出散点图y与x，并观察y与x的关系；
2）求y关于x的一元线性回归方程：
-----
（1），求出
的值；
3）对上述回归模型和回归系数进行检验；
4）再求y关于x的一元多项式线性回归方程。
（如：
----
（2））求出
的值，并比较二个回归方程对原来问题求解的优劣。
5）编程实现上述求解过程。
注：
参考书目：
1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
程序：
closeall;clearall
x=[123456789]';
X=[ones（9,1）x];
Y=[21.8947.1361.8670.7872.8166.3650.3425.313.17]';
scatter（x,Y,'*'）
[b,bint,r,rint,stats]=regress（Y,X）;
b,bint,stats
subplot（2,2,1）
z=b
（1）+b
（2）*x
plot（x,Y,'k+',x,z,'r'）
[p,S]=polyfit（x',Y',2）
S=polyconf（p,x',Y'）
subplot（2,2,2）
plot（x',Y','k+',x',S,'r'）
结果：
b=
60.61111111111114
-2.79666666666667
bint=
1.0e+002*
0.175********5661.03630945857656
-0.104414919167160.04848158583383
stats=
1.0e+002*
0.000965749826370.007482910761450.004156760827176.27136526984127
z=
57.81444444444447
55.01777777777780
52.22111111111113
49.42444444444446
46.62777777777779
43.83111111111111
41.03444444444445
38.23777777777777
35.44111111111110
p=
-3.7623593073593134.82692640692640-8.36547619047621
S=
R:
[3x3double]
df:
6
normr:
5.48713414502882
S=
Columns1through8
22.6990909090908846.2389393939393762.2540692640692470.7444805194805071.7101731601731465.151********71751.0674025974026129.45893939393940
Column9
0.32575757575759
图列;
6、非线性规划问题
现有两种原料
和
数量分别为1200千克和1500千克,需要分配用于生产3种产品.其中每种产品生产的产量
与两种原料的关系分别为:
每种产品的利润函数为:
问:
应如何分配,才能使生产三种产品的总利润最大.
要求:
1）介绍非线性规划理论;
2）求出最优解.
注：
参考书目：
1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
先建立M文件：
functionf=myfun（x）
f=-0.05*x
（1）^2*x（4）+0.01*（0.005*x
（1）^2*x（4））^2-...
0.08*x
（2）*x（5）^2+0.01*（0.008*x
（2）*x（5）^2）^2-...
0.1*x（3）*x（6）+0.01*（0.01*x（3）*x（6））^2;
然后编写主程序文件：
clearall;clc
A=[];
b=[];
Aeq=[111000;000111];
beq=[1200;1500];
lb=[000000];
ub=[];
x0=[111111]';
x=fmincon（@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
结果：
x=
1.0e+003*
0.00828160919212
-0.00000000000000
1.19171839080788
1.45804377960301
-0.00000000000000
.0419********
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