流体力学课后答案.docx
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流体力学课后答案
1.已知平面流场的速度分布为ux=x2+xyfuy=2xy2^5y.求在点（1,・1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：
（1）线变形速度：
Q=—=2x+ydx
角变形速度：
&=丄（些+些
~2|^dxdy
将点（1,-1）代入可得流体微团的2=1,6y=1:
0=3/2；0=1/2
2.已知有旋流动的速度场为ux=2y+3z,=2z+3x,冬=2x+3y。
试求旋转角速
度，角变形速度和涡线方程。
解：
旋转角速度：
®=丄］些一？
丄
2〔勿宏丿2
1（diidu.}1
OzdxJ2
dx由一=
吩煜积分得涡线的方程为:
y=x+ct,z=x+c2
3.己知有旋流动的速度场为比=Cyjy2+Z2，卩=0,冬=0,式中C为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：
流场的涡量为：
du.
duY
-0
*■
dy
dz
dii.
cz
dz
dx
Jy2+F
%
如
dx
dy
Jy2+F
旋转角速度分别为：
=0
可得涡线的方程为：
y2+z2=c
4.求沿封闭曲线*+y2=阱，乙=0的速度环量。
（1）ux=Axfwv=0；
（2）ux=Ay,uy=0:
（3）u〉.=0,ue=A/ro其中A为常数。
解：
（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z=0的平面上的圆周线。
在旷0的平面上速度分布为：
u=Ax,uv=0
Ay涡量分布为：
2=0
根据斯托克斯定理得：
rs=fQ.dA,=o
（2）涡量分布为：
Qz=-A
根据斯托克斯定理得：
rs=\An:
dA:
=-A^b2
（3）由于=0,ue=A/r则转化为直角坐标为：
刽一笋“篇
根据斯托克斯定理得：
rs=]2弘；=2加
5.试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件?
答：
不可压缩流体连续性方程
du5wvdu
亩角坐；U.—-L—+一-A
（1）
-BL用土1ZJ、：
11—v
dxdydz
11r如肌C
thrSfA.i；・_JL+JL4-=0
（2）
忙H|H|上匕1ZJ、:
'•'v
rdrrdOdz
（1）ux=kx,uy=-ky,u.=0
代入
（1）
满足
（2）ux=y+z,uY=z+x,u.=x+y
代入
（1）
满足
（3）uxk（x2+xy-y2）,uy=k（x2+y2）,u.=0
代入
（1）
不满足
（4）ux=ksinxy,uy=-ksinxy\u.=0
代入
（1）
不满足
（5）ur=0,i（&=kr,u.=0
代入
（2）
满足
（6）ur=—,u0=0,w.=0
代入
（2）
满足
（7）ur=2rsin^cos^,u6=-2rsin26,u.=0
代入
（2）
满足
6.已知流场的速度分布为叫=x2y,uy=-3y,
u.=2z2o求
（3,1,2）点上流体质
点的加速度。
解严理+叭坐+叭些+讥理=0+心.2马-3yd+0=2心-3心dtdxdy'dz
du
av=—dt
ou
•+“、一-+u、■vdx-
%
叫
_亠//L.
-=9y
dy
iPt_
'dz
du.
du.
du:
du.
=8z3
a.=—-
+wr—+uY
+w.一-
~dt
ox
6
・dz
将质点（3,1,2）代入喩、Gy、a：
中分别得:
ax=27,ay=9,a：
=64
2v2x
7.己知平面流场的速度分布为Mx=4r-—,w=-一o求f=0时，在（1,1）
x~+y・x~+y・
点上流体质点的加速度。
解：
将（1,1）代入得ax=3
dii..du..du..
av=—-+m,—+w„―=0+〉dtxdx
dt
dy
（4t-2y]
2（x2+y2）-4x2
1宀打
-（，+可-
-4xy
当t=0时，将（1,1）代入得：
av=-1
&设两平板之间的距离为2仏平板长宽皆为无限大，如图所示。
试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。
解：
Z方向速度与时间无关，质量力：
fx=-g运动方程：
Z方向：
0=-丄生+
pdzdx~
x方向：
0=_g_~!
-^T
pdx
积分：
p=-pgx+f（z）
>2
z方向的运动方程可写为«=
dy-
积分：
"=丄——4-CjX+C,pdz2
边界条件：
x=±h»w=0
得：
C.=0,C,=丄型h2
_“dz
9.沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：
（1）流层的速度分布为
ii=±Qby一e；
（2）单位宽度上的流量为彳=fb'sinB。
解：
x方向速度与时间无关，质量力A=gsin&,fy=-gcosO运动方程：
x方向：
0=gsinO-丄叟+①
poxdy-
y方向：
0=-gcos&②
P6
②->积分p=-忿，8S&+f（x）
A"P=PaPa=~pgbcOS0+f（X）
P=P“+怒（方一y）8S&
•・・b=常数・・・p与x无关
①可变为變二主吆
dy“
积分"=_必sm&（「+c』+CJ
“2
边界条件：
y=0,“=0：
y=b,半=0
dy
••C、=—b,C2=0
Q=tlldy=ff（2纱-y，）sm幼，=f，
...“_怒血&）,（2b_刃=（2by_y$）sin02“2“
sin&
10.描绘出下列流速场
解：
流线方程：
—-
llx“〉
3
（a）叭=4,叭.=3,代入流线方程，积分：
y=—x+c
A
直线族
（b）ux=4,uy=3x,代入流线方程，积分：
y=-x2+c8
椭圆族
（f）ux=4y,uy=4x,代入流线方程，积分：
x2-y2=
抛物线族
（j）ux=4x,uy=0,代入流线方程，积分：
y=
直线族
（k）ux=^xy,wv=0,代入流线方程，积分：
y=
c
（1）
ur=—,"&=0,由换算公式：
ux=urcossin&,uy=ursinO+u0cos0
/、cCAexexcXex
（m）ur=Q,I"=_,=U=；,u=0+——=—
rrrx~+y~rrx~+y~
代入流线方程积分：
x2+y2=
同心圆
11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。
如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？
解:
无旋流有:
等勺（或知泸
（a）,（f）,（h）,（j）,
（1）,
（m）为无旋流动，其余的为有旋流动
对有旋流动，旋转角速度：
血=£（事-牛）
2dxdy
37
（b）co=—（c）g）=—2（d）69=—2（e）cd=—
22
（g）e=r（i）6?
=-2（k）e=-2x
12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。
解：
势函数（p=\uxdx+uydy流函数0=juxdy-uydx
（a）（p=\4dx+3dy=4x+3y
0=J4dy-3dx=-3x+4y
（e）e为有旋流无势函数只有流函数
0訂；4ydy-j^-3xdx=3厂
其他各题略
13漩速场为⑷外=0,“°=£,（b）ur=o,w
=^2r时，求半径为卩和r,的两流线间流量的r
表达式。
解：
dQ=di//y=\urrdO-\u0dr
=-\—dr=-c\nr
/.Q=y/、_匕=-cInr,-（-t*ln^）=cln—r,
••Q=W、一屮、=—（Y~r2）
14.流速场的流函数是^=3x2y-y3。
它是否是无旋流动？
如果不是，计算它的旋转角速度。
15.
证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。
绘流线0=2。
・・・"=頁+応=3（x2+/）=3r2即任一点的流速只取决于它对原点的距离
流线屮=2即3x2y-y5=2
用描点法：
y（3x2-/）=2
y=l,x=±1
（图略）
16.确定半无限物体的轮廓线，需要哪些量来决定流函数。
要改变物体的宽度，需要变动哪些量。
以某一水平流动设计的绕流流速场，当水平流动的流速变化时，流函数是否变化？
解：
需要水平流速％,半无限物体的迎来流方向的截面A,由这两个参数可得流量g=v0Ao
改变物体宽度，就改变了流量。
当水平流速变化时，0也变化
2/rx
17.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？
试根据指定长度l=2m,指定宽度b=0.5m,设计朗金椭圆的轮廓线。
解：
需要水平流速％,—对强度相等的源和汇的位置±d以及流量0。
驻点在厂。
十土严，由—.5得椭圆轮廓方程：
卩為“即：
x2+16y2=l
18.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？
已知尺=2加，求流函数和势函数。
解：
需要流速％,柱体半径R
屮=v0（r-——）sin0r
4
°：
R=2/.=v0（r—）sin&
r
R?
（p=v0（r+——）cos&
D-
*/R=2・\（p=v0（r+——）8S&
1&等强度的两源流，位于距原点为a的x轴上，求流函数。
并确定驻点位置。
如果此流速
场和流函数为y/=vy的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。
解：
叠加前
Qyv
—（arctg——+arctg——）
2/rx+ax-a
x-a
当x=OuY=羞_—ux=0
兀Cr+旷）
y=Oux=^-（+）uY=0
2rtx+ax-a
・••驻点位置（0,0）叠加后-vy+—（arctg—+cuctg—）
2”x+ax-a
v=0
.、.=”=V41=0
dy'■2/r（x+a）2tt（x-a）
19.强度同为60m2/s的源流和汇流位于X轴，各距原点为。
=3加。
计算坐标原点的流速。
计算通过（0,4）点的流线的流函数值，并求该点流速。
解：
屮=——（arctgarctg—-—）
2龙x+ax-a
11x=y=OyQ=6O,a=5
=6.31m/s
（0,4）的流函数：
肖=—（arctg—-arctg—）=—arctg—2龙3-3n3
“-些_£_（111
X-石|曲冲0，円，“=3-—V
«v=0
20.为了在（0,5）点产生10的速度，在坐标原点应加强度多大的偶极矩？
过此点的流函数值为
何？
解：
M=2叫W将vo=10,/?
=5代入得：
M=500兀
MsinO
屮=一—
2岔
将M=500兀,sin8=l,r=R=5代入得：
0=-50
21.强度为0.2m2/s的源流和强度为”沪/s的环流均位于坐标原点，求流函数和势函数，求（1加,0.5加）的速度分量。
解：
y/=—lnr,（p=—lnr+—,Ur=-^―
2rt2”2兀2/r2加
将0=0.2,r=712+0.52代入得：
ur=0.0284m/5
将r=l,r=Vl2+0.52代入得：
u0=-OA42in/s
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