matlab报告用matlab研究抛体运动.docx
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matlab报告用matlab研究抛体运动
用matlab研究抛体运动
2.用matlab研究抛体运动
2.1引论
MATLAB语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能的高级语言。
使用MATLAB模拟物理现象为我们解决问题提供了一种新的方法，利用其方便的数值计算和作图功能，可以方便的模拟一些物理过程。
对于处理非线性问题，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，方便实用，基于其功能强大，界面友善，语言自然，交互性强等优点，已成为教学和科研中最基础的软件之一，利用其解决复杂的数值计算问题，可以减少工作量，节约时间，图形绘制问题，真实直观，可以加深理解，提高工作效率
将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所作的运动，它的初速度不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。
物理上提出的“抛体运动”是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。
抛体运动加速度恒为重力加速度，相等的时间内速度变化量相等，并且速度变化的方向始终是竖直向下的。
2.2.1、实验设计思路
1、理论分析
一般的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向，平抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解两种情加速度及位移等进行相应分析。
无论怎样分解，都必须把运动的独立性和独立作用原理结合进行系统分解，即将初速度、受力情、加速度及位移等进行相应分析。
斜抛运动：
水平方向速度
〔1〕
竖直方向速度
〔2〕
水平方向位移
〔3〕
竖直方向位移
〔4〕
平抛运动：
水平方向速度
〔5〕
竖直方向速度
（6）
水平方向位移
（7）
竖直方向位移
（8）
合速度
〔9〕
合速度方向与水平夹角
：
（10）
合位移
（11）
位移方向与水平夹角
：
（12）设某一抛射体的初速度为
，抛射角为
，将其运动在X,Y轴上进行正交分解，水平方向速度
（13）
竖直方向
（14）
质点的坐标
是
（15）
（16）
从上两式消去
，便得质点的轨迹运动方程
（17）
抛射体能到达的最大高度为
（18）
其到达最大高度所需时间为
（19）
空中飞行时间为
（20）
抛射体的最大射程为
（21）
它跟初速度
和抛射角
有关，在抛射角
不变的情况下，射程
与
成正比，所以射程随初速度的增大而增大。
在初速度
不变的情况下，随着抛射角
的增大，射程也增大，当
度时，
，射程到达最大值，以后随着抛射角的增大，射程减小。
利用MATLAB的绘图功能，可以更直观的表达上述结论。
〔程序1〕
程序运行结果如图1所示。
图1射程与抛射角、初速度的关系
对于最大飞行路径所对应的抛射角问题〔空气阻力忽略不计〕，X,Y坐标轴分别代表抛射体的射程与射高，在
处，设在某一微小时段内抛射体的路径变量为
，其对应的水平及竖直方向的变量为
与
，
则
〔22〕
设射程为R，则飞行路径长度
〔23〕
根据前面的推论，
（24）
其中
为抛射的初始速度，
为抛射角，
根据运动学原理，有
〔25〕
〔26〕
从〔24〕、（25〕中消除
，我们可得到该运动的抛物线方程：
〔27〕
从〔24〕中可知，为求解L,先得求出
，因此在〔4〕式两边同时对
求导，得：
〔28〕
将〔27〕代入式〔24〕，等式两边同时积分，便得到了飞行路径长度与抛射角之间的关系：
〔29〕
根据式〔28〕，为求得L的最大值，将〔28〕两边同时对
求导
〔30〕
令
，可得到最大飞行路径所对应的抛射角的大小，但解此方程是比较困难的。
为此，我们采用MATLAB的函数运算功能来解决这一问题。
〔程序2〕
程序如下，设其中的抛射初速度
，
。
运行结果如图2所示。
图2抛射角与飞行路径及其一阶导数曲线图
图2给出了飞行路径随抛射角的变化曲线
及飞行路径曲线的斜度
，从图中可以得到，当
〔弧度〕时，即
度时，飞行路径最大，
此时
〔31〕
我们知道，在不考虑空气阻力的情况下，当抛射角
度时，其射程最远，但此时其飞行路径并不是最远，而是当抛射角
度时，其飞行路径最远，且其长度约为
，实际上，由于空气阻力的存在，抛射体在空中是沿导弹曲线〔弹头飞行时其重心所经过的路线〕飞行的，它与抛物线不同，它的升弧与降弧不对称，在重力与空气阻力的共同影响下，弹道形成不均等的圆弧，升弧较长而直伸，降弧较短而弯曲.斜抛射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，路线也不是理想曲线。
物体在空气中受到的阻力，与物体运动速度大小有密切联系，速度越小，越接近理想情况，当物体速度低于200米每秒时，阻力与物体速度大小的平方成正比，速度介于400至600米每秒之间时，空气阻力与速度大小的三次方成正比，在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。
将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动。
竖直的重力与速度方向有夹角，做曲线运动；水平方向不受外力作用，是匀速运动，速度为Vo；竖直方向受重力作用，没有初速度，加速度为重力加速度g,是自由体运动。
即做平抛运动的物体，在水平方向上由于不受力，将作匀速直线运动；在竖直方向上的物体的初速度为0.且只受到重力作用，物体做自由落体运动，加速度为g。
平抛运动的规律：
〔1〕抛出t秒末的速度：
一抛出点为坐标原点，水平方向为x轴〔正方向和初速度V0的方向相同〕，
竖直方向为y轴，正方向向下，则：
水平分速度：
Vx=Vo〔32〕
竖直分速度：
Vy=gt〔33〕
合速度：
Vt=
〔34〕
tan
=
=
〔35〕
（2）平抛运动的物体在任意时刻t的位置坐标：
水平位移：
x=Vot〔36〕
竖直位移：
y=
g
〔37〕
合位移：
s=
〔38〕
tan
=
=
〔39〕
2、实验步骤
（1）运用MATLAB编程得到平抛速度随时间的变化关系。
（程序3）
依据公示〔32〕，〔33〕，〔34〕，（35）
图3平抛运动速度随时间变化关系
（2）运用MATLAB编程到到平抛物体运动的曲线
运用公式〔32〕，〔33〕，〔34〕，（35）,（37）,（38）,〔39〕，我们可以求得物体在任意时刻的坐标并找到物体所在位置后，再用平滑曲线把这些点连起来，就得到平抛运动的轨迹。
〔程序4〕
运行结果如图4所示
图4物体平抛轨迹曲线
（3）利用matlab模拟物体斜抛运动
通过该程序可以画出在任意位置以初始速度V和抛射角度α抛出的轨迹。
〔程序5〕
按“run”运行时，弹出窗口
点击图框中的“OK”，在“commandwindow”中输出结果为：
图5.物体斜抛运动曲线
（4）试计算抛射角为90度的特殊抛体运动任意时刻的位置和速度
一弹性小球，初始高度h=10m,向上初速度v0=15米每秒，与地面碰撞的速度衰减系数k=0.8，试计算任意时刻球的位置和速度。
高度与时间的关系：
，
〔40〕
速度与时间关系：
〔41〕
对等式两边积分，有
，
〔42〕
，
〔43〕
由此可得数学方程：
第一次落地前：
〔44〕
〔45〕
〔46〕
第二次落地前：
〔47〕
〔48〕
（49）
（50）
第三次落地前：
〔51〕
〔52〕
〔53〕
〔54〕
......
第n次落地前：
〔55〕
〔56〕
〔57）
（58）
如用手工进行计算，计算量极大，利用MATLAB编程〔程序6〕
程序运行结果如下图。
图6.抛射角为90度的特殊抛体运动任意时刻的位置和速度
（5）用matlab研究定点投篮命中率问题
下列图—9.0m/s。
问题一：
考虑球心对框心的点对点的投篮，求出手速度和出手方向的范围
问题二：
假设考虑球的大小和框的大小进行投篮，球入筐时可以偏离框心，求出手速度、角度及其最大偏值
示意图1
问题一
不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力大小的影响，从未出手时的球心P为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度α投出，可视为质点的斜抛运动，其运动方程为：
（59）
其中g是重力加速度，由此可得球心的运动轨迹如下抛物线
（60）
以x=L，y=H-h代入（60）式，就得到了球心命中框心的条件
〔61〕
可以看出，给定出手速度v和出手高度h，就有两个α满足条件，而〔61〕式有解的前提为：
〔62〕
可解得：
〔63〕
于是对于一定的出手高度h，使〔63〕式等号成立的v为最小的出手速度
示意图2
球入篮筐处的入射角度为β，可从下式得到：
〔64〕
这里的导数由（60）式计算代入后得
对应
，有
，设
〔65〕
求解〔程序7〕
表1对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
速度高度最大出手角1最小出手角对应入框角1对应入框角2
注：
速度单位均为m/s，高度单位均为m，角度单位均为℃
问题二
示意图3
示意图4
考虑篮球和篮筐的大小，如示意图3，假设入射角
太小，则球无法入筐。
由图不难看出，球心命中筐心的条件为
〔66〕
将
，
=45.0cm代入得
>
。
由此对表1进行筛选，可得下表：
表2.对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
速度v
高度h
出手角度ɑ
入射角度
β
由示意图4看出，球入筐时球心可以偏前〔偏后与偏前一样〕的最大距离
为
=
〔67〕
在〔60〕式中，用
代入，可得
〔68〕
对
求导并令
，就有
〔69〕
用
近似代替左边导数，即可得到出手角度的偏差
与
的以下关系
〔70〕
由
和已经得到的
也可以求得相对偏差
。
类似的，〔68〕式对
求导并令
，可得出手速度允许的最大偏差
〔71〕
由〔70〕和〔71〕式
的相对偏差为
〔72〕
编程实现见程序8
计算结果
表3：
出手角度和出手速度最大偏差
出手速度v
高度h
出手角度a
偏差aa
偏差vv
相对偏差|aa/a|
相对偏差|vv/v|
9
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