学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后巩固提升训练附答案.docx

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学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后巩固提升训练附答案

2021年度北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》课后巩固提升训练（附答案）

1．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）

A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　）

A．18°B．36°C．72°D．108°

3．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　）

A．3B．2C．1D．

4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）

A．2B．3C．4D．无法确定

5．已知实数x，y满足

，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16B．20

C．16D．以上答案均不对

6．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）

A．8B．10C．18D．20

7．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）

A．PC⊥OA，PD⊥OBB．OC＝OD

C．∠OPC＝∠OPDD．PC＝PD

8．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）

A．3B．3.5C．4D．4.5

9．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线．若∠A＝25°，则∠DCE的大小为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．25°

10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　）

A．19°B．33°C．34°D．43°

二．填空题（共6小题）

11．在△ABC中，AB边上的中线CD＝3，AB＝6，BC+AC＝8，则△ABC的面积为　　．

12．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，BC＝15cm，△BDC的面积为　　cm2．

13．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是　　．

15．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　　．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝　　．

三．解答题（共9小题）

17．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：

CE＝BF．

18．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

求证：

∠B＝∠C．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．

求证：

DE＝DF．

20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．

21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于25cm．

（1）求BC的长；

（2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求证：

BC＝BE．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交AB、AC于点D、点E，连接BE．

（1）若△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，求AB的长；

（2）若∠A＝42°，求∠CBE的度数．

23．已知：

如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．

（1）求证：

AE＝EC；

（2）若DE＝2，求BC的长．

24．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．

（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；

（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．

25．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．

（1）若∠A＝∠AOC，求证：

∠B＝∠BOC；

（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；

（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在

（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？

若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．

参考答案

1．解：

当50°为底角时，

∵∠B＝∠ACB＝50°，

∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；

当50°为顶角时，

∵∠A＝50°，

∴∠B＝∠ACB＝65°，

∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．

故选：

B．

2．解：

∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°，

又∵BC＝BD，

∴∠BDC＝∠BCD＝72°，

∴∠DBC＝36°，

∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，

故选：

B．

3．解：

过P作PE⊥OB于E，

∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，

∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，

∵OD＝DP，

∴∠BOP＝∠DPO，

∴∠AOP＝∠DPO，

∴PD∥OA，

∴∠PDE＝∠AOB，

∵∠AOB＝30°，

∴∠PDE＝30°，

∵∠PEO＝90°，DP＝2，

∴PE＝

DP＝1，

∴PC＝1，

故选：

C．

4．解：

当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．

由作图可知：

AE平分∠BAC，

∵DC⊥AC，DP⊥AB，

∴DP＝CD＝2，

∴PD的最小值为2，

故选：

A．

5．解：

根据题意得

，

解得

，

（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：

4、4、8，

不能组成三角形；

（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：

4、8、8，

能组成三角形，周长为4+8+8＝20．

故选：

B．

6．解：

∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．

∴MN是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∵△ADC的周长为10，

∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，

∵AB＝8，

∴△ABC的周长为：

AC+BC+AB＝10+8＝18．

故选：

C．

7．解：

A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，

B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，

C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，

D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，

故选：

D．

8．解：

过点P作PD⊥CB于点D，

∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，

∴DC＝6，

∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，

∴MD＝ND＝1.5，

∴CM＝6﹣1.5＝4.5．

故选：

D．

9．解：

∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，

∴CD＝AD＝

AB，

∴∠DCA＝∠A＝25°，

∴∠CDE＝∠A+∠DCA＝50°，

∵CE是斜边上的高线，

∴CE⊥AB，

∴∠CED＝90°，

∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，

故选：

B．

10．解：

∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，

∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝

AC＝AE，

∴∠BAC＝∠ABE＝38°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAF＝

∠BAC＝19°，

∴∠BOF＝∠BAD+∠ABE＝19°+38°＝57°，

∵BF⊥AD，

∴∠BFO＝90°，

∴∠EBF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣57°＝33°；

故选：

B．

11．解：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，

∵CD＝3，AB＝6，

∴AD＝DB

＝3，

∴CD＝AD＝DB，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2＝AB2＝36，

又∵AC+BC＝8，

∴AC2+2AC•BC+BC2＝64，

∴2AC•BC＝64﹣（AC2+BC2）＝64﹣36＝28，

又∵S△ABC＝

AC•BC，

∴S△ABC＝

＝7．

12．解：

∵在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，

∴AD＝DE＝6cm，

∵BC＝15cm，

∴△BDC的面积是

BC×DE＝

×15cm×6cm＝45cm2，

故答案为：

45．

13．解：

由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE

又∠A＝30°，AC＝6

可得DE＝

AE

∴DE＝

（6﹣DE）

则DE＝2．

故答案为2．

14．解：

作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，

∵∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝DC＝5，

∴△ABD的面积＝

×AB×DE＝

×5×18＝45，

故答案为45．

15．解：

∵DE是BC边上的垂直平分线，

∴BE＝CE．

∵△EDC的周长为24，

∴ED+DC+EC＝24，①

∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，

∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）＝（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE＝12，

∴BE+BD﹣DE＝12，②

∵BE＝CE，BD＝DC，

∴①﹣②得，DE＝6．

故答案为：

6．

16．解：

∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，

∴∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°，

∵∠CAE＝15°，

∴∠E＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°．

∵在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，

∴AE＝2AD＝8．

故答案为8．

17．证明：

∵AB⊥CF，DE⊥CF，

∴∠ABC＝∠DEF＝90°．

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

∴BC＝EF．

∴BC﹣BE＝EF﹣BE．

即：

CE＝BF．

18．解：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD（3分）

在Rt△BDE和Rt△CDF中

∵DE＝DF，

DB＝DC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）（6分）

∴∠B＝∠C（8分）

19．证明：

法一：

连接AD．

∵AB＝AC，点D是BC边上的中点

∴AD平分∠BAC（三线合一性质），

∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．

∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

证法二：

在△ABC中，

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（等边对等角）…（1分）

∵点D是BC边上的中点

∴BD＝DC…（2分）

∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F

∴∠BED＝∠CFD＝90°…（3分）

在△BED和△CFD中

∵

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）．

20．解：

过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，

PF⊥AC于F，

∵点P是△ABC三条角平分线的交点，

∴PD＝PE＝PF

∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC＝

PD•AB+

PE•BC+

PF•AC

＝

PD•（AB+BC+AC）＝

PD•（7+25+24）＝28PD

又∵∠ABC＝90°，

∴S△ABC＝

AB•BC＝

×7×24＝7×12

∴7×12＝28PD，

∴PD＝3

答：

点P到AB的距离为3．

21．

（1）解：

∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，

∴AE＝BE，

∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，

∵AC＝15cm，

∴BC＝25﹣15＝10cm；

（2）证明：

∵∠A＝36°，AB＝AC，

∴∠C＝

（180°﹣∠A）＝

（180°﹣36°）＝72°，

∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A，

由三角形的外角性质得，∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，

∴∠BEC＝∠C，

∴BC＝BE．

22．解：

（1）由作法可知MN是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∵△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，

∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝14cm，

∴AB＝AC＝14﹣5＝9（cm）；

（2）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠A＝42°，

∴∠ABC＝∠ACB＝69°，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴∠A＝∠ABE＝42°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝69°﹣42°＝27°．

23．

（1）证明：

∵AB＝AC，∠C＝30°，

∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，

∵AB⊥AD，

∴∠DAC＝30°，

∴∠DAC＝∠C，

∴DA＝DC，

∵DE⊥AC，

∴AE＝EC；

（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，

∴DC＝2DE＝4，

∵AB⊥AD，∠B＝30°，

∴BD＝2DC＝8，

∴BC＝12．

24．解：

（1）△APB是直角三角形，

理由如下：

∵AB＝AC，∠B＝30°，

∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，

∵PQ∥AC，

∴∠BPQ＝∠C，

∴∠APB＝60°，

∴∠BAP＝90°，

∴△APB是直角三角形；

（2）当AQ＝QP时，

∴∠QAP＝∠APQ＝30°，

∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，

当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，

∴∠BQP＝105°，

当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，

∵P不与B、C重合，

∴不存在，

综上所述：

∠BQP＝105°或60°．

25．解：

（1）∵△AOB是直角三角形，

∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°．

∵∠A＝∠AOC，

∴∠B＝∠BOC；

（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°，

∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA．

∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，

∴∠DOB＝30°，

∴∠A＝30°；

（3）∠P的度数不变，∠P＝30°，

∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC，

∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，

∴∠FOM＝

∠AOM＝

（90°﹣∠AOC）＝45°﹣

∠AOC，∠PCO＝

∠BCO＝

（∠A+∠AOC）＝

∠A+

∠AOC．

∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）

＝45°﹣

∠A

＝30°