《超级画板》第十二篇论文讲解.docx
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《超级画板》第十二篇论文讲解
《超级画板》第十二篇论文讲解
在本科教学工作中，毕业论文占据着重要的地位。
按照国家有关规定，本科生必须完成毕业论文才能获取学位，准予毕业。
近年来由于就业压力加大，在大四准备论文的时候，很多同学都还在忙于找工作和备考研究生，占用了大量时间，无暇顾及论文。
互联网（特别是中国期刊网等论文库）又为论文的粗制滥造和抄袭作假提供了方便，从标题到摘要，从内容到参考文献，全文照搬的也不在少数。
很多学生在答辩前一个星期才与指导教师联系，常常被要求重新返工，仓促补救，论文质量令人堪忧。
如果就业、考研导致同学们在时间与精力的投入不够还可以理解，但从对毕业论文的安排、检查和总结的情况来看，造成上述现象及结果的主要原因是学生缺乏科研创新能力。
毕业论文是大多数学生初次参加科研活动，缺乏经验。
有的好高骛远，盲目行事；有的犹豫不决，茫然无所适从；有的平时不注意研究问题，对如何搞科研摸不着门路；有的虽然平时喜欢研究问题，但很少撰写文章，语言不够专业，理论素养差。
针对这些问题，必须要有比较系统的科研培养方案，循序渐进的思维引导和研究材料积累，否则要想在几个月的时间里，完成从选题、研究到写作的全过程是相当困难的。
《超级画板》为探索、发现数学问题提供了平台，同学们可以充分利用这一平台，作一些研究性的工作。
不用花费太多的时间，你就会发现原来很多一知半解的问题变得清楚明朗了，甚至还能够推陈出新，发现一些新的结论。
在探索的过程中，把自己的一些想法，发现记录下来，慢慢地你就会感受到写论文也不是那么难。
下面我们给出王鹏远教授一篇用《超级画板》探索变量与函数教学的文章，供大家参考，更多范文参见《超级画板与数学新课程》一书。
在“Z+Z”支持下变量与函数的教学
王鹏远
（教育部北京师范大学基础教育课程研究中心数学课程工作室）
函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，是贯穿于整个中学数学的核心内容。
传统的中学数学中，学生从初三开始接触函数概念，然后研究正、反比例函数、一次函数和二次函数的图象和性质。
到了高一，则在此基础上对函数概念进一步抽象，用集合映射的语言给出函数定义，研究函数的一般性质，研究幂、指、对函数与三角函数。
经验表明，在初中这样一个相对较短的时间内，学生往往只记住了一些具体函数图象与性质的现成结论，而对函数概念中所蕴含的变量与变量之间依赖关系的思想缺乏充分的认识。
升入高一，教材有了一个明显的跨度，学生对于抽象严谨的高度形式化的数学语言很不适应，对从图象上“读”出函数性质与从解析式研究函数性质的方法不能掌握。
许多学生仍然停留在用静止的眼光看待函数，机械地记忆函数概念与一些具体函数性质的现成结论。
因此，如何处理函数这一贯穿于整个中学数学的核心内容，如何改进这一内容的编排、呈现方式与教学方法就非常值得研究，这其中包括研究信息技术对教学的影响。
信息技术是研究与认识函数的强有力的工具，下面我们将重点讨论在“Z+Z”智能教育平台支持下变量与函数的教学。
首先，谈谈初中新课程对这一内容的处理。
新课程对初中函数内容的组织结构进行了一些调整，按照循序渐进螺旋式上升的原则，将函数内容分散在三个年级。
例如北师大新世纪版在七年级下学期安排了“变量之间的关系”，在八年级上学期给出函数定义并研究一次函数，九年级上下学期分别安排了反比例函数与二次函数。
从内容的呈现方式看，注意选取生活的实例创设情境，让学生经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，从非正式的了解与体会逐步过渡到数学的正式讨论。
这样一种设计的教学理念是力图顺应学生的认识规律，体现充分讲道理，让学生感悟生动活泼的函数思想形成的过程。
而“Z+Z”智能教育平台恰好为实现这一理念提供了理想的工具与环境。
1．借助“Z+Z”创设贴近学生生活的教学情境。
教材在七年级下学期安排“变量之间的关系”作为整个初中函数教学的起点内容。
这一章首先要求学生认识具体情境中的变量及其相互关系；区分常量、自变量和因变量。
教材举出身高随年龄的增长而变化，骆驼的体温随时间而变化等实例引起学生对变化的关注，增进学生对变量的感性认识，体会认识变量，掌握变量的用处，从而从常量自然地过渡到变量的学习。
配合教材，“Z+Z”提供了生动的课件，如“小车下滑的时间”、“温度的变化”和“速度的变化”等，这些课件使学生“看”到了运动变化，看到了这个过程中的变量与常量，自变量和因变量以及它们之间存在着怎样的依赖关系。
例1．
小车下滑的时间。
在济南育英中学老师制作的“小车下滑的时间”
的课件中，可以通过鼠标自由调节木板板长，木板高
度和木板的粗糙度，选择“开始下滑”按纽，屏幕呈
现“小车”沿着“木板”下滑的动画，同时屏幕动态
地显示出小车下滑时间。
学生在具体情境中能直观地
看到了木板板长，木板高度，木板的粗糙度三者之一
都可以作为自变量，其它两个作为常量，而小车下滑
时间则是由前者确定的因变量。
自变量能够通过动手
调节获得了亲身的感受，计算机提供的自动列表统计
即时地用数组记录出小车下滑时间与自变量之间的依
赖关系。
“Z+Z”智能教育平台强大的模拟试验、动态演示和自动测量功能以及人机交互功能，有效满足了“变量之间的关系”这段内容的教学需求，它的效果是文字教材无法达到的，也是用普通的动画软件无法实现的，充分显示出智能教育平台在函数教学中的突出优势。
例2．温度的变化。
在与教材配套的课件“温度的变化”中，选择“动画”按纽可以从“温度计”与“温度变化曲线”上同时看到温度的变化，左右两个窗口呈现的“温度计”与“温度变化曲线”生动地反映了从实际问题抽象为数学模型的数学化的过程。
通过拖动屏幕上的绿点与蓝点，还能创设不同的问题情境。
例3．速度的变化。
在与教材配套的课件“速度的变化”中有两个窗口，可以显示左面的图象，也可以同时显示两个窗口，这时屏幕将同步显示出实际情境中汽车的“车速表”指针的变化与反映速度与时间之间关系的速度曲线上点的变化。
模拟现实“车速表”对照数学化的速度变化的图象，有效地加深了学生对于变量之间关系的理解。
由此可见，这些课件充分发挥了直观的优势，利用“小车”、“温度”、“车速”等学生熟悉的实际创设情境，使学生通过观察、动手操作等活动深刻地体会变量的有关概念，理解可以用列表和图象的方法精确刻画变量之间的关系，从而揭示出关系背后所隐含的变化规律。
信息技术深刻地改变了教学内容的呈现方式，极大地丰富了变量之间的关系的教学方法。
2．利用“Z+Z”创设函数学习的认知环境。
例4．“数值转换机”
“数值转换机”这个课件对课本的静态教材资源进行了加工，它以“机器图”为背景，借助“Z+Z”强大的动画功能，生动地体现了用公式法表示变量之间关系的含义。
大家知道，字母表示是变量学习的一个基础。
如何理解一个字母的意义呢？
应该结合具体的数学活动来辩证地分析一个字母的意义。
一个字母
表示一个变量，它可以取允许范围内的所有的数值，其形式（x这个符号）是固定的，但内容（取值）是可以变化的。
关系式是表示变量之间关系的另外一种方法。
它的特点是用含有表示自变量的字母的代数式概括地表达自变量与因变量之间的依赖关系，这个关系式形象地说相当于一个“数值转换机”，每输入自变量一个确定的数值，经过“关系式”的处理就输出一个确定的函数（因变量）的数值。
形象直观的演示出这种“输入”与“输出”的过程，既能够很好的在变化过程中体现出自变量与因变量的数值“对应”关系，渗透对应思想，为以后的函数学习做好铺垫。
又把
和
的对应，分解为几个步骤，而每个步骤中，其输入值与输出又有着对应关系。
这样就能够帮助学生深刻理解对应思想和对应关系的生成过程。
此后还可以利用“Z+Z智能教育平台”的程序工作区深化关于函数相当于“数值转换机”的认识，例如记
，
的作用相当于对于输入的自变量x具体的数值作出确定的“处理”后输出对应的函数值。
步骤是首先在程序工作区键入f（x）{x^2+3*x-7;},然后按Ctrl+Enter键，计算机回答f（x）,表明函数定义完成，下一个命令是说要进行浮点运算，以下就是函数值的运算了。
下图是利用程序工作区陆续计算
函数值的界面。
对于不同的函数，实际上就是对自变量的值作不同的“处理”。
例5．怎样研究函数的单调性。
函数的单调性是函数最重要的性质之一，通俗地说，函数的单调性指的是一个函数在某一个范围内是增还是减，是一路走高还是一路下滑？
函数的增减本身包含着变化趋势的概念，而利用传统的教学手段很难表现出变化，只好用语言“说”出这种变化。
有了“Z+Z智能教育平台”情况发生了很大的改观，它能提供包括形的、数的、动态的多种丰富的信息，表现函数变化的趋势。
下面以函数
为例，展示在信息技术支持下可以怎样表现函数的单调性。
上图是利用“Z+Z智能教育平台”强大的智能作图功能绘制的函数
的图象。
图象上的点P是动点，可以通过鼠标拖动，当拖动该点运动时，标识该点坐标的虚线段跟随运动，屏幕右上角P点的坐标随之变化，于是可以从动态变化的数与形的信息理解函数的变化趋势。
用鼠标在曲线附近单击左键，曲线变成粉红色，这时执行菜单命令“插入/表格”，屏幕就出现了对应的函数表，于是还可以借助函数表格研究函数的单调性。
例6．为什么需要从解析式出发研究函数性质。
上面的例子说明在研究函数的性质时可以充分利用直观，让学生经历从了解到理解，从感性到理性，从不精确到严格的形式化的过程。
直观和抽象是彼此矛盾又互相联系的两个方面，直观是必要的，少了它抽象就是空洞的，但数学不能停留在直观、满足于直观，而避开形式化。
“形式化是数学的基本特征之一。
在数学教学中学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。
”“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生的自主探究活动，使学生理解数学概念、结论的形成过程。
”
函数图象固然是研究函数性质的有力工具，但是还需要从解析式出发研究函数性质，这是为什么呢？
怎么给学生讲清这个道理呢？
这里举张景中院士的一个精彩的教学设计片断与大家分享，从中也可以看到信息技术的作用。
张院士在给高一学生写的新教材中有下面一段叙述：
会画图看图，是不是研究函数性质的问题就解决了呢？
不完全如此。
a）画图不精确。
图上表示3.14还勉强，3.1416就难了。
b）图上空间有限,定义域为（
的函数怎么画呢?
c）描点连线,两点之间连哪种线呢?
下图是计算机用描点连线的方法画出的一个函数的两个图象。
虚线是取10个点描出的，实线是取50个点描出的，两者不一样。
打开与教材配套的课件还可以通过拖动点A改变取的点数，此时函数的图象也随之发生变化。
这促使人们思考：
到底取多少点才合适呢？
通常，描点连线时，两点之间用一条光滑的曲线连起来就是了，可是实际上这两点之间的曲线也许是平滑的，也许会拐上几道弯。
可见，多取些点不能从根本上解决问题，这时就需要从解析式出发研究函数，需要在数学思维与数学推理的指导下画图。
这说明“Z+Z”虽然是函数学习的良好的认知环境，但是如何在这一环境中组织教学还有待于教师的精心设计。
现在一些数学课堂没有充分发挥函数图象直观的优势，而另外一些课堂则仅满足让学生通过观察图象得出函数性质，缺少了必要的数学思维和数学推理。
利用直观又不满足于直观，是需要在教学中注意的。
例7．有界函数与函数的最值。
关于函数的极值与最值，可以利用课件直观地说明
选择“动画”按纽，函数图象上的动点沿着曲线运动，同时动点的纵坐标随之变化。
很容易从这个函数图象发现，函数有两个极大值和两个极小值，但函数的最大值和最小值确却是在闭区间的端点处取得。
拖动红点改变曲线，又可以构造那样的函数，它的最大值是几个极大值中最大的一个。
对于有界函数凭借直观就显然不行了。
例如函数
是上下有界的，在x=0时取最大值1，却没有最小值。
函数取最大值是容易从图象观察出来的，而没有最小值却必须经过推理。
类似地，画出函数
的图象不能说明它是上下有界的，没有最大值也没有最小值。
要说清楚这一点，也需要经过推理证明。
3．利用“Z+Z”作为函数教学的便捷工具。
工欲善其事，必先利其器。
研究函数一离不开计算，二离不开画图。
我们过去计算画图全靠手工，慢不说，也不准确。
现在有了“Z+Z”，计算画图都有了现代化的工具，技术的进步必然引起教学方法和观念的更新，我们现在可以考虑在这个新工具的支持下如何改进函数教学了。
下面通过一些具体的案例加以说明
例8．函数画图
函数图象是认识函数性质的窗口。
传统教学中的函数画图凭借手工，画函数
的图象时，我们教学生列表、描点、连线的画图步骤。
在计算机飞速发展的今天，这种方法仍然是不可废弃的，因为学生可以从中理解函数图象生成的过程，而用计算机直接画出图象，学生看到的只是计算机画图的结果。
但只满足于列表、描点、连线来说明函数图象形成的过程行不行呢？
前面的例6已经说明仅凭少许的几个点不能说这个函数的图象是光滑的。
那么如何对初学者教授函数图象的画法呢？
一种可供选择的方案是手工与计算机相结合。
方案1在用传统方法让学生经历列表、描点、连线画出函数
在[-3，3]的图象之后，展示下面的课件，通过鼠标拖动点A增加取点的个数观察图象形成的过程。
图中给出的分别是取7个、13个和31个点的情形。
如果没有计算机这样便捷的工具，根本不可能如此精细地研究函数图象的生成过程。
方案2在学生画图的同时，教师用点作图的方式画图并用动点的轨迹画函数图象。
这种方案的好处是把学生的描点画图与计算机的描点画图很自然地结合起来，用动点轨迹的方式生动地表现了函数图象形成的过程。
利用“Z+Z”智能教育平台画函数图象还有多种方式，供我们根据教学的不同需要进行选择。
例如在研究函数性质时，希望提高画图的效率与准确性，无须更多关注图象生成的细微过程，这时可以通过画图菜单直接键入函数的解析式，也可以利用计算机程序语言画图。
例如我们要画函数
的图象，可以在程序工作区中键入Function（y=（2*x）/（1+x^4）,-3,3,20）；再按Ctrl+Enter键，便立刻能在主窗口画出函数
在区间（-3，3）上面的图象，这图象是对自变量的20个值计算对应的函数值描点画出的。
这说明Function（s,a,b,k）是一个画函数图象的函数，它有四个参数。
s是函数表达式，a,b是图象区间的端点，k是描点的数目。
掌握了这个方法能够极大提高画图的效率，从而节约出大量宝贵的教学时间，同时可以大大拓宽学生的眼界。
例9．函数图象的变换
举一个简单的例子，由函数
的图象经过怎样的变换可以得到函数
的图象。
用传统的教学手段，平移变换是“想象”出来的。
用几何画板，可以让图象真的在屏幕上动起来。
用“Z+Z”智能教育平台则不仅能实现动态效果，而且有助于说明理由。
下图是反映这两个函数图象关系课件的界面。
红线是函数
的图象，蓝线是函数
的图象。
屏幕右方列出红蓝两色的表格，各列出两个图象上15个点的坐标。
对比这两个表格中横坐标相同的两个点的坐标，可以发现它们的纵坐标相差2个单位。
屏幕上还有一条垂直于x轴的动直线与两函数图象分别交与点A和点B，拖动屏幕右下方滑块中的x可以使这条动直线平行移动。
表格上方则动态地显示出点A和点B的坐标，它们的横坐标相同而纵坐标总相差2个单位。
既然对于每一个确定的x值，这两个函数的函数值都相差2，故
的图象相当于把函数
的图象沿y轴向上平行移动了两个单位。
一般地，可以通过上下平行移动由函数
的图象得到函数
的图象。
拖动屏幕左下滑块中c的值。
可以得到图象上下平行移动的动态效果
用类似的方法可以便捷地设计出关于函数图象各种变换以及互为反函数的图象的课件。
例10．函数图象的叠加
在黑板上把两个函数的图象叠加起来（例如sinx+
）是不容易的，如果把叠加函数的个数顺次从2到3到4等等一直增加到50个，利用传统手段是根本不可能实现的。
现在利用“Z+Z”智能教育平台的程序作图，却非常容易实现。
选择动画按纽，屏幕则动态地呈现从一个函数到50个函数图象叠加的效果。
这样一来，三角函数的教学内容可以拓宽了，例如可以组织学生开展数学实验“电子琴为什么能模拟不同乐器的声音”。
例11．函数增长快慢的比较
这是高中新课程函数这一部分增加的内容。
比较函数增长的快慢，或者从形的角度观察，或者从数的角度分析。
无论从哪个角度分析，都需要有便捷的工具。
下面看利用“Z+Z”我们可以怎样进行研究。
比较函数
和
，
。
图形如下，从图上可以看到开始
一路领先，但后劲不足，终于在x=16处被
跟上，以后被反超。
通过鼠标控制x，能够看到一条垂直于x轴的线段，它与图象的交点A、B随之运动，屏幕同时显示出这两点的坐标。
借助“Z+Z智能教育平台”这个便捷工具，这个课件几乎是随手画出，非常方便。
比较函数
和
增长的快慢。
上图显示出如何利用用“Z+Z”智能教育平台进行探讨。
利用鼠标拖动变量尺上的滑纽改变的值，观察测量数据的变化。
我们可以提出下面的问题让学生思考：
当x从1增加到10时，
和
的增长速度之比是多少？
当x从10加到1000时，
和
的增长速度之比是多少？
哪个增长的快？
快多少倍？
看！
数学实验借助“Z+Z”智能教育平台已经进入了函数教学。
例12．计算函数零点的二分法。
最后举的计算函数零点的二分法的例子也是新课程函数增加的内容。
用二分法求函数的零点需要大量繁复的重复性的计算，用笔算、用计算器计算速度都很慢。
因此，“Z+Z”智能教育平台工具的便捷性就显示出了优势。
以下是在“Z+Z智能教育平台上”求方程
的根的程序。
这里f（x）之后的大括号内键入函数的解析式；
Float
（1）表示结果用小数表示；
root表示根，后面圆括号内的前两个数分别是搜索区间的左右端点的值，h表示对精确度的要求；
接着进入计算：
区间中点的值，该点的函数值以及区间左端点的函数值。
进入第一个判断，“y=0?
”如果“是”输出，否则，进入第二个判断，看是否是近似解，如果“是”输出，否则进入第三个判断“
”以确定下一个搜索区间。
打开课件“二分法例题2.zjz”，把右面的程序拷到左面的程序工作区，然后在程序的第一行以及第二行后按Ctrl+Enter键，在下一行输入root{,,},大口号内输入你想好的a,b与h的数值及分号（；），然后按Ctrl+Enter键，计算机屏幕将马上显示计算结果。
在学生上机进行操作的过程中可鼓励他们相互讨论，教师则巡回辅导。
下面是在“Z+Z智能教育平台上”求方程
的根运行效果
这里我们进行了六次运算，前三次搜索区间都为[1，2]，取的h值分别为0.1,0.02和0.002,这时的误差分别为0.05，0.01和0,001，后两次搜索区间都为[0.95，2.01]，取的h值分别为0.1,和0.0002,这时的误差分别为0.05，和0,0001。
普通高中数学课程标准中课程的基本理念第九条写道：
“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。
高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如把算法融入数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。
”通过上面的例子可以看到我们正在实现这个理念，现代信息技术已经对变量与函数的教学产生了深刻影响。
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