最新一元二次方程的解法基础训练及一元二次方程知识点优秀名师资料.docx
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最新一元二次方程的解法基础训练及一元二次方程知识点优秀名师资料
一元二次方程的解法基础训练及一元二次方程知识点
2=n,下列说法正确的是6.关于x的方程（x+m）
2A.有两个解x=?
n1.方程x=16的根是x=______,x=_______.12
22.若x=225，则x=_____,x=_______.12B.当n?
0时，有两个解x=?
n,m23.若x,2x=0，则x=________,x=________.12
2n,mC.当n?
0时，有两个解x=?
4.若（x,2）=0，则x=________,x=_______.12
25.若9x,25=0，则x=________,x=_______.12D.当n?
0时，方程无实根2226.若,2x+8=0，则x=________,x=________.127.方程（x,2）=（2x+3）的根是27.若x+4=0，则此方程解的情况是________.1A.x=,,x=,5B.x=,5,x=,51212238.若2x,7=0，则此方程的解的情况是_______.
12C.x=,x=5D.x=5,x=,59.若5x=0，则方程解为__________.12123210.由7，9两题总结方程ax+c=0（a?
0）的解的情况是:
三、解方程0时_________;当ac=0时______________;当ac,22
（1）x=4
（2）x=16当ac,0时__________________.
二、选择题
21.方程5x+75=0的根是（）
22（3）2x=32（4）2x=82.A.5B.,5C.?
5D.无实根
22.方程3x,1=0的解是（）
1A.x=?
B.x=?
33
223（5）（x+1）=0（6）2（x,1）=03C.x=?
D.x=?
3
23.方程4x,0.3=0的解是（）
1x,0.075A.B.x,,302022=1（7）（2x+1）=0（8）（2x,1）x,0.27x,,0.27C.12
11D.x,30x,,301220205724.方程=0的解是（）x,22
122（9）（2x+1）=3（10）（x+1）,144=0357772A.x=B.x=?
C.x=?
D、x=?
5555
25.已知方程ax+c=0（a?
0）有实数根，则a与c的关系
是（）
A.c=0B.c=0或a、c异号
C.c=0或a、c同号D.c是a的整数倍
1
22（3）x,x+6=0（4）x-6x+8=0
一、填空题
221.=__________，a的平方根是________.a
22、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再2.用配方法解方程x+2x,1=0时
2写成（x+m）=n的形式?
移项得__________________
122
（1）2x+3x,2=0
（2）x+x,2=0?
配方得__________________42即（x+__________）=__________
?
x+__________=__________或x+__________=__________
?
x=__________,x=__________123.用配方法解下列方程23.用配方法解方程2x,4x,1=022
（1）x+5x,1=0
（2）2x,4x,1=0
?
方程两边同时除以2得__________
?
移项得__________________
?
配方得__________________
?
方程两边开方得__________________
?
x=__________,x=__________1222x，3x,1,02（3）（4）xx-+=4304、为了利用配方法解方程,6xx,6=0，我们可移项
得___________，方程两边都加上_________，得_____________，化为___________.解此方程得x=_________，x=_________.125、填写适当的数使下式成立.
22x+6x+______=（x+3）?
221?
x,______x+1=（x,1）2（5）.（6）x（x，2）,24x,x,1,022?
x+4x+______=（x+______）2二、选择题21、一元二次方程x,2x,m=0，用配方法解该方程，
配方后的方程为（）
222A.（x,1）=m+1B.（x,1）=m,122C.（x,1）=1,mD.（x,1）=m+122、用配方法解方程x+x=2，应把方程的两边同时
2（）x,4（x,1）,5（7）（8）y（y，1）,12
1111A.加B.加C.减D.减4242
三、解答题21、列各方程写成（x+m）=n的形式
112222
（1）x,2x+1=0
（2）x+8x+4=0（9）（10）x，x,,0y，22y,4,036
2
22（13）4x+4x,1=0（14）2x,4x,1=0
22
（1）x+4x,4=0
（2）x,4x,4=0
122（15）（16）2360xx+-=xx-+=3202
22（3）（4）xx-+=320xx+-=3100
222（17）.（18）2+10xx-=xx（4）12+=3322（5）.（6）xx（4）12+=xx--=103
222（19）（20）xx--=4
（2）5yy（-3）2=2xx--=4
（2）5（7）（8）yy（3）28+=53
1322（21）（22）xx+-=210yy+-=32101122（9）（10）x，x,,0y，22y,4,04436
2（23）（）（）xx-34-390+-=1122（11）（12）yy+-=2310xx+-=063
3
622=2，x=D（x=x=,C（x1212
22222213.（m,n）（m,n,2）,8=0，则m,n的值是（）一、填空题
21（一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a?
0），A（4B（,2C（4或,2D（,4或2
2当b-4ac?
0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，三（解下列方程;方程_________（
22226=0yy+-1、2、2（方程ax+bx+c=0（a?
0）有两个相等的实数根，则231=0xx++有________，•若有两个不相等的实数根，则有
_________，若方程无解，则有__________（
23（若方程3x+bx+1=0无解，则b应满足的条件是
________（
24（关于x的一元二次方程x+2x+c=0的两根为________（（c?
1）225（用公式法解方程x=-8x-15，其中b-4ac=_______，23、4、6=11-3xx（x-2）（x-3）=4x=_____，x=________（1226（已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________（二选择题
27（一元二次方程x-2x-m=0可以用公式法解，则m=
（）（
A（0B（1C（-1D（?
12（用公式法解方程4y=12y+3，得到（）8
22,,3636,4172=0xx+-5、6、635=0xx+-A（y=B（y=22
323,,,323C（y=D（y=22
29（已知a、b、c是?
ABC的三边长，且方程a（1+x）
2+2bx-c（1-x）=0的两根相等，•则?
ABC为（）
A（等腰三角形B（等边三角形
C（直角三角形D（任意三角形2210（不解方程，判断所给方程:
?
x+3x+7=0;?
x+4=0;22227、8、x-2x+1=0（）5-18=13xx-?
x+x-1=0中，有实数根的方程有（）
A（0个B（1个C（2个D（3个211.用公式法解方程4x,12x=3，得到（）
,3636,
22A（x=B（x=
,323323,
22C（x=D（x=21229、0.4x-0.8x=110、y+y-2=133232212.方程x+4x+6=0的根是（）
322A（x=，x=B（x=6，x=1212
4
222、1、6=xx2-3=0xx
3、4、4（3+）7（3+）xxx=xxx（3）3（3）-=-一、填空题
1、填写解方程3x（x+5）=5（x+5）的过程
解:
3x（x+5）__________=0
（x+5）（__________）=0
x+5=__________或__________=0x=__________,x=__________?
1244225、6、4-12x-9=0xy-y+=02392、用因式分解法解方程9=x,2x+1
（1）移项得__________;
（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得
_________;
（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得______;
4）分别解这两个一次方程得x=_____,x=______.（12
3x（x+1）=0的解是;、
22224、3x（x,1）=0的解是;7、8、（2xx-1=9）（）（）xx-3=25+4
5、（x,1）（x+1）=0的解是;;
6、（2x,1）（x+1）=0的解是;
27、x—16x=0的解是;28、x+8x+16=0的解是;
二、选择题
222221.方程x,x=0的根为（）16-3（4）xx=+9、10、（）xx-3=-9
A.x=0B.x=1C.x=0,x=1D.x=0,x=,112122.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）
A.（2x,2）（3x,4）=0?
2,2x=0或3x,4=0
B.（x+3）（x,1）=1?
x+3=0或x,1=1
C.（x,2）（x,3）=2?
3?
x,2=2或x,3=3
D.x（x+2）=0?
x+2=0
3.方程ax（x,b）+（b,x）=0的根是（）
221（-3）+436xx=11.12.（-3）2
（2）xx（x+2）=+A.x=b,x=aB.x=b,x=1212a122C.x=a,x=D.x=a,x=b1212b4.下列各式不能用公式法求解的是（）
122y-6y+9=0A.B.y-y+1=04
222（4-3）+44-3+4=0xx（）13、3（4）+16xx+=C.
122D.（-1）+0xx=4三、解方程
5
111111A.2B.3C.23D.23或或232332
三、解方程
一、填空题22
（1）=0;
（2）2x，5x，2=0;2x,3x,20
21、填写解方程的过程xx-2-3=0
解:
x-3
x1
-3x+x=-2x
2所以（x-）（x+）xx-2-3=22（3）3x，7x,6=0;（4）xx--215=0
即（x-）（x+）=0
即x-=0或x+=0
?
x=__________,x=__________1222、用十字相乘法解方程6x,x-1=0解:
2x22（5）（6）352=0xx--6135=0xx-+
1
2x-x=-x
2所以6x,x-1=（2x）（）
即（2x）（）=0
即2x=0或=0
22（7）（8）7196=0xx--12133=0xx-+?
x=__________,x=__________12
23、解是;xx++=560
24、的解是;xx-+=560
25、的解是;;xx--=560
242（9）（10）xx--215=0xx--718=026、的解是;xx+-=560
27、的解是;2730xx=,，28、的解是;6750xx=,,
二、选择题1.方程x（x,1）=2的两根为A.x=0,x=1B.x=0,x=,11212
2C.x=1,x=,2D.x=,1,x=21212（11）（12）二次函数知10212=0xx-+
ab222.已知a,5ab+6b=0，则等于+ba识点归纳及相关典型题
6
轴（或重合）的直线记作.特别地，?
平行于yx,h第一部分基础知识轴记作直线.yx,0
2y,ax，bx，c（a,b,c1.定义:
一般地，如果是常数，7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果
二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口a，那么y叫做的二次函数.xa,0）
大小完全相同，只是顶点的位置不同.2y,ax2.二次函数的性质
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2y,ax
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y
（1）公式法:
22轴.b4acb,,,2yaxbxcax，,，，,，，,,22a4a,,y,ax
（2）函数的图像与的符号关系.a
2b4ac,b?
当时抛物线开口向上顶点为其最,,a,0（，）,?
顶点是，对称轴是直线2a4a低点;
bx,,.?
当时,抛物线开口向下,顶点为其最a,02a
高点.
（2）配方法:
运用配方的方法，将抛物线的解析式
2y（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析的形式，得到顶点为化为，，y,ax,h，k
2y,ax式形式为.（a,0）（,），对称轴是直线.hkx,h
2（3）运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴y,ax，bx，c3.二次函数的图像是对称轴平行于
为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直y（包括重合）轴的抛物线.
平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的2y,ax，bx，c4.二次函数用配方法可化成:
交点是顶点.
2的形式，其中，，y,ax,h，k用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进
2行验证，才能做到万无一失.b4acb,hk,,，,.2a4a2y,ax，bx，c9.抛物线中，的作用a,b,c
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:
?
2y,axa
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的
222y,axy,ax，k;?
;?
;?
，，y,ax,h
a完全一样.
22y,ax，bx，c;?
.，，y,ax,h，k
（2）a和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物b
26.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.y,ax，bx，c线的对称轴是直线
a?
的符号决定抛物线的开口方向:
当时，开a,0bx,,y，故:
?
时，对称轴为轴;b,02a口向上;当时，开口向下;a,0
bya?
（即、同号）时，对称轴在轴,0ba相等，抛物线的开口大小、形状相同.a
7
b2左侧;?
（即、异号）时，对称轴在a,0b.已知图像的顶点或
（2）顶点式:
，，y,ax,h，ka
轴右侧.y对称轴，通常选择顶点式.
2y,ax，bx，c（3）的大小决定抛物线与轴交（3）交点式:
已知图像与轴的交点坐标x、x，ycx21
点的位置.，，，，通常选用交点式:
y,ax,xx,x.12
2y,ax，bx，c当时，y,c，?
抛物线x,012.直线与抛物线的交点
2与y轴有且只有一个交点（0，）:
cy,ax，bx，c
（1）y轴与抛物线得交点为（0,
，抛物线经过原点;?
与y轴?
c,0c,0）.c
交于正半轴;?
与y轴交于负半轴.
（2）与y轴平行的直线与抛物线c,0x,h
2以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如y,ax，bx，c有且只有一个交点
b抛物线的对称轴在y轴右侧，则.,02（,）.ah，bh，cha
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
（3）抛物线与x轴的交点
函数解析式开口对称轴顶点坐标2y,ax，bx，c二次函数的图像与轴的两x
方向
xx个交点的横坐标、，是对应一元二次方程212（0,0）x,0y,ax
2y（的两个实数根.抛物线与x轴ax，bx，c,0
轴）的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的
2当）（0,x,0ky,ax，k判别式判定:
y（a,0,,?
有两个交点抛物线与x轴相,,0
时轴）交;
2开口（,0）x,hh，，y,ax,h,,?
有一个交点（顶点在x轴上）抛,,0
向上x物线与轴相切;2（,）x,hhk，，y,ax,h，k当,,?
没有交点x抛物线与轴相离.,,0
a,0x（4）平行于轴的直线与抛物线的交点b2（x,,y,ax，bx，c时同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个2a2b4acb,开口,，交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，2a4a向下2设纵坐标为，则横坐标是的ax，bx，c,kk）
两个实数根.11.用待定系数法求二次函数的解析式
2，，y,kx，nk,0（5）一次函数的图像与二次函ly,ax，bx，c
（1）一般式:
.已知图像上三点或
yx三对、的值，通常选择一般式.
8
2A，，y,ax，bx，ca,0数的图像的交点，G
FEy,kx，n由方程组的解的数目来确2BCy,ax，bx，cD定:
?
方程组有两组不同的解时与有两第,,,题图第4题图,Gl
2个交点;?
方程组只有一组解时与只,Gly,ax，bx，c,.二次函数的图象如图所示，则下有一个交点;?
方程组无解时与没有交,Gl列结论正确的是（,）
点.A（a,0，b,0，c,0B（a,0，b,0，c
（6）抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线x,0
2y,ax，bx，c与轴两交点为xC（a,0，b,0，c,0D（a,0，b,0，c
0，，，，Ax，0，Bx，0xx，由于、是方程2121
.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D,,ABCh,42的两个根，故ax，bx，c,0
为BC上一点，，交AB于点E，交AC于EFBC//
bcx，x,,x,x,,1212,DEF点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则xaa
2的面积y关于的函数的图象大致为（,）x2b4cb,4ac,,,22，，，，AB,x,x,x,x,x,x,4xx,,,,,,,12121212aaaa,,
y4444
第二部分典型习题
O2O4O2424O2x42,.抛物线y,x，2x,2的顶点坐标是（D）BCDA
A.（2，,2）B.（1，,2）C.（1，
3）D.（,1，,3）EFx4,2,,,,？
,，EFxyxx82,4842y,ax，bx，c,.已知二次函数的图象如图所示，则
下列结论正确的是（C）2y,x,2x,3,.抛物线与x轴分别交于A、B两点，,（ab,0，c,0,（ab,0，c,0,（ab
则AB的长为4（
0，c,0,（ab,0，c,0
2y,kx，（2k,1）x,16.已知二次函数与x轴交点的
xxx,x横坐标为、（），则对于下列结论:
?
1212
x,x当x,,2时，y,1;?
当时，y,0;?
方程2
2kx，（2k,1）x,1,0x有两个不相等的实数根、1
9
2,a（,2），b（,2），c,52c,,3,14，k,,,2xx,,x;?
x,,1，x,,1;?
，212122a,b,4则,即,解a,0，b,0，c,,3,,ky,,a，b,,1abc，，,,4,,,其中所有正确的结论是?
?
?
（只需填写序
a,1,号）（,b,,2得,xO,c,,3，，y,,2x，bb,07.已知直线与x轴交于点A，与y,
2轴交于点B;一抛物线的解析式为y,x,2x,3故所求的解析式为:
.
2，，y,x,b，10x，c.
（2）函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y为正数时，
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线
输入值的取值范围是x,,1或x,3（x上，试确定这条抛物线的解析式;y,,2x，b
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:
骆驼的
（2）过点B作直线BC?
AB交x轴交于点C，若抛物
体温会随外
线的对称轴恰好过C点，试确定直线的y,,2x，b
部环境温度
解析式.的变化而变
22y,x,10y,x,4x,6解:
（1）或化，而且在这
四天中每昼将代入，得.顶点坐标为（，0）bcb,
第9题夜的体温变2bbb，，，1016100（,）,，由题意得化情况相同（他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化24
情况绘制成下图（请根据图象回答:
2bbb，，，1016100,，，,,2b，解得?
第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是24
上升的?
它的体温从最低上升到最高需要多少时
bb,,,,10,6.12间?
（2）y,,2x,2?
第三天12时这头骆驼的体温是多少?
y8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，?
兴趣小组又在研究中发现，图中10时到
21y且是x的二次函数，已知输入值为,0,时,相22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解
4,3,（析式（应的输出值分别为5,
（1）求此二次函数的解析式;解:
?
第一天中，从4时到16时这头骆驼的
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,体温是上升的
y并根据图象写出当输出值为正数时输入值的x它的体温从最低上升到最高需要12小时取值范围.?
第三天12时这头
2骆驼的体温是39?
y,ax，bx，c解:
（1）设所求二次函数的解析式为,
?
10
12222，，y,,x，2x，2410,x,22时，?
ABC,90?
（〈?
〉当AC,AB，BC16
4222210.已知抛物线与x轴交于A、y,ax，（，3a）x，4由，得AC,AB，BC3
16816B两点，与y轴交于点C（是否存在实数a，使得（25,（,，9），（，16）22a9a9a?
ABC为直角三角形（若存在，请求出a的值;若不4解得（a,9存在，请说明理由（
444当时，，点B（-3，0）a,,,,,3解:
依题意，得点C的坐标为（0，4）（493a3，9xx设点A、B的坐标分别为（，0），（，0），12与点A重合，不合题意（
42x,,3由，解得，ax，（，3a）x，4,01222〈?
〉当时，?
BAC,90?
（BC,AC，AB3
4（x,,2222由，得BC,AC，AB3a
4?
点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）（,16168（，16,25，（,，9）3a22a9a9a4?
，4AB,|,，3|解得a,（不合题意（3a9
221，AC,AO，OC,5a,,综合〈?
〉、〈?
〉、〈?
〉，当时，?
ABC4
42222为直角三角形（|,|，4（BC,BO，OC,3a211.已知抛物线y,,x，mx,m，2.
?
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的416416822AB,|,，3|,,2，3，，9,,，9225两侧，并且AB,，试求m的值;3a9a3a9aa
，
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在
1622，（AC,25BC,，162关于原点对称的两点M、N，并且?
MNC的面积等于9a
22227，试求m的值.〈?
〉当时，?
ACB,90?
（AB,AC，BC
解:
（1）,（x，0）,B（x，0）.则x，x是方121
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