隐形圆说课讲解.docx
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隐形圆说课讲解
隐形圆
圆有关问题
第一讲“形”现“圆”形
问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2,点P为等腰直角三
角形ABC所在平面内一点，且满足PA丄PB,则PC的取值范围是
圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.
这类题目构思巧妙，综合性强，，充分考查了学生的数形结合、转化和化归
等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来.
圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现.
策略一由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
例1
（1）如果圆（x—2a）2+（y—a—3）2=4上总存在两个点到原点的距离为1,则
实数a的取值范围是.
（2）（2016年南京二模）已知圆O:
x2+寸=1,圆M:
（x—a）2+（y—a+4）2=
1•若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点为A,B,使得/APB
=60°则a的取值范围为.
AB=.3,P是圆C2：
（x3）2（y4）2
1上的动点，贝UpAPB的取值范围是
（3）（2017年苏北四市一模）已知A、B是圆Ci:
x2y21上的动点,
（4）若对任意
R，直线I:
xcos+ysin=2sin（+）+4与圆C:
（x—m）2+
6
（y—掐m）2=1均无公共点，则实数m的取值范围是.
（5）（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy中，圆G：
x12y22,圆C2:
xm2ym彳m2，若圆C2上存在点P满足：
过点P向圆C1作两条切线
PA、PB,切点为A、B,ABP的面积为1,则正数m的取值范围是
策略二由动点P对两定点A、B张角是90°（kpAkpB1，或PAPB0）确定隐形圆
例2
（1）已知圆C：
（x3）2（y4）21和两点A（m,0），B（m,0）（m0）,
若圆上存在点P,使得/APB=90°,贝m的取值范围是•
（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（-1,
0）,Q（2,1）,直线I:
axbyc0其中实数a,b,c成等差数列，若点P在直
线I上的射影为H,则线段QH的取值范围是.
（3）设mR，直线li:
xmy0与直线
12:
mxy2m40交于点P（Xo,y°），贝Ux。
2y。
22xo的取值范围是.
策略三由圆周角的性质确定隐形圆
例3
（1）已知a,b,c分别为ABC的三个内角代b,c的对边，a2，（a+b）（sinA
sinB）=（c-b）sinC贝UABC面积的最大值为.
（2）（2017年常州一模）在△ABC中，/C=45°,O是厶ABC的外心，若
策略四由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四
边形四点共圆）
1
例4设向量a，b，c满足|a|=|b|=1,ab=-§,若a—c与b—c的夹角为60°则|c|的最
大值等于.
【同步练习】
2.已知0为坐标原点，向量
（2,2）,CA
（、.2cos,2sin），贝U
0A与0B夹角的范围为
（2,0），OC
1•点AB分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（.3,0）移动到（.2,0），贝UAB中点D经过的路程为.
3.已知直线l:
x2ym0上存在点M满足与两点A（2,0）,B（2,0）连线的斜率之
积为1,则实数m的取值范围是
4.已知圆C:
x2+y2=1,点P（xo,yo）在直线x-y—2=0上,O为坐标原点，若圆C上存
在一点Q,使得/OPQ=30°则xo的取值范围是
5.如图，已知点A（—1,0）与点B（1,0）,C是圆x2+y2=1上的动点（与点A,B不重合），连接
BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，则线段PD的取值范围.
第二讲“数”现“圆”形
解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现.
策略五直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆
例1
（1）（2016年泰州一模）已知实数a，b，c满足a2b2c2，c0，则一
a2c
的取值范围为•
（2）若方程3—、•4xx2=x+b有解，则b的取值范围是
（3）已知实数x、y满足xJx1石~3y，则x+y的最大值是.
策略六直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆
例2
（1）已知,tR，则（cost2）2（sint2）2的取值范围是.
（2）函数f（x）=
sinx1
、、32cosx2sinx
策略七
由两定点A、
（是常数），求出动点P的
B,动点P满足
轨迹方程确定隐形圆
例3已知圆C:
（x3）（y4）21和两点A（m,0）,B（m,0）（m0）.若圆C上存在
点P,使得pApB1，则m的取值范围是.
策略八由两定点A、B,动点P满足PA2PB2是定值确定隐形圆
例4
（1）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:
（x—a）2+（y—a+2）2=1,点
BC2,
A（0,2），若圆C上存在点M，满足MA2+M02=10,则实数a的取值范围是
0上存在点P使得
i
PA-PB,则实数
m的取值范围是
斯圆）
（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆0:
x2+y2=1,
Oi:
（x—4）2+y2=4,动点P在直线x,3yb0上，过点P作圆0,01的两条
切线，切点分别为A,B,若满足PB2PA的点P有且仅有两个，则b的取值范
围.
（3）已知曲线C的方程x2y21,A2,0，存在一定点Bb,0b2和常数
，对曲线C上的任意一点Mx,y，都有MAMB成立，则点Pb,至U直线
mnxny2n2m0的最大距离为.
例6（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线I（一条南北方向的直
线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击•已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3
倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据：
sin17°-63，.335.7446）
（2）问：
无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？
并说明理由.
l
I
（例6）
当|PA|2+
（为常
的最大值
【同步练习】
1.已知圆C:
（x—3）+（y—4）2=1,点A（0,-1）,B（0,1）.P是圆C上的动点,
|PB|2取最大值时，点P的坐标是.
3.（2016年苏北四市一模）已知A（0,1）,B（1,0）,C（t,0），点D是直线AC上
的动点，若AD<2BD恒成立，则最小正整数t的值为.
4.在平面直角坐标系xOy中，M为直线x=3上一动点，以M为圆心的圆记为
圆M，若
圆M截x轴所得的弦长恒为4.过点O作圆M的一条切线，切点为P,则点
P到直线
2x+y-10=0距离的最大值为.
5.已知x、yR且满足x2xy4y?
6，则zx4y?
的取值范围是
第三讲“隐圆”综合
隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一
些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆.
一、三角形中的隐形圆例1
（1）（2017年南京、盐城一模）在ABC中，A，B，C所对的边分别为
a,b,c，若a2b22c28，贝UABC面积的最大值为.
（2）（2008年高考江苏卷）若AB=2，AC=2BC，则Sabc的最大值是
例2
（1）在ABC中，BC=2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD（B
为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）.当/C变化时，线段CD长的最大值为—.
（2）在ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，AB:
AD:
AC=3:
k:
1，则实数k的
取值范围为
二、向量中的隐形圆
b）0，则
例3
（1）已知向量a、b、c满足a2,bab=3，若（ca）（c
OC
例4已知
为非零的不共线的向量,
5
1r
bc的最大值是.
定义点集M{K|制茴}•当Kl、K2M时'若对任意的r‘2，不
等式c|ABI恒成立，贝U实数c的最小值为:
例5（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆
O:
x2y216，点P（1,2）,M、N为圆O上两个不同的点，且PMTN0,若
PQpMpn，贝ypQ的最小值为:
三、圆锥曲线中的隐形圆
例6在平面直角坐标系xOy中，已知圆。
1，圆。
2均与x轴相切且圆心。
1，。
2与
原点O共线，。
1，。
2两点的横坐标之积为6，设圆。
1与圆。
2相交于P，Q两
点，直线I:
2xy80，则点P与直线I上任意一点M之间的距离的最小值为
例7设椭圆
恒有两个交点
22
e:
x+y=1是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
84
A,B，且oA丄oB?
【同步练习】
1.若a,b,c均为单位向量，且a•=0,（a—c）（b—c）w0，贝U|a+b—c|的最大值为
2.已知曲线C:
x=—；4—y，直线I：
x=6,若对于点A（m,0）,存在C上的点P和I上
的点Q使得AP+AQ=0,则m的取值范围为.
3.已知圆C：
x12y21，点D（3,0），过动点P作圆C的切线PQ,切点为Q,
若PD72PQ，则△PCD面积的最大值为.
4.设点A,B是圆x2y24上的两点，点C（1,0），如果ACB90，则线段AB长度的取值范围为.
5.已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点
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