线段和差最值问题.docx

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线段和差最值问题

实用标准文案

专题一.线段和（差）的最值问题

【知识依据】

1．线段公理——两点之间，线段最短；

2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；

3．三角形两边之和大于第三边；

4．三角形两边之差小于第三边；

5、垂直线段最短。

一、已知两个定点：

1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；

（1）点 A、B 在直线 m 两侧：

A

A

m

P

m

B

B

（2）点 A、B 在直线同侧：

A

B

B

m

P

m

A、A’ 是关于直线 m 的对称点。

A'

2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：

m

A

m

P'

P

n

Q'

Q

n

B

B

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实用标准文案

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A

m

m

B

P

B

n

Q

n

B'

（3）两个点都在内侧：

A

m

A'

A

m

P

B

n

B

Q

n

B'

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：

已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短.

  n

n

A

B

A'

A

B

D

m

E

m

B'

变式二：

已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.

n

n

A'

A

A

Q

m

P

m

A"

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二、一个动点，一个定点：

（一）动点在直线上运动：

 点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）

1、两点在直线两侧：

n

B

n

A

m

P

A

m

2、两点在直线同侧：

n

n

B

A

A

m

P

m

A'

（二）动点在圆上运动：

点 B 在⊙O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）

1、点与圆在直线两侧：

O

O B'

B

m

P

P'

m

A

2、点与圆在直线同侧：

O

A

O

B

A

A

P

m

m

A'

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实用标准文案

三、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两

点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。

（原理用平移知识解）

（1）点 A、B 在直线 m 两侧：

A

P

Q

m

A

P

C

Q

m

B

B

过 A 点作 AC∥m,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左移动 PQ 长，即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。

（2）点 A、B 在直线 m 同侧：

A

E

A

B

P

Q

B

m

P

Q

B'

m

四、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边）

1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大；

（1）点 A、B 在直线 m 同侧：

A

A

B

B

m

P

P'

m

（2）点 A、B 在直线 m 异侧：

A

A

B'

m

P'

P

m

B

B

过 B 作关于直线 m 的对称点 B’,连接 AB’交点直线 m 于 P,此时 PB=PB’，PA-PB 最大值为 AB’

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Ⅰ．专题精讲

最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．

Ⅱ．典型例题剖析

B

一．归入“两点之间的连线中，线段最短”

Ⅰ．“饮马”几何模型：

A

条件：

如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点．

问题：

在直线 l 上确定一点 P，使 PA＋PB 的值最小．

l

模型应用：

1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则 PB+PE 的最小值是．

2．如图，⊙O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O 上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P 是 OB 上一动点，则 PA+PC 的最小值是

．

．如图，在锐角ABC 中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则

BM+MN 的最小值是．

第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题

4．如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点 P 是 AB 上一个动点，当 PC＋PD 的

和最小时，PB 的长为__________．

5．如图，等腰梯形 ABCD 中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小

值为．

6．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则

PA＋PB 的最小值为．

第 5 题第 6 题第 7 题

7．已知 A（－2，3），B（3，1），P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为．若 PA—PB 长度最大，

则最大值为．

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8．已知：

如图所示，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴的两个交点分别为 A（1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 P 在该抛物线上滑动，且满足条件 

PAB＝1 的点 P 有几个？

并求出所有点 P 的坐标；

（3）设抛物线交 y 轴于点 C，问该抛物线对称轴上是否存在点 

，使得MAC 的周长最小？

若存在，求出点 M 的坐标；

若不存在，请说明理由．

Ⅱ．台球两次碰壁模型

已知点 A 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点，使 PA+PQ+QA 周长最短.

变式：

已知点 A、B 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、n 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短.

模型应用：

1．如图，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．

2．如图，已知平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别为 A（2，－3），B（4，－1）

设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：

是否存在这样的点 M（m，0），N（0，n）,使四边形 ABMN 的周长最短？

若存

在，请求出 m＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

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中考赏析：

1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB=50km、B 到直线 X

的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，

图

（1）是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直，垂足为 P），P 到 A、B 的距离之和 S1＝PA＋PB，图

（2）是方案二的示

意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A'，连接 BA'交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的距离之和 S2＝PA＋PB．

（1）求 S1、S2，并比较它们的大小；

（2）请你说明 S2＝PA＋PB 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线 Y 的距离为

30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

3

18

2．如图，抛物线 y＝5x 2－ 5 x＋3 和 y 轴的交点为 A，M 为 OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，沿直线运动到

x 轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F），最后又沿直线运动到点 A，求使点

P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长．

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Ⅲ．已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧，且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两

点，使得 PA+PQ+QB 的值最小．（原理用平移知识解）

（1）点 A、B 在直线 m 两侧：

（2）点 A、B 在直线 m 同侧：

模型应用：

1

1. 如图，抛物线 y＝－4x 2－xError!

 No bookmark name given.＋2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B．

（1）求点 A、点 B 的坐标；

（2）若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：

PA－PB≤AB；

（3）当 PA－PB 最大时，求点 P 的坐标.

2. 如图，已知直线 y＝

1

2

x＋1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，

抛物线 y＝ x ＋bx＋c 与直线交于 A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0）．

2

（1）求该抛物线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AM－MC|的值最大，求出点 M 的坐标．

y

E

A

DO

y

B

C

x

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3. 如图，直线 y＝－3x＋2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，点 A 为 y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点 B 和点 O，

直线 BC 交⊙A 于点 D．

（1）求点 D 的坐标；

（2）过 O，C，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使线段 PO 与 PD 之差的值最大？

若存在，请求

出这个最大值和点 P 的坐标．若不存在，请说明理由．

4. 已知：

如图，把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取 AB 的中点 M，连接 

，把MBC 沿 x 轴的负方

向平移 OC 的长度后得到△DAO．

（1）试直接写出点 D 的坐标；

（2）已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上，点 P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q，连接

OP．若以 O、P、Q 为顶点的三角形与△DAO 相似，试求出点 P 的坐标；

（3）试问在

（2）抛物线的对称轴上是否存在一点 T，使得|TO－TB|的值最大？

若存在，则求出点 T 点的坐标；若不

存在，则说明理由．

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1．归入“三角形两边之差小于第三边”

1.直线 2x-y-4=0 上有一点 P，它与两定点 A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则 P 点的坐标是.

2.已知 A、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点 P）在 x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车

（点 P）的位置：

（1）求直线 AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到 A、B 两村距离之差最大？

（2）汽车行驶到什么点时，到 A、B 两村距离相等？

好题赏析：

原型：

已知：

P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋PB＋PC 的最小值．

例题：

如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意

一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM．

（

）求证：

AMB≌△ENB；

（2）①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小；

②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；

（3）当 AM＋BM＋CM 的最小值为3＋1 时，求正方形的边长．

变式：

如图四边形 ABCD 是菱形，且∠ABC＝

，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM

绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（　　）

①若菱形 ABCD 的边长为 1，则 AM＋CM 的最小值 1；

②△AMB≌△ENB；

③S 四边形 AMBE=S 四边形 ADCM；④连接 AN，则 AN⊥BE；

⑤当 AM＋BM＋CM 的最小值为 2

3时，菱形 ABCD 的边长为 2．

A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤

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