【答案】
(1)x=μ
(2)胖、瘦 (3)68.3% 95.4% 99.7%
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( )
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( )
(3)正态曲线是一条钟形曲线.( )
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述.( )
【解析】
(1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样本的标准差去估计.
(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值.而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值.
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确.
(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.若X~N(1,0.04),则P(X>1)=________.
【解析】 由X~N(1,0.04)知,正态曲线关于直线x=1对称,故P(X>1)=0.5.
【答案】 0.5
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
疑问3:
解惑:
[小组合作型]
正态曲线及其性质
(1)如图261,曲线C1:
f(x)=
(x∈R),曲线C2:
φ(x)=
(x∈R),则( )
图261
A.μ1<μ2
B.曲线C1与x轴相交
C.σ1>σ2
D.曲线C1,C2分别与x轴所夹的面积相等
(2)如图262是三个正态分布X~N(0,0.25),Y~N(0,1),Z~N(0,4)的密度曲线,则三个随机变量X,Y,Z对应的曲线分别是图中的______,______,______.(填写序号)
图262
(3)如图263所示是一个正态曲线,试根据该图像写出其正态分布密度曲线的函数解析式,则总体随机变量的均值为________,方差为________.
图263
【精彩点拨】 着眼点:
(1)方差的大小;
(2)正态曲线的特征及意义;(3)参数的几何意义.
【自主解答】
(1)由曲线C1,C2对称轴的位置知,μ1>μ2,由曲线C1瘦于C2知σ1<σ2,由f(x)>0知,曲线C1在x轴上方,故选D.
(2)由0.25<1<4,得X,Y,Z对应的曲线分别是图中的①②③.
(3)从正态曲线的图像可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为
,所以μ=20,
=
,解得σ=
.
于是,正态分布密度曲线的函数解析式为:
φμ,σ(x)=
·
,x∈(-∞,+∞).
总体随机变量的均值是μ=20,方差是σ2=(
)2=2.
【答案】
(1)D
(2)①②③ (3)20 2
利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ,具体方法如下:
1正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图像求μ;
2正态曲线在x=μ处达到峰值
,由此性质结合图像可求σ.
[再练一题]
1.设随机变量X服从正态分布,且相应的概率密度函数为f(x)=
,则( )
【导学号:
62690047】
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ=
D.μ=3,σ=
【解析】 由f(x)=
,得μ=2,σ=
.
【答案】 C
服从正态分布变量的概率问题
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=( )
A.0.6B.0.4
C.0.3D.0.2
(2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率.
【精彩点拨】
(1)根据正态曲线的对称性性质进行求解;
(2)题可先求出X在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半.
【自主解答】
(1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8,
∴P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2,
∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.
【答案】 C
(2)由题意得μ=1,σ=2,
所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=0.6830.
又因为正态曲线关于x=1对称,
所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)=
P(-1<X<3)=0.3415.
1.求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性,把待求区间的概率转化到已知区间的概率.
2.常用结论有:
(1)对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0);
(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).
[再练一题]
2.若η~N(5,1),求P(5<η<7).
【解】 ∵η~N(5,1),∴正态分布密度函数的两个参数为μ=5,σ=1.
∵该正态曲线关于x=5对称,
∴P(5<η<7)=
×P(3<η<7)=
×0.954=0.477.
[探究共研型]
正态分布的实际应用
探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),那么该圆柱形零件外直径的均值,标准差分别是什么?
【提示】 零件外直径的均值为μ=4,标准差σ=0.5.
探究2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品.试问1000件这种零件中约有多少件一等品?
【提示】 P(3.5<ε≤4.5)=P(μ-σ<ε<μ+σ)=0.6830,所以1000件产品中大约有1000×0.6830=683(件)一等品.
探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?
【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),
由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(4-3×0.5,4+3×0.5),
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003,而5.7∈(2.5,5.5).
这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂这批零件是不合格的.
设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数.
【精彩点拨】 要求及格的人数,即要求出P(90≤X≤150),而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.
【自主解答】 ∵X~N(110,202),
∴μ=110,σ=20,P(110-20∴X>130的概率为:
×(1-0.683)=0.1585;
X≥90的概率为:
0.683+0.1585=0.8415.
∴及格的人数为54×0.8415≈45人,
130分以上的人数为54×0.1585≈9人.
解此类问题一定要灵活把握Pμ-σ<ξ≤μ+σ,Pμ-2σ<ξ≤μ+2σ,Pμ-3σ<ξ≤μ+3σ进行转化,然后利用特定值求出相应概率.同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质.
[再练一题]
3.在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少.
(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人.
【解】 ∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ=
=10.
(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.954,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100,
由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.683.一共有2000名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.683=1366(人).
[构建·体系]
1.正态分布密度函数为φμ,σ(x)=
,x∈(-∞,+∞),则总体的平均数和标准差分别是( )
A.0和8 B.0和4
C.0和2D.0和
【解析】 由条件可知μ=0,σ=2.
【答案】 C
2.如图264是当ξ取三个不同值ξ1,ξ2,ξ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
图264
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
【解析】 当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=
.在x=0时,取最大值
,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.
【答案】 D
3.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=________.
【解析】 由于随机变量X~N(μ,σ2),其正态密度曲线关于直线X=μ对称,故P(X≤μ)=
.
【答案】
4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)=________.【导学号:
62690048】
【解析】 由X~N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16.
【答案】 0.16
5.一批灯泡的使用时间X(单位:
小时)服从正态分布N(10000,4002),求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率.
【解】 依题意得μ=104,σ=400.
∴P(104-800由正态分布性质知P(X<104-800)=P(X>104+800).
故2P(X>10800)+P(104-800∴P(X>10800)=
=0.023,
故使用时间超过10800小时的概率为0.023.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时:
45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设随机变量ξ~N(2,2),则D
=( )
A.1 B.2
C.
D.4
【解析】 ∵ξ~N(2,2),∴Dξ=2.
∴D
=
Dξ=
×2=
.
【答案】 C
2.下列函数是正态密度函数的是( )
A.f(x)=
,μ,σ(σ>0)都是实数
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
【解析】 对于A,函数的系数部分的二次根式包含σ,而且指数部分的符号是正的,故A错误;对于B,符合正态密度函数的解析式,其中σ=1,μ=0,故B正确;对于C,从系数部分看σ=2,可是从指数部分看σ=
,故C不正确;对于D,指数部分缺少一个负号,故D不正确.
【答案】 B
3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)等于( )
A.0.1588B.0.1587
C.0.1586D.0.1585
【解析】 由于X服从正态分布N(3,1),
故正态分布曲线的对称轴为x=3,
所以P(X>4)=P(X<2),
故P(X>4)=
=0.1587.
【答案】 B
4.某厂生产的零件外直径X~N(8.0,0.0225),单位:
mm,今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,则可认为( )
A.上、下午生产情况均为正常
B.上、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常,下午生产情况异常
D.上午生产情况异常,下午生产情况正常
【解析】 根据3σ原则,在(8-3×0.15,8+3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常.结合已知可知上午生产情况正常,下午生产情况异常.
【答案】 C
5.如果随机变量X~N(μ,σ2),且EX=3,DX=1,则P(0A.0.0215B.0.723
C.0.215D.0.64
【解析】 由EX=μ=3,DX=σ2=1,
∴X~N(3,1),
∴P(μ-3σP(μ-2σP(0∴P(0【答案】 A
二、填空题
6.已知正态分布落在区间(0.2,+∞)内的概率为0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=________时达到最高点.
【解析】 由正态曲线关于直线x=μ对称且在x=μ处达到峰值和其落在区间(0.2,+∞)内的概率为0.5,得μ=0.2.
【答案】 0.2
7.已知正态分布总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值为________.
【解析】 区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线x=1对称,所以均值μ为1.
【答案】 1
8.(2016·哈尔滨高二检测)如果随机变量ξ~N(-1,σ2),且P(-3<ξ≤-1)=0.4,则P(ξ≥1)=________.
【解析】 P(ξ≥1)=P(ξ≤-3)=0.5-P(-3<ξ≤-1)=0.5-0.4=0.1.
【答案】 0.1
三、解答题
9.在一次测试中,测量结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2]内取值的概率为0.2,求:
(1)X在(0,4]内取值的概率;
(2)P(X>4).
【解】
(1)由于X~N(2,σ2),对称轴x=2,画出示意图如图.
因为P(0(2)P(X>4)=
[1-P(0(1-0.4)=0.3.
10.一建筑工地所需要的钢筋的长度X~N(8,22),质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米,这时,他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机?
【解】 由于X~N(8,22),根据正态分布的性质可知,正态分布在(8-3×2,8+3×2)之外的取值概率仅为0.3%,长度小于2米的钢筋不在(2,14)内,所以质检员应让钢筋工马上停止切割,并对切割机进行检修.
[能力提升]
1.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 ∵ξ~N(2,9),
∴P(ξ>c+1)=P(ξ<3-c).
又∵P(ξ>c+1)=P(ξ【答案】 B
2.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )【导学号:
62690049】
A.(90,110)B.(95,125)
C.(100,120)D.(105,115)
【解析】 P(100<X<120)=P(110-2×5<X<110+2×5)=95.4%,
又95.4%×60=57.24%≈57%.
故选C.
【答案】 C
3.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是f(x)=
,x∈R.给出以下四个命题:
①对任意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;
②如果随机变量X服从N(μ,σ2),且F(x)=P(X③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100;
④随机变量X服从N(μ,σ2),P(X<1)=
,P(X>2)=p,则P(0其中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)
【解析】 画出正态分布N(μ,σ2)的密度曲线如图:
由图可得:
①图象关于x=μ对称,故①正确;
②随着x的增加,F(x)=P(ξ③如果随机变量ξ服从N(108,100),那么ξ的期望是108,标准差是10;
④由图象的对称性,可得④正确.故填①②④.
【答案】 ①②④
4.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
图265
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数
,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求EX.
附:
≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ【解】
(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由
(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683,依题意知X~B(100,0.683),所以EX=100×0.683=68.3.