高难度压轴填空试题平面向量.docx
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高难度压轴填空试题平面向量
1.在△ABC中，
uuur
uuur
AB＝4，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上的一点，那么BC
AP＝
_____________
【答案】
解析：
7
2
BCAP（ACAB）（AQQP）（ACAB）AQ（ACAB）1（ABAC）
7
2
2
A
P
BQC
2.OA1,OB3,OAOB0，点C在AOB内，AOC30o.
B
C
uuur
uuur
uuur
R），那么m等于
O
A
设OC
mOA
nOB（m,n
n
【答案】3
C（x,y）
uuur
uuur
uuur
R）得
[解析]：
法一：
建立坐标系，设
那么由OC
mOA
nOB（m,n
（x,y）
m（1,0）
n（0,
3）
x
m
而AOC
300
故tan300
y
m
y
3n
x
3n
uuur
uuur
uuur
R）两边同乘OA或OB得
法二：
OCmOAnOB（m,n
OCOA
m
3
m
OC
m
2
两式相除得
3
OCOB
3n
OC1
33n
n
2
3.在△ABC中，假设AB?
AC
AB?
CB4，那么边AB的长等于
22
1/13
2
8
解析：
AB?
AC
AB?
CB4AB（ACCB）8AB
ABC的重心，点P是
uuur
uuur
uuur
4.点G是
GBC内一点，假设AP
AB
AC,那么
的取
值范围是___________（2
1）
3
A
G
B
P
C
P’G’
解析：
AP
AG
GP
2AG'
GP'
3
1（AB
AC）
t（mGB
nGC）（其中0
t1,m
n
1）
3
=1（ABAC）
t[m1（AB
CB）n
1（AC
BC）]
3
3
3
=
1（1
mt）AB
1（1
nt）AC，那么
2
1t
（2,1）
3
3
3
3
3
5.O为
ABC所在平面内一点，满足
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
OA
BC
OB
CA
uuur2
uuur2
OC
AB
，那么点O是ABC的
心
垂心
解
析
：
uuur2
uuur
2
uuur2
uuur2
（OA
OB）（OA
OB）
（BC
CA）（BCCA）0
OA
BC
OB
CA
BA2OC
0，可知OC
AB，其余同理
6.设点O是△ABC的外心，AB＝c，AC＝b，b
1
2
c
2
→
→
1那么BC·AO的取值
范围
-1,2
4
2/13
A
O
B
C
解析：
b
12
c2
1
c2
2bb2
0
0
b2
BC
AO
（AC
AB）
AO
bRcos
cRcos
bRb
cR
c
1（b2
c2）
2R
2R
2
b2
b（b
1）2
1
-1,2
2
4
4
7.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
CA
33，假设AB
AE
AC
AF
2，那么EF与BC的夹角的余弦值等于
2
_____
3
解析：
〔2007全国联赛类似
38.39题〕因为AB
AE
ACAF
2，
所
以
AB（AB
BE）
AC（AB
BF）
2
，
即
2
ABBE
ACAB
ACBF
2
1，
AB
2。
因为AB
AC
AB
33
1
33
1
36
1
，BE
BF
，所以
2
33
1
1BF（ACAB）
1
2，即BF
BC
2。
设EF与BC的夹
角为θ，那么有|BF||BC|cosθ2
，即3cosθ=2，所以cosθ2
urur
r
ur
ur
ur
ur
urr
ur
r
3
ur
uur
8.向量
满足||
1,|
|
|
|,（
）
（
）0.假设对每一确定的,|
|的最大
值和最小值分别为
m,n,那么对任意
ur
n的最小值是
1
m
2
C
D
B
A
解析：
数形结合.
AB
AC
BC
AD
CD
BD
CD
BD，点D在以BC为直径的圆上运动，m
n就是BC，
而AC
BC,AB
1
2BC
1
BC
1
9题相同.
〔A,B,C共线时取等号〕和
2
9.向量a，b，c满足|
a|=1，|a-b|=|
b|，（a-
c）（
b-c
）=0
，
假设对每一个确定的
，|
c
|的最大值和最小值分别为
，
，那么对于任意的向量
b
，
m
+
n
的
b
mn
最小值为_________．3
2
3/13
解析：
此题和8完全相同。
数形结合，具体参见8
10.
设
e1,e2
是夹角为
60
0的两个单位向量，
OM
e1,ONe2
OPxOM
yON
，
，
假设
PMN是以M为直角顶点的直角三角形，
那么实数x
y取值的集合为_____________{1}
解析：
画图解即可
11.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上正半轴上滑动，那么OBOC的最大值为________2
y
C
D
B
O
A
x
解析：
（OAAB）（ODDC）
sin2
1
12.给定两个长度为
1的平面向量OA和OB，它们的夹角为
1200。
如下图，点C在以O
为圆心的圆弧
AB上变动，假设OC
xOA
yOB，其中x,y
R，B
C
那么x
y的最大值是___2
解析：
OC
2
2
y2
2xyOAOB
x2
y2
xy
（x
y）2
3xy
1
O
A
x
（x
y）2
1
3xy
1
3（x
y）2
2
【研究】如果要得到
x,y满足的准确条件，那么建系，
OA
（1,0）,OB
（1,
3）那么
2
2
OC（x
1y,3y），那么满足（x
1y）2
（3y）2
1
x
y2
xy1，且
2
2
2
2
x
1y
1,y
0
2
2
【变题】给定两个长度为
1且互相垂直的平面向量
OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧
AB上运动，假设OC
xOAyOB，其中x、y
R，那么（x
1）2
y2的最大值为
2
解析：
建系，利用坐标法是可以得到
x,y最准确的满足条件，如
OA
（1,0）,OB
（0,1）
OC
（x,y），点C在以O为圆心的圆弧
AB上运动，故满足x2
y2
1（x
0,y
0）
4/13
13.在平行四边形ABCD中，AB2,AD1,DAB60，点M为AB的中点，点
P在BC与CD上运动〔包括端点〕，那么AP?
DM的取值范围是
解析：
分两种情形，结合图形分析。
〔1〕当P在BC上时，
1
[,1]
APABBP，那么
AP
DM
AB
DM
BP
DM
1
BP
1
1]；同理，当
P在
CD上时，
1
[
1
1DM
1,1]
2
2
AP
DM
[
2
2
2
2
uuuur
uuur
PMN中，MN
7，16
14.
在周长为16
的
6，那么PM
PN的取值范围是
uuuur
uuur
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
36
ab，因ab
10，
解析：
PM
PN
abcos
ab
32
2ab
2
故ab
（a
b）2
uuuuruuur
32
ab
7，或者用消元的方法
25，PM
PN
2
uuuur
uuur
ab
a（10
a）
（a
5）2
25
25，当a
b
5时取等号，故PM
PN
32
ab
7；同时a
b
6
10
a
6
a
8
，当a
8
时ab
16，故ab
16，
uuuur
uuur
32
ab
16
PM
PN
另法：
此题可以得出
P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设
P坐标来解决
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2y
1
AOB是钝角，假设
15.
已知|OA|
4,|OB|
6,OC
xOA
yOB,且x
，
f（t）
uuur
uuur
uuur
6
111
|OA
tOB|的最小值为2
3，那么|OC|的最小值是
37
解析：
OC
xOA
yOB'
C,A,B'共线，用几何图形
A
解〕f（t）
uuur
uuur
23根据几何意义即
|OA
tOB|的最小值为
2
3
uuur
C
AOB
为A到OB的距离，易得
1200，要使|OC|
最小，
那么OC
AB'，利用面积法可求得
O
B’
B
16.如图，在正方形
ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上
uuur
uuur
uuur
1
的任意一点，设向量
AC
DE
AP，那么
的最小值为
2
（1,1）,AP
解析：
坐标法解，
AC
（1,1）,DE
（cos
sin）
2
uuur
uuur
uuur
由
AC
DE
AP
得
1
cos
1
2sin
2cos
2cos
sin
2
，
3
sin
1
2cos
sin
5/13
2sin
2cos
3
1sin
，
令
2cos
sin
3
1
2cos
sin
f（
1sin
[0,
]，f'（
22sin
cos
0
，故
f（）最小值为
）
sin
）
2cos
2
（2cossin）2
1
最小值为
1
f（0），
2
2
17.
P为边长为
1的等边
ABC所在平面内一点，且满足
CPCB
2CA，那么
PAPB=________3
P
A
B
C
解析：
如图
CP
CB
2CA
BP2CA，PAPB=
（PB
BA）
PB
2
BAPB
41
2
cos1200
3
PB
18.
向量
M={
a
a=（1,2）+
（3,4）
R}，N={a
a=（-2,2）+（4,5）
R}，那么
MN=________（46,62）
1
3
2
4
'
15
解析：
4
2
5
'
2
19.等腰直角三角形
ABC中，A
90，AB
2，AD是BC边上的高，P为AD的中
uuuur
uuur
1
点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当PMPN
2
时，AM
______3
B
MB
解析：
PM
PN
（PA
AM）（PA
AN）
E
D
20.如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1,
uuuruuur
uuuruuur
2
C
A
那么CACD
CACE
的最大值是
27
解析：
uuur
uuur
uuuruuur
1CD2CAcosA
1CA3sin2AcosA
1sin2Acos4A
2
CACD
CACE
2
2
2
27
21.
已知A，B
，C是平
面上不共线上
三
点，动点
P满足
6/13
OP1
（1）OA
（1）OB（12）OC（R且0）,那么P的轨迹一定通过ABC的
3
______________重心
解析：
设重心为
G，OPOG
（
OA
OB
OC
）
GP
（
CA
CB
）
2
CD
3
2
3
3
CG，故C,G,P三点共线
22.点O为
ABC的外心，且
AC
4,AB
2,那么AO?
BC
6
解析：
AOBC
AO（AC
AB）
4Rcos
CAO
2R
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