（1）计算:
（3※4）※9；
（2）这个运算满足交换律吗?
满足结合律吗?
也是就是说，下面两式是否成立?
①a※b=b※a;②（a※b）※c=a※（b※c）。
12.设a,b是两个非零的数,定义a※b
。
（1）计算（2※3）※4与2※（3※4）。
（2）如果已知a是一个自然数，且a※3=2,试求出a的值。
13.定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b。
比如:
10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68。
（1）求12⊙21,5⊙15；
（2）说明，如果c整除a和b,则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；
（3）已知6⊙x=27,求x的值。
答案
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）规定：
a※b=（b+a）×b，那么（2※3）※5= 100 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据a※b=（b+a）×b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（2※3）※5的值．
解答：
解：
因为，2※3=（3+2）×3=15，
所以，（2※3）※5=15※5=（5+15）×5=100，
故答案为：
100．
点评：
解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值．
2．（3分）如果a△b表示（a﹣2）×b，例如3△4=（3﹣2）×4=4，那么，当a△5=30时，a= 8 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据“a△b表示（a﹣2）×b，3△4=（3﹣2）×4=4，”得出新的运算方法，再用新的运算方法计算a△5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出a的值．
解答：
解：
因为，a△5=30，
所以，（a﹣2）×5=30，
5a﹣10=30，
5a=40，
a=8，
故答案为：
8．
点评：
解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可．
3．（3分）定义运算“△”如下：
对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b．例如：
4△6=（4，6）+[4，6]=2+12=14．根据上面定义的运算，18△12= 42 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据新运算知道，求18△12，就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答．
解答：
解：
因为，18和12的最大公约数是6，最小公倍数是36，
所以，18△12=（18，12）+[18，12]=6+36=42；
故答案为：
42．
点评：
解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可．
4．（3分）已知a，b是任意有理数，我们规定：
a⊕b=a+b﹣1，a⊗b=ab﹣2，那么4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]= 98 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据a⊕b=a+b﹣1，a⊗b=ab﹣2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]的值．
解答：
解：
4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]，
=4⊗[（6+8﹣1）⊕（3×5﹣2）]，
=4⊗[13⊕13]，
=4⊗[13+13﹣1]，
=4⊗25，
=4×25﹣2，
=98，
故答案为：
98．
点评：
解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可．
5．（3分）x为正数，＜x＞表示不超过x的质数的个数，如＜5.1＞=3，即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞的值是 11 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据题意，先求出不超过19的质数的个数，再求出不超过93的质数的个数，而不超过1的质数的个数是0，所以＜4＞×＜1＞×＜8＞的值是0，因此即可求出要求的答案．
解答：
解：
因为，＜19＞为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
＜93＞为不超过的质数，共24个，
并且，＜1＞=0，
所以，＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞，
=＜＜19＞+＜93＞＞，
=＜8+24＞，
=＜32＞，
=11，
故答案为：
11．
点评：
解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可．
6．（3分）如果a⊙b表示3a﹣2b，例如4⊙5=3×4﹣2×5=2，那么，当x⊙5比5⊙x大5时，x= 6 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据所给的运算方法，将x⊙5比5⊙x大5写成方程的形式，解答方程即可．
解答：
解：
由x⊙5﹣5⊙x=5，可得：
（3x﹣2×5）﹣（3×5﹣2x）=5，
5x﹣25=5，
x=6，
故答案为：
6．
点评：
解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可．
7．（3分）如果1※4=1234，2※3=234，7※2=78，那么4※5= 45678 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据“1※4=1234，2※3=234，7※2=78”，得出新的运算方法：
※的前一个数字是等号后面数的第一个数字，※后面的数字表示连续数的个数，是从※前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算4※5的值即可．
解答：
解：
由于1※4=1234，2※3=234，7※2=78，
所以4※5=45678；
故答案为：
45678．
点评：
解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可．
8．（3分）我们规定：
符号○表示选择两数中较大数的运算，例如：
5○3=3○5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：
5△3=3△5=3．
请计算：
=
．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据符号○表示选择两数中较大数的运算，符号△表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案．
解答：
解：
○
=
○
=
，
0.625△
=
△
=
，
△
=
△
=
，
О2.25=
О
=
，
所以：
=
=
；
故答案为：
．
点评：
解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可．
9．（3分）规定一种新运算“※”：
a※b=a×（a+1）×…×（a+b﹣1）．如果（x※3）※4=421200，那么x= 2 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
先根据“a※b=a×（a+1）×…×（a+b+1）”，知道新运算“※”的运算方法，由于（x※3）※4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案．
解答：
解：
令x※3=y，则y※4=421200，
又因为，421200=24×34×52×13=24×25×26×27，
所以，y=24，即x※3=24，
又因为，24=23×3=2×3×4，
所以，x=2；
故答案为：
2．
点评：
解答此题的关键是，根据新运算方法的特点，只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案．
10．（3分）对于任意有理数x，y，定义一种运算“※”，规定：
x※y=ax+by﹣cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1※2=3，2※3=4，x※m=x（m≠0），则m的数值是 4 ．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据x※y=ax+by﹣cxy，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将1※2=3，2※3=4，x※m=x写成方程的形式，即可解答．
解答：
解：
由题设的等式x※y=ax+by﹣cxy及x※m=x（m≠0），得a•0+bm﹣c•0•m=0，
所以bm=0，又m≠0，故b=0，
因此x※y=ax﹣cxy，
由1※2=3，2※3=4，得
，
解得a=5，c=1，
所以x※y=5x﹣xy，令x=1，y=m，
得5﹣m=1，
故m=4；
故答案为：
4．
点评：
解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．设a，b为自然数，定义a△b=a2+b2﹣ab．
（1）计算（4△3）+（8△5）的值；
（2）计算（2△3）△4；
（3）计算（2△5）△（3△4）．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
根据“a△b=a2+b2﹣ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可．
解答：
解：
（1）（4△3）+（8△5），
=（42+32﹣4×3）+（82+52﹣8×5），
=1++49，
=62；
（2）（2△3）△4，
=（22+32﹣2×3）△4，
=7△4，
=72+42﹣7×4，
=37；
（3）（2△5）△（3△4），
=（22+52﹣2×5）△（32+42﹣3×4），
=19△13，
=192+132﹣19×13，
=283；
答：
（1）62，
（2）37，（3）283．
点评：
解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可．
12．设a，b为自然数，定义a※b如下：
如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a．
（1）计算：
（3※4）※9；
（2）这个运算满足交换律吗？
满足结合律吗？
也是就是说，下面两式是否成立？
①a※b=b※a；②（a※b）※c=a※（b※c）．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
（1）根据“如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a，”得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（3※4）※9的值即可；
（2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明①和②这两个等式是否成立．
解答：
解：
（1）（3※4）※9=（4﹣3）※9=1※9=9﹣1=8；
（2）因为表示a※b表示较大数与较小数的差，显然a※b=b※a成立，即这个运算满是交换律，
但一般来说并不满足结合律，例如：
（3※4）※9=8，而3※（4※9）=3※（9﹣4）=3※5=5﹣3=2，
所以，这个运算满足交换律，不满足结合律；
答：
这个运算满足交换律，不满足结合律．
点评：
解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可．
13．设a，b是两个非零的数，定义a※b=
．
（1）计算（2※3）※4与2※（3※4）．
（2）如果已知a是一个自然数，且a※3=2，试求出a的值．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
（1）根据a※b=
，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（2※3）※4与2※（3※4）即可；
（2）根据新运算方法将a※3=2，转化成方程的形式，再根据a是自然数，即可求出a的值．
解答：
（1）按照定义有2※3=
，3※4=
，
于是（2※3）※4=
※4=
，
2※（3※4）=2※
；
（2）由已知得
①
若a≥6，则
≥2，从而
与①矛盾，
因此a≤5，对a=1，2，3，4，5这5个可能的值，
一一代入①式中检查知，
只有a=3符合要求．
点评：
解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可．
14．定义运算“⊙”如下：
对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比如：
10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70﹣2=68．
（1）求12⊙21，5⊙15；
（2）说明，如果c整除a和b，则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；
（3）已知6⊙x=27，求x的值．
考点：
定义新运算。
1665141
分析：
（1）根据新的定义运算，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数，5与15的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决；
（2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；
（3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与x的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案．
解答：
解：
（1）因为，12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3，
所以，12⊙21=84﹣3=81，
同样道理5⊙15=15﹣5=10；
（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，则c整除a，b的最大公约数，显然c也整除a，b最小公倍数，
所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除a⊙b，
如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a，b的最小公倍数，
再由c整除a⊙b推知，c整除a，b的最大公约数，而这个最大公约数整除b，
所以c整除b；
（3）因为6与x的最小公倍数不小于：
27+1=28，不大于：
27+6=33，
而28到33之间，只有30是6的倍数，
可见6和x的最小公倍数是30，
因此，它们的最大公约数是30﹣27=3，
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，
得到：
30×3=6×x，
6x=90，
x=15，
所以x的值是15．
点评：
解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可．
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