实际问题与一元一次方程常见题型.docx

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实际问题与一元一次方程常见题型

实际问题与一元一次方程

（一）（基础）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．

【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：

问题

方程

解答．由此可得解决此类

题的一般步骤为：

审、设、列、解、验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：

增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：

抓住关键词列方程，常见的关键词有：

多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系：

路程=速度×时间

（2）基本类型有：

　①相遇问题（或相向问题）：

Ⅰ．基本量及关系：

相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：

甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：

Ⅰ．基本量及关系：

追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程；

第二，第二，同时不同地出发：

前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：

Ⅰ．基本量及关系：

顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：

抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

寻找相等关系的方法：

抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?

【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米．

依题意，得5.8-x＝3x+0.6

解得x＝1.3

5.8-x＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）

答：

生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．

【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含x的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米．

举一反三：

【变式】（麻城期末考试）麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?

【答案】解：

设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：

x+2x+4x＝2800，

解得：

x＝400

答：

麻商集团第二个季度销售冰箱400台．

类型二、行程问题

1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

【答案与解析】

解：

设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：

4x+0.5＝5（x-0.5），解得x＝3．

所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5（千米）．

答：

学校到县城的距离是12.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．

举一反三：

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．

【答案】

解：

设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为

小时，下坡行驶的时间为

小时．依题意，得：

，

化简得：

．

显然a≠0，解得

答：

汽车的平均速度为

千米/时．

2.相遇问题（相向问题）

【高清课堂：

实际问题与一元一次方程

（一）388410相遇问题】

3．A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？

【答案与解析】

解:

设甲经过x小时与乙相遇.

由题意得：

解得，x=2.75

答：

甲经过2.75小时与乙相遇．

【总结升华】等量关系：

甲走的路程+乙走的路程=100km

举一反三：

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?

【答案】

解：

设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶（x+2.5）千米，根据题意，得：

解得：

（千米）

答：

甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?

【答案与解析】

解：

设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，

得

，

得：

，

小时=10分钟．

答：

通讯员用10分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题：

路程差=速度差×时间，此外注意：

方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．

4.航行问题（顺逆风问题）

5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．

【答案与解析】

解法1：

设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为（x+4）千米/时，逆水航行的速度为（x-4）千米/时，由两码头的距离不变得方程：

3（x+4）＝5（x-4），解得：

x=16，

（16+4）×3=60（千米）

答：

两码头之间的距离为60千米．

解法2：

设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为

千米/时，逆水航行时速度为

千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：

，解得：

答：

两码头之间的距离为60千米．

【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．

类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?

【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的

，甲管单独注水每小时注水池的

，合注7小时注水池的

，乙管每小时注水池的

．

【答案与解析】

解：

设乙管还需x小时才能注满水池．

由题意得方程：

解此方程得：

x＝9

答：

单独开乙管，还需9小时可以注满水池．

【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”．

举一反三：

【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?

【答案】

解：

设乙中途离开x天，由题意得

解得：

答：

乙中途离开了3天

类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）

7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?

共能生产多少套?

【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣

件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．

【答案与解析】

解：

设做上衣需要xm，则做裤子为（750-x）m，做上衣的件数为

件，做裤子的件数为

，则有：

解得：

x＝450，

750-x＝750-450＝300（m），

（套）

答：

用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．

【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：

上衣总件数＝裤子的总件数．

举一反三：

【高清课堂：

实际问题与一元一次方程

（一）调配问题】

【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的

.

解：

设从甲队调出x人到乙队.由题意得，

解得，x=12.

答：

需要从甲队调出12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的

.

实际问题与一元一次方程

（一）（提高）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：

问题

方程

解答．由此可得解决此类

题的一般步骤为：

审、设、列、解、验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：

增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：

抓住关键词列方程，常见的关键词有：

多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系：

路程=速度×时间

（2）基本类型有：

　①相遇问题（或相向问题）：

Ⅰ．基本量及关系：

相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：

甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：

Ⅰ．基本量及关系：

追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第三，同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程；

第四，第二，同时不同地出发：

前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：

Ⅰ．基本量及关系：

顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：

抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

寻找相等关系的方法：

抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

【答案与解析】　　

解：

设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：

x（1-25%）（1-40%）+1=25%x+（1-25%）x×40%

解得：

x=10

答：

油箱里原有汽油10公斤.

【点评】等量关系为：

油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.

举一反三：

【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?

一共展出了多少张邮票?

【答案】

解：

设这个班有x名学生，根据题意得：

3x+24＝4x-26

解得：

x＝50

所以3x+24＝3×50+24＝174

答：

这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．

类型二、行程问题

1.车过桥问题

2.某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．

【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．

【答案与解析】

解：

设火车车身长为xm，根据题意，得：

，

解得：

x＝300，

所以

．

答：

火车的长度是300m，车速是30m/s．

【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下（注：

A点表示火车头）：

（1）火车从上桥到完全过桥如图

（1）所示，此时火车走的路程是桥长+车长．

（2）火车完全在桥上如图

（2）所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．

举一反三：

【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？

【答案】

解：

设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：

，

解得：

x＝3

答：

从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．

2.相遇问题（相向问题）

3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.

【答案与解析】

解：

设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：

解得：

108．

答：

A、B两地间的路程为108千米.

【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程．

举一反三：

【高清课堂：

实际问题与一元一次方程

（一）388410二次相遇问题】

【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.

【答案】

解：

设A、B两站间的距离为xkm，由题意得：

解得：

x=122

答：

A、B两站间的距离为122km.

3.追及问题（同向问题）

4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了

，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．

【答案与解析】

解：

设卡车的速度为x千米/时，由题意得：

解得：

x=24

答：

卡车的速度为24千米/时．

【点评】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．

4.航行问题（顺逆风问题）

5．（武昌区联考）盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离．

【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：

（1）C地在A、B之间；

（2）C地在A地上游．

【答案与解析】

解：

设A、B两地间的距离为x千米．

（1）当C地在A、B两地之间时，依题意得．

解这个方程得：

x＝20（千米）

（2）当C地在A地上游时，依题意得：

解这个方程得：

答：

A、B两地间的距离为20千米或

千米．

【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图（如下图所示），然后利用“共乘”4小时构建方程求解．

5.环形问题

6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3

倍，环城一周是20千米，求两个人的速度.

【答案与解析】

解；设最慢的人速度为x千米/时，则最快的人的速度为

x千米/时，由题意得:

x×

-x×

=20

　解得：

x=10

答：

最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.

【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：

最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米.

举一反三：

【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?

【答案】

解：

设乙追上甲用了x分钟，则有：

72x-65x＝3×90

（分）

答：

乙第一次追上甲时走了

（m）此时乙在AD边上

类型三、工程问题

7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?

【答案与解析】

解：

设再过x小时可把水注满．由题意得：

解得：

．

答：

打开丙管后

小时可把水放满．

【点评】相等关系：

甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．

举一反三：

【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割

后，改用新式农机，工作效率提高到原来的

倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．

【答案】

解：

设这块水稻田的面积为x亩，由题意得：

解得：

．

答：

这块水稻田的面积为36亩．

类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）

8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，问：

应如何安排挖土和运土的工人?

【答案与解析】

解：

设安排x人挖土，则运土的有（120-x）人，依题意得：

5x＝3（120-x），

解得x＝45．

120-45＝75（人）．

答：

应安排45人挖土，75人运土．

【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：

挖土与运土的总立方米数应相等．

举一反三：

【高清课堂：

实际问题与一元一次方程

（一）配制问题】

【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？

【答案】

解：

设要用A种糖果x千克，则B种糖果用（100-x）千克.依题意，得：

28x+20（100-x）=25×100

解得：

x=62.5.

当x=62.5时，100-x=37.5.

答：

要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.

实际问题与一元一次方程

（二）（基础）知识讲解

【学习目标】

（1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；

（2）熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：

问题

方程

解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：

审、设、列、解、验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）

1．利润问题

（1）

（2）标价＝成本（或进价）×（1＋利润率）

（3）实际售价＝标价×打折率

（4）利润＝售价－成本（或进价）＝成本×利润率

注意：

“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．

2．存贷款问题

（1）利息=本金×利率×期数

（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

（3）实得利息=利息-利息税

（4）利息税=利息×利息税率

（5）年利率＝月利率×12

（6）月利率＝年利率×

3.数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：

若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

4．方案问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．

【典型例题】

类型一、利润问题

【高清课堂：

实际问题与一元一次方程

（二）利润问题例2】

1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？

为什么？

【答案与解析】

解：

设该商品的成本为a元，则商品的现价为（1+30%）a元，依题意其后来折扣的售价为（1+30%）a·（1+40%）（1-50%）=0.91a.

∵0.91a-a=-0.09a,

∴

·100%=-9%.

答：

商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.

【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．

举一反三：

【高清课堂：

实际问题与一元一次方程

（二）388413利润问题例3】

【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？

【答案】

解：

设该商品打x折，依题意，则：

500（1+40%）·

=500（1+12%）.

x=

=8.

答：

该商品的广告上可写上打八折.

【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容（如图所示），求出李明上次所买书籍的原价．

【答案】

解：

设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意