文件分配存储问题 数学建模.docx
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文件分配存储问题数学建模
题目：
文件分配存储问题
摘要
本文对于文件分配存储的问题，将文件保存的问题转化为最优规划的数学模型，并利用LINGO软件对所建立的模型进行求解，解决了在使用最少软盘存储所有的文件的难题。
模型一中的规划问题的三要素具体到本文中是：
决策变量为“某文件是否存在某张软盘上”；目标函数取“软盘的存储属性
（取值1或0，表示软盘上是否存了文件）的编号之和”；约束条件包括“文件与软盘的唯一对应关系”和“软盘容量大小的限制——同一软盘内文件的大小总和不超过软盘容量的限制”。
首先将文件从1到16进行编号，并假定有十六张软盘（也对其进行1~16编号），每个文件可以任意选择每个软盘。
列出目标函数
，在约束条件下，用LINGO软件求解。
软盘编号
占用容量（kb）
分配方案
第1张软盘
1411
46,62,137,372,388,406
第2张软盘
1463
55,87,108,164,253,364,432
第3张软盘
1426
114,461,851
求解可得最少需要3张软盘，这是最优解其中一组解（由于LINGO软件的局限，模型一只得到这一组结果）。
接下来分别用两种方法对模型进行检验：
首先采用原始数据对模型进行检验；接下来再改变软盘的限制容量，对模型的正确性和普遍性进行评估。
模型通过检验，数据证明模型一具有很高的正确性和很好的普遍性。
由于LINGO软件只能得出一组最优解结果，而实际存在多种满足最少耗用软盘数量的分配方案。
因此，建立模型二用逆序法求出满足题中条件是，最小耗用软盘的数仍为3，进一步检验了模型一的准确性。
关键词0-1规划文件存储目标函数约束条件模型检验逆序法
1.问题提出
1.1问题背景
软盘（FloppyDisk）是个人计算机（PC）中最早使用的可移介质。
软盘的读写是通过软盘驱动器完成的。
软盘驱动器设计能接收可移动式软盘，目前常用的就是容量为1.44MB的3.5英寸软盘。
一个1.44M的软盘，它有80个磁道，每个磁道有18个扇区，每个扇区存储512个字节，两面都可以存储数据，容量计算为计算它的容量：
80×18×2×512≈1474KB≈1.44M。
文件的大小用字节表示，但在存储的时候却是以簇为分配单元，即一个簇中不能包含两个文件的内容，也就是说无论一个文件有多小，哪怕它只有一个字节，一旦它占用了一个簇，那么别的文件就不能再写入这个簇了，也就是说这个簇中其它还未用上的空间就被浪费了，这样一般文件占用的存储空间都会比实际大小要大。
1.2问题重述
现需将一些最重要的文件备份到软盘上。
每个空白软盘的容量是1.44MB，需要备份的16个文件的大小分别为：
46KB，55KB，62KB，87KB，108KB，114KB，137KB，164KB，253KB，364KB，372KB，388KB，406KB，432KB，461KB，851KB。
假定无法使用压缩软件，但软盘数量足够多。
现请建立模型，在使用最少软盘的同时将所有的文件都储存进去。
2.问题分析
在本文中，需要解决的问题是如何合理设计文件分配存储方案，使得所用软盘数量最少。
显然，该问题属于优化类问题，可将分配的软盘数量通过0-1变量转化为目标函数，将软盘容量限制转化为约束条件，从而用数学的语言将原问题转化为线性规划问题，从而得出最少好用的软盘数量。
在实际求解过程中，考虑到LINGO软件只能给出一组最优解，而实际存在多种满足最少耗用软盘数量的分配方案。
因此，可再用其它方法求出满足最小耗用软盘数的另外的解。
为在分析结果时更简便，先给文件编号，如下表：
文件名
1
2
3
4
5
6
7
8
对应文件（kb）
46
55
62
87
108
114
137
164
文件名
9
10
11
12
13
14
15
16
对应文件（kb）
253
364
372
388
406
432
461
851
表1：
文件编号表
3.模型的假设与符号说明
3.1模型假设
（1）任何文件不可分割，是一个整体；
（2）任意两个或两个以上文件都可以存放在一张软盘中；
（3）文件之间没有重叠，都需要完整保存，且文件存储相互不影响；
（4）软盘都是合格的，且所标大小为净存储容量，本体为1.44MB；
（5）每个文件的大小和储存后的大小都不超过软盘的容量；
（6）文件的大小和占用的软盘空间大小都相同，即不考虑系统文件所占软盘的空间；
（7）软盘在存储前已经进行了格式化操作；
（8）所有软盘性能完好。
3.2符号说明
符号
含义
文件个数
分配文件所需的软盘的数目
软盘的空间大小
第几个文件的大小
文件储存标记变量
软盘储存标记变量
目标函数
正无穷大
4.模型一的建立与求解
4.1建立基于0-1变量的线性规划模型
4.1.1约束条件分析
1）若第
个文件放在第
个软盘中记为
，其余不储存文件
的软盘记为
，可得约束条件：
（1）
2）由于软盘空间大小固定，可知加入软盘文件的大小不能超过软盘空间大小，即得约束条件：
（2）
3）由假设可知任何文件都是一个整体，不可分割；若分割的话会与实际操作相违背，造成文件寻找困难且不能保证文件的整体性。
故每个文件必须且只能分配在一个软盘中，得约束条件：
（3）
4）若有文件放在软盘j中时，该软盘则被占用，表示为：
（4）
4.1.2目标函数的确立
本模型的目标为：
使得所用软盘数最少，于是有目标函数：
（5）
可得模型一：
（6）
4.2模型一的求解
4.2.1约束条件处理与转换
为了便于使用LINGO软件进行求解，对约束条件（4）：
进行转化，已设
为0-1变量,引入正无穷大
则上式转化为：
（7）
并增加约束条件
，可用LINGO软件求解。
4.2.2模型一的求解
对于模型一，用LINGO软件求解（具体程序见相关附件一），可得结果，如下表：
文件编号
软
盘
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
1
16
表2：
求解结果（1表示有存储关系）
得到最少耗用3张软盘，LINGO给出的最优解为：
软盘编号
占用容量（kb）
分配方案
第1张软盘
1411
46,62,137,372,388,406
第2张软盘
1463
55,87,108,164,253,364,432
第3张软盘
1426
114,461,851
表3：
模型一结果
4.3模型检验
4.3.1用原始数据检验
对于原始数据进行理论分析：
总的文件大小和为：
4300kb
需要的软盘数量为：
4300/（1.44*1024）=2.92；即至少需要3张软盘
求解模型一：
“需要软盘数量”：
3张
“每张软盘的占用空间”：
1411kb<1474kb
1463kb<1474kb
1426kb<1474kb
所以，结论完全正确，符合检验，模型合理。
4.3.2改变软盘容量大小进行检测
在模型中改变每个软盘的限制容量，使其分别为1000kb、1200kb、1800kb、2200kb，分别进行检验，统计数据如表4：
容量kb
所需软盘数
每张软盘中所有文件大小之和是否超过容量
理论范围
模型所得
1000
>=5
5
否
1200
>=4
4
否
1800
>=3
3
否
2200
>=2
2
否
表4：
不同容量软盘模型检验结果
由表4的数据，可以得出以下结论：
模型一在这几次试验中求得的结果是完全正确的，上述所求的的结果是最优解的一种情况。
进一步模型通过检验。
5.模型二的建立与求解
5.1模型二的建立
假设软盘的空间就是1.44MB。
从第一个软盘开始，每一个文件或者被放入，或者不被放入，只有两种选择。
如上述，我们考虑逆序的方法，即把最大的文件放入第一个软盘中，若软盘不满，再放入余下最大的，若软盘不满，以此类推，若软盘已满，则放入下一个软盘……在上述讨论的基础上，我们可以知道所需的软盘总数目可能是
个，也有可能是4个，也有可能是更多。
现采用逆序的方案来进行求解：
首先在第一个软盘中选取16个文件中最大的文件：
851KB,再选取剩下的15个文件中最大的文件：
461KB，此时软盘剩余的空间为165.56KB,故只能在剩余的文件中选取文件大小137KB的文件了，共计1449KB，第一个软盘剩余空间为25.56KB；用同样的方法可以得第二个软盘中放入的文件大小为432KB,406KB,88KB,164KB,62KB的文件，共计1452KB;在第三个软盘中放入372KB,364KB,253KB,114KB,108KB,87KB,55KB,46KB,共计1399KB。
使用软盘数最少为3个。
上述建立了逆序法的模型求解题中所给文件分配问题，还可以运用Ｃ语言求得结果（程序见附录三）。
5.2模型二的求解
采用逆序法运用Ｃ语言编程算出的最佳组合如下表所示：
软盘编号
剩余空间（KB）
所装文件（KB）
第1张软盘
25
851、461、137
第2张软盘
22
432、406、388、164、62
第3张软盘
75
372、364、253、114、108、87、55、46
可知，逆序法求出的软盘数同样为：
3。
进一步模型二与模型一互相验证模型的正确性。
6.模型评价
6.1模型优缺点分析
6.1.1模型优点
（1）模型一建立的基于0-1变量的线性规划模型，直观明了，把实际问题程序化，方便使用计算机直接操作；模型二采用逆序法进行求解，使得程序简洁，编程量大大减少。
（2）本文运用多种方法建立数学模型，使用了各种可靠的科学的建模方法对题中所给问题进行求解，可以互相进行对比，互补优缺点。
6.1.2模型缺点
（1）模型一效率偏低，迭代次数过多。
（2）逆序法这一思想方法还确实足够的理论依据，带有一定的主观性。
6.2模型推广
本文采用的是0-1规划法，可综合考虑各种因素，能得到准确的解，且可解一般性问题。
对于数据量较大时，可以很好的利用软件求解。
虽然本题解决的是一个特定的问题，但是该法可以推广到类似的问题中。
可以把其中的权看成费用或者时间的消耗等，进而得出最优解。
0-1变量可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所放映的离散变量间的逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件，因此0-1规划非常适合描述和解决如线路设计、工厂选址、生产计划安排、旅游购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等人们所关心的各种问题。
实际上，凡是有界变量的整体规划都可以转化为0-1规划来处理。
7.参考文献
【1】姜启源，谢金星，叶俊.数学建模.第三版.北京：
高等教育出版社，2003年.
【2】谢金星,薛毅，优化建模与LINGO/LINDO软件，北京：
清华大学出版社，2004年.
【3】谭浩强.C语言程序设计.北京:
清华大学出版社,2005年.
【4】刘任任.算法设计与分析.武汉：
武汉理工大学出版社,2003年.
8.附录
附录1：
LINGO软件解模型一程序
model:
sets:
wenjian/1..16/:
c;
ruanpan/1..16/:
d,y,k;
links（wenjian,ruanpan）:
x;
endsets
data:
c=46556287108114137164253364372388406432461851;
d=12345678910111213141516;
enddata
min=@sum（ruanpan（j）:
y（j））;
@for（ruanpan（j）:
@bin（y（j）））;
@for（links:
@bin（x））;
@for（ruanpan（j）:
@sum（wenjian（i）:
x（i,j）*c（i））<=1474）;
@for（ruanpan（j）:
k（j）=（@sum（wenjian（i）:
x（i,j）*c（i））））;
y
（1）>=y
（2）;
y
（2）>=y（3）;
y（3）>=y（4）;
y（4）>=y（5）;
y（5）>=y（6）;
y（6）>=y（7）;
y（7）>=y（8）;
y（8）>=y（9）;
y（9）>=y（10）;
y（10）>=y（11）;
y（11）>=y（12）;
y（12）>=y（13）;
y（13）>=y（14）;
y（14）>=y（5）;
y（15）>=y（16）;
@for（ruanpan（j）:
@sum（wenjian（i）:
x（i,j））>-（1-y（j））*10000）;
@for（ruanpan（j）:
@sum（wenjian（i）:
x（i,j））<=y（j）*10000）;
@for（wenjian（i）:
@sum（ruanpan（j）:
x（i,j））=1）;
LINGO程序求解部分结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3.000000
Objectivebound:
3.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
1882
VariableValueReducedCost
Y
（1）1.0000001.000000
Y
（2）1.0000001.000000
Y（15）1.0000001.000000
K
（1）1411.0000.000000
K
（2）1463.0000.000000
K（15）1426.0000.000000
X（1,1）1.0000000.000000
X（2,2）1.0000000.000000
X（3,1）1.0000000.000000
X（4,2）1.0000000.000000
X（5,2）1.0000000.000000
X（6,15）1.0000000.000000
X（7,1）1.0000000.000000
X（8,2）1.0000000.000000
X（9,2）1.0000000.000000
X（10,2）1.0000000.000000
X（11,1）1.0000000.000000
X（12,1）1.0000000.000000
X（13,1）1.0000000.000000
X（14,2）1.0000000.000000
X（15,15）1.0000000.000000
X（16,15）1.0000000.000000
附录2：
改变软盘容量时LINGO软件运行结果
容量为1000kb时：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
5.000000
Objectivebound:
5.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
3
Totalsolveriterations:
3208
容量为1200kb时：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4.000000
Objectivebound:
4.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
2128
容量为1800kb时:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3.000000
Objectivebound:
3.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
756
容量为2200kb时：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
2.000000
Objectivebound:
2.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
3
Totalsolveriterations:
1176
附录3：
逆序法c语言程序
#include
ConstintMaxSize=1474;
constMax=16;
structnode
{
doubleSize;
charFlagUsed;
charFlagOutput;
};
structnodea[11];
doublecount=0;
intnum=0;
voidreadin（）
{
inti;
printf（"请输入文件大小，中间用空格将其隔开：
\n"）;
for（i=0;i{
scanf（"%lf",&a[i].Size）;
a[i].FlagUsed='F';
a[i].FlagOutput='F';
}
}
voidsort（）
{
inti,j;
structnodetemp;
for（i=0;ifor（j=i+1;j{
if（a[i].Size{
temp=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
}
voidoutput（）
{
inti;
intsum=0;
intn;
num++;
printf（"the%ddiskhasfowllowingfiles:
\n",num）;
for（i=0;i{
if（'F'==a[i].FlagOutput&&'T'==a[i].FlagUsed）
{
printf（"%.0lf\n",a[i].Size）;
a[i].FlagOutput='T';
sum+=a[i].Size;
}
}
printf（"该软盘所装总量为%d\n",sum）;
}
voidfun（）
{
intn=0;
while（n{
inti=0;
while（i{
if（（'F'==a[i].FlagUsed）&&（count+a[i].Size{
n++;
count+=a[i].Size;
a[i].FlagUsed='T';
}
i++;
}
if（n>=Max||i>=Max||count>=MaxSize）
{
count=0;
output（）;
}
}
}
intmain（void）
{
readin（）;
sort（）;
fun（）;
printf（"所需软盘数为%d\n",num）;
return0;
}
程序运行结果截图：
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