中考数学圆综合题含答案解析doc.docx

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中考数学圆综合题含答案解析doc

2019-2020年中考数学：

圆的综合题（含答案解析）

针对演练

1.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于

1

点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝3，延

长OE到点F，使EF＝2OE.

（1）求证：

∠BOE＝∠ACB;

（2）求⊙O的半径；

（3）求证：

BF是⊙O的切线．

第1题图

2.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，

分别与⊙O相交于点D、点E，且ADDE，过点D作DF⊥BC于

点F，连接BD、DE、AE.

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）试判断△DEC的形状，并说明理由；

（3）若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．

第2题图

3.（2016长沙9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC

为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为

CE的中点，连接DB，DC，DF.

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：

DF是⊙O的切线；

（3）若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．

第3题图

4.（2016德州10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC

交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.

（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：

BE＝EF;

（3）在

（2）的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．

第4题图

5.（2015永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径

AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.

（1）求证：

BE＝CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

第5题图

6.（2015省卷24，9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC

的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.

（1）如图①，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

（2）如图②，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：

四边形AGKC是平行四边形；

（3）如图③，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，

连接PH，求证：

PH⊥AB.

第6题图

7.（2017原创）如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点

D，点E为DC的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点

G.

（1）求证：

AB＝AG；

（2）若DG＝DE，求证：

GB2＝GC·GA；

3

（3）在

（2）的条件下，若tanD＝4，EG＝10，求⊙O的半径．

第7题图

8.（2015达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线

CD

交⊙

O

于点

，为AD上一点，且AF

BC，连接DF，并延长

DF

DF交BA的延长线于点E.

（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；

（2）求证：

△BCD≌△AFD；

（3）若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．

第8题图

9.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O

于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.

（1）求证：

△ACD∽△ABC；

（2）求证：

∠PCA＝∠ABC；

（3）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，

3

若sinP＝5，CF＝5，求BE的长．

第9题图

10.（2016大庆9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为

直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.

（1）

求证：

MH为⊙O的切线；

（2）

若MH＝3，tan∠ABC＝3，求⊙O的半径；

2

4

（3）

在

（2）的条件下分别过点

A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，

AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．

第10题图

11.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，

∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交

AB于F，交⊙O于G.

（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：

AG2＝AF·AB；

（3）若⊙O的直径为10，AC＝25，AB＝45，求△AFG的面积．

第11题图

12.（2016鄂州10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是

△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.

（1）求证：

AB是⊙O的切线；

1

（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝2，求

AE

AC的值；

（3）在

（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

第12题图

【答案】

1．

（1）证明：

如解图，连接OA，

第1题解图

∵CE⊥AB，

∴AD＝BD＝2，AEBE，

∴∠ACE＝∠BCE，∠AOE＝∠BOE，

又∵∠AOB＝2∠ACB，

∴∠BOE＝∠ACB；

1

（2）解：

∵cos∠ACB＝3，

1

∴cos∠BOD＝3，

在Rt△BOD中，设OD＝x，则OB＝3x，∵OD2＋BD2＝OB2，

2

∴x2＋22

＝（3x）2，解得x＝2，

32

∴OB＝3x＝2，

32

即⊙O的半径为2；

（3）证明：

∵FE＝2OE，

92

∴OF＝3OE＝2，

OB1

∴OF＝3，

OD1

∵OB＝3，

OBOD

∴OF＝OB，

∵∠BOF＝∠DOB，

∴△OBF∽△ODB，

∴∠OBF＝∠ODB＝90°，即OB⊥BF，

∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线．

2．

（1）证明：

如解图，连接DO，交AE于点G，则DO＝BO，

第2题解图

∴∠ABD＝∠ODB，

∵ADDE，

∴∠ABD＝∠EBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴DO∥BC，

∴∠ODF＝∠CFD，

∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°，

∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，

又∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；

（2）解：

△DEC是等腰三角形，理由如下：

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，

又∵BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，∴△ABD≌△CBD（ASA），

∴AD＝CD.

∵ADDE，

∴AD＝DE，

∴CD＝DE，

∴△DEC是等腰三角形；

1

（3）解：

由

（2）可知AD＝2AC＝6，

∵ADDE，

∴OD⊥AE，∠ABD＝∠DAE，

DG

∴sin∠DAE＝AD.

AD6

在Rt△ADB中，sin∠ABD＝AB＝10，

DG6

∴6＝10，

∴DG＝3.6，

∴OG＝OD－DG＝1.4，

OG1.47

∴在Rt△AGO中，sin∠EAB＝OA＝5＝25.

3．

（1）解：

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CDE＝90°；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）

第3题解图

（2）证明：

如解图，连接OD，

∵∠CDE＝90°，F为CE中点，

1

∴DF＝2CE＝CF，

∴∠FDC＝∠FCD.

又∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，

∴∠ODF＝∠OCF，

∵EC⊥AC，

∴∠OCF＝90°，

∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，

又∵OD为⊙O的半径，

∴DF为⊙O的切线；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）

（3）解：

在△ACD与△ECA中，

∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，

∴△ACD∽△AEC，

ACAD

∴＝

AEAC

∴AC2＝AD·AE，

又∵AC＝25DE，

2

∴20DE＝（AE－DE）·AE

∴AD＝4DE，

∵在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，

∴CD＝2DE，

又∵在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，

AD

∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝CD＝2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）

4．

（1）解：

直线l与⊙O相切．理由如下：

如解图，连接OE、OB、OC.

第4题解图

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，

∴BECE，

∴∠BOE＝∠COE，

又∵OB＝OC，

∴OE⊥BC，

∵l∥BC，

∴OE⊥l，

又∵OE为⊙O的半径，

∴直线l与⊙O相切；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）

（2）证明：

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，

∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF.

又∵∠EBF＝∠CBE＋∠CBF，∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，

∴∠EBF＝∠EFB，

∴BE＝EF；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）

（3）解：

∵BE＝EF，DE＝4，DF＝3，

∴BE＝EF＝DE＋DF＝7，

∵BECE，

∴∠DBE＝∠BAE，

∵∠DEB＝∠BEA，

∴△BED∽△AEB，

DEBE

4

7

∴BE＝AE，即

7＝AE，

49

解得AE＝4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（9分）

49

21

∴AF＝AE－EF＝

4－7＝

4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（10分）

5．

（1）证明：

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB＝AC

，

AD＝AD

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB＝AC，

∴AD垂直平分BC，

∴BE＝CE；

（2）解：

四边形BFCD是菱形．理由如下：

∵AD是⊙O的直径，AB＝AC，

∴AD⊥BC，BE＝CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE＝∠DBE，

在△BED和△CEF中，

∠DBE＝∠FCE

BE＝CE，

∠BED＝∠CEF＝90°

∴△BED≌△CEF（ASA），

∴BD＝CF，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴四边形BFCD是菱形；

（3）解：

∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，BE＝CE，

∴∠ECD＝∠CAE，

∵∠AEC＝∠DEC＝90°，

∴Rt△CDE∽Rt△ACE，

DECE

∴CE＝AE，

∴CE2＝DE·AE，

设DE＝x，则AE＝AD－DE＝10－x，

∵BC＝8，

1

∴CE＝2BC＝4，

∴42＝x（10－x），解得x＝2或x＝8（舍去），

在Rt△CED中，

CD＝CE2＋DE2＝42＋22＝25.

6．

（1）解：

∵点P为BC的中点，PG为⊙O的直径，

∴BP＝PC，PG⊥BC，CD＝BD，

∴∠ODB＝90°，∵D为OP的中点，

11

∴OD＝2OP＝2OB，

∴∠OBD＝30°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝60°；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）

（2）证明：

由

（1）知，CD＝BD，

在△PDB和△KDC中，

BD＝CD

∠BDP＝∠CDK，

DP＝DK

∴△PDB≌△KDC（SAS），

∴BP＝CK，∠BPO＝∠CKD，∵∠AOG＝∠BOP，

∴AG＝BP，

∴AG＝CK，

∵OP＝OB，

∴∠OBP＝∠BPO，

又∵∠G＝∠OBP，

∴∠G＝∠BPO＝∠CKD，

∴AG∥CK，

∴四边形AGKC是平行四边形；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）

（3）证明：

∵CE＝PE，CD＝BD，

∴DE∥PB，即DH∥PB，

∵∠G＝∠BPO，

∴PB∥AG，∴DH∥AG，

∴∠OAG＝∠OHD，∠G＝∠ODH.

∵OA＝OG，∴∠OAG＝∠G，∴∠ODH＝∠OHD，∴OD＝OH，

在△OBD和△OPH中，

OD＝OH

∠DOB＝∠HOP，

OB＝OP

∴△OBD≌△OPH（SAS），

∴∠OHP＝∠ODB＝90°，

∴PH⊥AB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）

7．

（1）证明：

如解图，连接OB，

第7题解图

∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB，

∴∠ABG＋∠OBG＝90°，

∵点E为DC的中点，

∴OE⊥CD，

∴∠OEG＋∠FGE＝90°，

又∵OB＝OE，

∴∠OBG＝∠OEG，

∴∠ABG＝∠FGE，

∵∠BGA＝∠FGE，

∴∠ABG＝∠BGA，

∴AB＝AG；

（2）证明：

如解图，连接BC，

∵DG＝DE，

∴∠DGE＝∠DEG，

由

（1）得∠ABG＝∠BGA，

又∵∠BGA＝∠DGE，∴∠A＝∠GDE，

∵∠GBC＝∠GDE，

∴∠GBC＝∠A，

∵∠BGC＝∠AGB，∴△GBC∽△GAB，

GBGC

∴GA＝GB，

∴GB2＝GC·GA；

（3）解：

如解图，连接OD，

EF3

∵在Rt△DEF中，tan∠EDF＝DF＝4，

∴设EF＝3x，则DF＝4x，由勾股定理得DE＝5x，

∵DG＝DE，∴DG＝5x，

∴GF＝DG－DF＝x.

在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2＋EF2＝EG2，

即x2＋（3x）2＝（10）2，解得x＝1，

设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD＝r，OF＝r－3，DF＝4，由勾股定理得OF2＋FD2＝OD2，即（r－3）2＋42＝r2，

25

解得r＝6，

25

∴⊙O的半径为6.

8．

（1）解：

DB＝DA.

理由如下：

∵CD平分∠ACM，

∴∠MCD＝∠ACD，

∵∠ACD和∠ABD都是AD所对的圆周角，

∴∠ACD＝∠ABD，

∴∠MCD＝∠ABD，

又∵∠MCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠ABD，

∴DB＝DA；

（2）证明：

如解图，连接AF，

第8题解图

∵AD＝BD，

∴ADBD，∵AFBC，

∴DFCD，

∴AF＝BC，DF＝DC，

在△BCD和△AFD中，

BD＝AD

BC＝AF，

DC＝DF

∴△BCD≌△AFD（SSS）；

（3）解：

∵∠ACM＝120°，

∴∠MCD＝∠ACD＝60°，

∴∠ABD＝∠BAD＝∠BDA＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

如解图，连接DO并延长与AB交于点G，则∠ADO＝30°，

过点O作OH⊥AD于点H，则AD＝2DH＝2OD·cos30°＝53，

∵∠ADF＋∠DAF＝∠AFE＝∠ACD＝60°，∠ADE＋∠E＝

∠BAD＝60°，

∴∠DAF＝∠E，

∵∠ADF＝∠EDA，

∴△ADF∽△EDA，

DADF

∴DE＝DA，

DA2

∴DE＝DF，

∵DF＝DC＝6，DA＝53，

25

∴DE＝2.

9．

（1）证明：

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CG⊥AB，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∵∠CAD＝∠BAC，

∴△ACD∽△ABC；

（2）证明：

如解图，连接OC.

第9题解图

∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO＝90°，

∴∠PCA＋∠OCA＝90°，∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＋∠OAC＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠PCA＝∠ABC；

（3）解：

∵AE∥PC，

∴∠PCA＝∠CAF，

∵AB⊥CG，

∴ACAG，

∴∠ABC＝∠ACF，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠CAF＝∠ABC，∴∠ACF＝∠CAF，

∴FA＝FC，

∵CF＝5，

∴AF＝5，

∵AE∥PC，

∴∠FAD＝∠P，

3

∵sinP＝5，

3

∴sin∠FAD＝5，

∴FD＝3，AD＝4，CD＝8，

在Rt△COD中，设CO＝r，则有r2＝（r－4）2＋82，

∴r＝10，

∴AB＝2r＝20，

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，

3

∴sin∠EAB＝5，

BE3

∴AB＝5，

BE3

∴20＝5，

∴BE＝12.

10．

（1）证明：

如解图①，连接OM、CM，

第10题解图①

∵BC为⊙O的直径，∴∠AMC＝∠BMC＝90°，

∵H是AC的中点，

1

∴HC＝HM＝2AC，

∴∠HMC＝∠HCM，

∵OM＝OC，

∴∠OMC＝∠OCM，

∴∠OMH＝∠OCH，

∵∠ACB＝90°＝∠OCH，

∴∠OMH＝90°，即OM⊥MH，

又∵OM为⊙O的半径，

∴MH为⊙O的切线；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（3分）

3

（2）解：

∵MH＝2，

∴AC＝2MH＝3，

在Rt△ABC中，tan∠ABC＝AC＝3，

BC4

∴BC＝4，

故⊙O的半径为2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（5分）

（3）解：

如解图②，过点D作DP⊥AC于点P，连接ON，

第10题解图②

则DP＝BC＝4，BD＝PC，

设DB＝DN＝x，则AP＝3－x，∵AN＝AC＝3，

∴AD＝x＋3.

在Rt△ADP中，由勾股定理得，

（x＋3）2－（3－x）2＝42，

4

解得x＝3，

413

∴DN＝BD＝3，AD＝3，

∵QN⊥BC，AC⊥BC，BD⊥BC，

∴AC∥NQ∥DB，

4

DNBE3BE

∴＝，即＝，

ADBC134

3

16

∴BE＝13，

10

∴OE＝OB－BE＝13，

∴EN＝ON2－OE2＝2413，

48

∴NQ＝2EN＝13.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）

11．

（1）解：

直线PA与⊙O相切．理由如下：

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴AD垂直且平分CG，

∴AC＝AG，

∴∠ACG＝∠AGC，

∵∠AGC＝∠B，∠PAC＝∠B，

∴∠PAC＝∠ACG，∴PA∥CG，

∵CG⊥AD，

∴PA⊥AD，

又∵AD为⊙O的直径

∴直线PA是⊙O的切线；

【一题多解】如解图①，连接DC，

第11题解图①

则∠B＝∠ADC，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ADC＋∠DAC＝90°.

又∵∠PAC＝∠B，

∴∠ADC＝∠PAC，

∴∠PAC＋∠DAC＝90°，即DA⊥PA，

∴PA是