离散型随机变量及其分布列高中数学北师大版选修23教学案.docx
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离散型随机变量及其分布列高中数学北师大版选修23教学案
§1
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量
（1）掷一枚均匀的骰子，出现的点数．
（2）在一块地里种下10颗树苗，成活的棵数．
（3）一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，所含红球的个数．
问题1：
上述现象有何特点？
提示：
各现象的结果都可以用数表示．
问题2：
现象（3）中红球的个数x取什么值？
提示：
x＝0,1,2,3,4.
问题3：
掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？
提示：
可以，如用数1和0分别表示正面向上和反面向上．
1．随机变量
将随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母X，Y来表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.
离散型随机变量的分布列
1．抛掷一枚均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数．
问题1：
X的可能取值是什么？
提示：
X＝1,2,3,4,5,6.
问题2：
X取不同值时，其概率分别是多少？
提示：
都等于.
问题3：
试用表格表示X和P的对应关系．
提示：
X
1
2
3
4
5
6
P
问题4：
试求概率和．
提示：
其和等于1.
1．离散型随机变量的分布列的定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2…，随机变量X取ai的概率为pi（i＝1,2，…），记作：
P（X＝ai）＝pi（i＝1,2，…），
（1）
或把上式列成表
X＝ai
a1
a2
…
P（X＝ai）
p1
p2
…
上表或
（1）式称为离散型随机变量X的分布列．
2．离散型随机变量的性质
（1）pi＞0；
（2）p1＋p2＋p3＋…＝1.
1．随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量．
2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．
3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率．
随机变量的概念
[例1] 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
（1）从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
（2）一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
（3）投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
[思路点拨] 把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关系．
[精解详析]
（1）X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k（k＝1,2，…，10）表示取出第k号球．
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，（4－k）个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
（3）X的可能取值为2,3,4，…，12.若以（i，j）表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示（1,1）；X＝3表示（1,2），（2,1）；X＝4表示（1,3），（2,2），（3,1）；…；X＝12表示（6,6）．
[一点通] 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．
1．下列变量中属于离散型随机变量的有________．
①在2014张已编号的卡片（从1号到2014号）中任取一张，被取出的编号数为X；
②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；
③从2014张已编号的卡片（从1号到2014号）中任取3张，被取出的卡片的号数和X；
④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X；
⑤投掷一枚骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X.
解析：
①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X的取值为某一范围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量．⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．
答案：
①②③
2．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取次数为X，则X＝3表示的试验结果是________．
解析：
X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．
答案：
共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．
解：
设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.
依题意得X＝x－y.
则－5≤X≤5，
即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
则X＞4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1，
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
离散型随机变量分布列的性质
[例2] 已知随机变量X的分布列：
X＝i
1
2
3
4
5
P（X＝i）
a
（1）求a；
（2）求P（X≥4），P（2≤X＜5）．
[思路点拨]
（1）利用分布列中所有概率和为1的性质求解．
（2）借助互斥事件概率求法求解．
[精解详析]
（1）由＋＋a＋＋＝1，
得a＝.
（2）P（X≥4）＝P（X＝4）＋P（X＝5）＝＋＝，
P（2≤X＜5）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）
＝＋＋
＝.
[一点通] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题：
（1）X的各个取值表示的事件是互斥的．
（2）p1＋p2＋…＝1，且pi＞0，i＝1,2，….
4．设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝a·i，i＝1,2,3，则a的值为（ ）
A．1 B.
C.D.
解析：
由分布列的性质，知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝a·＋a·2＋a·3＝a＝1.∴a＝.
答案：
D
5．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝1,2,3,4.求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
（2）P.
解：
∵P（X＝k）＝，k＝1,2,3,4，
（1）P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）
＝＋＝.
（2）P
＝P（X＝1或X＝2或X＝3）
＝1－P（X＝4）＝1－＝＝.
离散型随机变量的分布列
[例3] （10分）袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设X表示取出3个球中的最大号码，求X的分布列．
[思路点拨] 先确定X的所有可能取值，然后分别求出X取各值时的概率即可．
[精解详析] 根据题意，随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.
X＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P（X＝3）＝＝；（2分）
X＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．
所以，P（X＝4）＝＝；（4分）
X＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．
所以，P（X＝5）＝＝；（6分）
X＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．
所以，P＝（X＝6）＝＝.（8分）
所以，随机变量X的分布列为
X＝xi
3
4
5
6
P（X＝xi）
（10分）
[一点通]
（1）求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列．
（2）求离散型随机变量X的分布列的步骤：
首先确定X的所有可能的取值；其次，求相应的概率P（X＝xi）＝pi；最后列成表格的形式．
6．在射击的试验中，令X＝如果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布列．
解：
由P（X＝1）＝0.8，得P（X＝0）＝0.2.所以X的分布列为：
X＝xi
1 0
P（X＝xi）
0.8 0.2
7．（天津高考改编）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列．
解：
（1）设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P（A）＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
（2）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
8．（湖南高考改编）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间
（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）求x，y的值；
（2）将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X的分布列．
解：
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得
P（X＝1）＝＝，P（X＝1.5）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝2.5）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
X的分布列为
X
1
1.5
2
2.5
3
P
1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b（a，b是常数）也是随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是（ ）
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色种数
解析：
A，B不能一一列举，不是离散型随机变量，而C是常量，是个确定值，D可能取1,2,3，是离散型随机变量．
答案：
D
2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是（ ）
A．25 B．10
C．9D．5
解析：
第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
答案：
C
3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P（X<4）＝0.3，则n＝（ ）
A．3B．4
C．10D．不确定
解析：
∵X等可能取1,2,3，…，n，
∴X的每个值的概率均为.
由题意知P（X<4）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＝0.3，
∴n＝10.
答案：
C
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P（Y<6）的值为
（ ）
A．0.3B．0.5
C．0.1D．0.2
解析：
Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝.
答案：
A
5．随机变量Y的分布列如下：
Y＝yi
1
2
3
4
5
6
P（Y＝yi）
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则
（1）x＝________；
（2）P（Y＞3）＝________；
（3）P（1＜Y≤4）＝________.
解析：
（1）由i＝1，∴x＝0.1.
（2）P（Y＞3）＝P（Y＝4）＋P（Y＝5）＋P（Y＝6）
＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.
（3）P（1＜Y≤4）＝P（Y＝2）＋P（Y＝3）＋P（Y＝4）
＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.
答案：
（1）0.1
（2）0.45 （3）0.55
6．随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝1,2,3，其中C为常数，则P（X≥2）＝________.
解析：
由P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝1，得＋＋＝1，∴C＝.
P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.
答案：
7．若离散型随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
P（X＝xi）
9a2－a
3－8a
，求常数a及相应的分布列．
解：
由离散型随机变量的性质得
解得a＝，或a＝（舍）．
所以随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
P（X＝xi）
8．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
（1）记“使得m＋n＝0成立的有序数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（2）设X＝m2，求X的分布列．
解：
（1）由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为（－2,2），（2，－2），（－1,1），（1，－1），（0,0）．
（2）由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以X＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝4）＝＝，P（X＝9）＝.
故X的分布列为
X＝i
0
1
4
9
P（X＝i）
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