第17章分式单元要点分析doc.docx
《第17章分式单元要点分析doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第17章分式单元要点分析doc.docx（61页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第17章分式单元要点分析doc
第17章分式单元要点分析
一、内容简介
本章的主要内容可以分为三大部分：
分式及其运算、分式方程、零指数幕及负整指数幕，零指数幕及负整指数幕是对正整指数幕的一个扩充，让学生全面了解整数指数幕的概念及基本性质。
知识结构安排合理，突出与学生已有知识的联系，知识安排既考虑学生的学习需要，又兼顾学生的知识体系，除了安排分式定义、分式基本性质、分式运算及解简单的分式方程外，还加入了零指数幕及负整指数幕的性质，它综合以前学过的正整指数幕的运算性质，对整数指数幕的性质及科学计数法作了一个扩充与完善。
二、教学目标
1、知识与技能
（1）了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分。
（2）会进行简单的分式的加、减、乘、除运算。
（3）了解分式方程的概念，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程。
（4）理解零指数幕及负整指数幕的意义，会用科学计数法表示绝对值小于1的数。
2、过程与方法
通过与分数的性质及运算的联系，学习分式的性质及其运算；通过与正整指数幕的性质的联系，学习零指数幕及负整指数幕的性质。
3、情感、态度与价值观
学会探索和理解运算性质，学会在原有的知识基础上学习和构建新的知识体系。
三、重点与难点
1、重点：
探索和理解分式的各种运算法则。
2、难点：
分式方程转化为整式方程来解的转化思想；在解完方程之后需要检验的根据。
四、教学方法
分式的概念、分式的基本性质及分式的运算都是与分数的有关内容进行类比，让学生自己探索；可化为一元一次方程的分式方程的解法则是转化为整式方程去解，体现了转化与化归的思想；零指数幕及负整指数幕的意义则是从前面学过的同底数幕除法公式am^an=am-n（m>n）出发，提出新的问题一一若m-n或加<"呢？
激发学生的求知欲，在学生的探索过程中完成新知识的构建。
教学时，在知识的呈现方式上，尽可能给学生留出一定的思考与探索空间，重视对各种运算性质的理解与探索。
可化为一元一次方程的分式的教学要注意两点：
一是要掌握把方式方程转化为整式方程的转化思想；二是在解完方程之后需要检验是否会有增根，除此之外，本章其余知识的学习对学生来说并不是难点。
因而，教材在知识的呈现方式上，尽量结合学生已有的知识经验，让学生自己去思考、探索和归纳，这在一定程度上培养了学生的数学思维能力和数学概括能力。
课时安排
17.1方式及其基本性质
2课时
17.2分式的运算
2课时
17.3可化为一元一次方程的分式方程
2课时
17.4零指数幕与负整指数幕
2课时
章节复习
2课时
17.1.1分式的概念
教学目标：
1.经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式的概念.
2.知道什么是分式、有理式；能够区分整式与分式；能正确地判断一个代数式是否是分式.
3.能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值为零的条件；并会求一个分式有意义、无意义、值为零的条件.
4.渗透数学中的类比思想.
教学重点、难点：
重点：
理解分式的概念；
难点：
分式有意义、无意义、值为零的条件.
教学过程：
一、复习回顾：
，.
单项式
复习整式及相关概念，整式匚亠
［多项式
二、探究新知：
（一）、问题1:
现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
如果设原来每天能装配x台机器，那么可列出方程为：
-+^^=3
x2x
这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题.本章我们将着手学习分式与分式方程的一些初步知识。
1.根据题意列出代数式
（1）若三角形一边长为a,并且这边上的高为h,则这个三角形的面积为；
（2）若长方形的长与宽分别为a、b,则这个长方形的周长是；
（3）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为米；
（4）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为米；
（5）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是元；
（6）根据一组数据的规律填空：
根据一组数据的规律填空：
1,……（用n表示）
4916
2.观察你列岀的式子与以前学过的有什么不同？
（4）（5）（6）题所列岀的代数式有什么共同的特点？
3.两个整数相除，不能整除时结果可以用分数的形式表示，若两个整式不能整除时，它们的商怎么表示呢？
（二）、活动：
1.引导学生判断所列式子是否是整式？
不是整式的说明理由，由此得出这几个式子与以前所学式子的不同；
2.引导学生根据分数的定义来解决两个整式不能整除时，商的表示方法。
讨论结果：
1.
（1）由三角形面积公式：
S=2ah,很容易得出三角形的面积为丄ah。
22
（2）由长方形周长公式C=2（a+b），很容易得出长方形的周长为2（a+b）o
2
（3）由长方形面积公式：
S=ah,很容易得出长方形的另一边为一。
3
V
（4）由长方形面积公式：
S=ah,很容易得出长方形的另一边为一。
a
（5）由题意可知，这箱苹果的净重为（m-n）千克，根据：
总售价=单价X重量，每千克苹果的售价为卩元。
m—n
（6）通过观察这组数据可以发现丄=\,丄=亠，丄=丄，因此得第n个数为丄
42-9321642n2
A
2.可以发现，这些式子都像分数一样，都是今（即A-B）的形式，“分数”的分子A与分母B都是整
B
数，而（4）（5）（6）的式子中的A、B都是整式，并且B中都含有字母。
3.类似于分数的引入，当两个整式不能整除时，它们的商便可以用分式来表示。
（三）、分式的概念：
A
分式：
形如一（A、B是整式，且B中含有字母，BHO）的式子，叫做分式•其中A叫做分式的分子，
B
B叫做分式的分母。
注意：
理解分式概念要注意以下两点：
（1）分母中应含有字母；
（2）分母的值不能为零。
分式的分母
A
表示除数，由于除数不能为0,因此分式的分母不能为0,即当BH0时，分式一才有意义；当B二0时，分
B
式△无意义。
如I：
在分式？
中，aHO；在分式一-一中，mHn；在分式中，nHO.
Bam—nn
〔整式
（四）、有理式：
整式和分式统称为有理式，即有理式｛八亠
、分式
例1：
下列各有理式中，哪些是整式？
哪些是分式？
（1）丄；⑵兰；（3）丑；⑷□；（5）-?
x2x+v38
解：
属于整式的有：
（2）、（4）、（5）；属于分式的有：
（1）、（3）.
分解：
本题主要考查分式的概念。
正确地理解与区分整式和分式的概念时解题的关键。
通过本题的解
答体会识别一个有理式是分式还是整式，关键是看它的分母中是否含有字母。
（五）、分式有意义、无意义、值为零的条件：
问题2：
我们已经知道，分式的分母表示除数，由于除数不能为0,因此分式的分母不能为0,也就是说当分式的分母不为零时，分式才有意义。
V2-1
当X取什么值时，分式_的值为零呢？
有的同学这样解答：
要使分式的值为零，只需分子
x-1
x2-l=0,解得x=l或x=-l,请问这个解答正确吗？
为什么？
务式有意义的条件：
分母不能为零；
小结：
f分式无意义的条件：
分母为零；
》式的值为零的条件：
分子为零且分母不为零；
例2：
当x取什么值时，下列分式有意义？
值为零？
I丄丿；丿・
x~l2x+3
分析：
（1）要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.
（2）要使分式值为零，必须分子为零且分母不等于零。
X
解：
（1）当兀一1工0,即兀工1时，分式有意义.
x~\
X
当x二0且xTHO,即x二0时，分式的值为零。
x~\
3x-2
（2）当2兀+3工0,即兀工-一时，分式有意义.
22x+3
当X-2=0且2X+3H0,即x=2时，分式"一2的值为零.
2%+3
三、巩固新知：
X
1.使分式一有意义的X的取值范围时（）
2x-4
A.x=2B.x#2Cx.=-2D.xH-2
2
2.
（1）要使分式聲一有意义，则a；
a+5
（2）要使分式有意义，则x；
x+5
1x1-1
（3）要使分式一的值为零，则x
x+1
3.如果分式的值为负数,
1-2x
A.xW—
2
四、课堂小结：
1.分式的概念；
2.有理式；
3.分式有意义、
五、布置作业：
课本P5习题17.1第
则X的取值范围为
1
B.x<-
2
1
D.x>-
2
无意义、值为零的条件。
1、2、3题。
教学反思:
17.1.2分式的基本性质（第1课时）
教学目标：
1.理解分式的基本性质，并会运用分式的基本性质进行分式的约分.
2.掌握分式的约分，能根据分式的基本性质把一个分式化为最简分式.
3.渗透数学中的类比思想.
教学重点、难点：
重点：
理解并理解分式的基本性质，能够灵活利用分式的基本性质进行分式的约分.
难点：
最简分式的确定.
教学过程：
—、导入新课：
31593
1.请同学生思考：
三与乂相等吗？
工与三相等吗？
为什么？
420248
31593
2.说出巳与显之间、匕与？
之间变形的过程，并说出变形依据。
420248
3.分数的基本性质是什么？
4.［与一兰相等吗？
如何把一个分式化简呢?
20xy45v
在进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质.类似地，分式的化简和运算也需要依据分式的基本性质。
二、探究新知：
（一）、问题1：
（1）根据分数的基本性质填空：
——，—=
xxx48y
11乂yyi11乂？
7
（2）式子丄=^~恒成立吗？
丄=空_呢？
为什么？
xxxmxxxm
（3）与分数的基本性质相类比总结分式的基本性质，并用数学式子表示。
讨论结果：
八、占,，八叫从占亠心,一/=11x46x6x*2
（1）类比分数的基本性质，得一=——，一=
xxx48y8y*2
11乂TT1
（2）都不能恒成立。
对于式子一=——，当呼0时，%xm=0,右边分母为零。
根据分式有意义的
xxxm
11乂
条件可知，只有当mHO时，式子才成立。
而对于式子一=——，只有当m=n且不为零时，式子才成立。
xxxm
（3）类比分数的基本性质，有分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
用式子表示是：
AAxMAA^M
（其中M是不等于零的整式）.
说明：
（1）分子、分母应同时作乘法或除法中的同一种运算;
（2）所乘以或除以的整式必须是同一个整式;
（3）所乘以或除以的整式应该不等于零；
（二）、知能训练：
1.下列各式从左到右的变形正确的是（
AA»MAA^M
A——=B——=
•BB・M•BB+M
D.
1_3
x+23x+6
2.不改变分式的值，把该式的分子与分母中各项的系数都化为整数:
0.3。
+0.5b
0.2a-b
0.3。
+0.5b_10x（0.3。
+0.5b）_3a+5b
02a-b10x（0.2o-b）2a-10b
点评：
（1）分式的分子、分母应乘以同一个不等于零的数；
（2）每一项都要乘以这个数，即系数为整数的项也应乘以这个数，不能漏乘。
（三）、问题2：
⑴化简：
芬——
16
36
144
156
（2）什么是分数的约分？
如何对分数进行约分？
约分后的分数有何特点？
（分数的约分就是把分数的分子、分母中的公因数约去；分数约分的关键是找岀分子、分母的公因数；约
分后的分数的分子、分母中不再含有公因数，这样的分数称为最简分数。
）
（3）类比分数的化简，填空:
3ab
6abc
8m2n
2mn
（4）类比分数的约分，思考什么是分式的约分？
如何对分式进行约分？
约分后的式子有什么特点？
四、分式的约分：
分式的约分就是把分式的分子、分母中的公因式约去；分式约分的关键是找出分子、分母的公因式；约分后的分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式称为最简分式。
运用新知:
例1：
约分:
（1）
—16疋丁’
20xy4
（2）
分析：
分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找岀分子与分母的公因式.
解:
⑴胯一誌f—tf
12m2n（m—n）2_3mn（m—n）24m_4m
27mn2（m—n）33mn（m—n）2-9n（jn—n）9n（m—n）
点评：
（1）分式的分子、分母都是几个因式积的形式，要约去分子、分母中相同因式的最低次幕;
（2）注意系数也要约分；
（3）分子或者分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前面来。
约分后，分子与分母不再有公因式.分子与分母没有公因式称为最简分式.例2：
约分：
x?
-4
⑴x2-4x+4
⑵—f+与
xy-2xy
解：
⑴，
-4x+4
—4（x+2）（x—2）x+2
（x—2）~
-x3+2x2y_-x2y{x-2y）_xy{x-2y）-x_
x2y-2xy2xy（x-2y）
（2）————~x
厂（兀-2y）
点评：
（1）当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，然后才能够依据分式的基本性质进行约分；
（2）约分结果可能是一个最简分式，也可能是一个整式；
（3）约分后要三查：
①系数是否约分？
②符号是否处理正确？
③约分是否彻底？
（4）分式约分的方法：
①若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最小公倍数与分子、分母的相同因式的最低次幕的乘积；②若分子、分母中有多项式，就把它们先分解因式，再找出公因式后约分。
四、巩固新知：
1.约分：
（1）沁
3ary
（2）-2a（a+b）3b（ci+b）
⑶
（x-a）
⑷
xy+2y
五、课堂小结：
1.分式的基本性质；
2.分式约分的步骤是什么？
在约分时应注意些什么？
约分的依据是分式的基本性质；
约分的关键是找准公因式；
若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分;分式约分时要注意正确运用乘方的符号法则，如
还要注意以下几点：
（1）正确运用分式的基本性质，关键要注意对“都”“同”“不为零”这些关键字的理解；
（2）
（3）
（4）
（5）
（x-y）2n=（y-x）2n,（x-y）2n+i=-（y-x）2n+1（n为整数）六、布置作业：
课本P21第6题。
教学反思:
17.1.2分式的基本性质（第2课时）
教学目标：
1.理解分式的基本性质，并会运用分式的基本性质进行分式的通分.
2.掌握分式的通分，能根据分式的基本性质求几个分式的最简公分母，并将几个分式进行通分.
3.渗透数学中的类比思想.
教学重点、难点：
重点：
理解并理解分式的基本性质，能够灵活利用分式的基本性质进行分式的通分.
难点：
最简公分母的确定.
教学过程：
—、导入新课：
1.分式的基本性质是什么？
2x-—y
2.不改变分式2的值,把分子，分母各项的系数化为整数，结果是（）
3
A2兀-15歹B4兀-5yc6兀-15丁°心T5y
4x+y2x+3y4x+2y4x+6y
3.如果把分式x—2y+z中的正数都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）
xyz
A.不变B.扩大到原来的2倍C.缩小到原来的丄D.缩小到原来的丄
24
亠八亠Q?
3x+1x+y2x-2,曰竹八亠亠人
4.在分式=,,—,中，取间分式有个.
a2x+yx-y2x
35ab3c5
5.分式-岭-的分子与分母的公因式为,约分后得・
25b2cd—
6.分式―了约分后的结果为.
-2.x-y
二、探究新知：
一、问题1：
（1）什么叫分数的通分？
如何把几个分式进行通分？
135
（2）把分式上，三进行通分。
246
（3）仿照分数通分的步骤与方法，你能将纟，乞进行通分吗？
ac
（4）什么是分式的通分呢？
又如何对分式进行通分呢？
讨论结果：
（1）分式的通分就是把几个分母不相同的分数，分别化成和原来分数相等的同分母的分数；分数通分时，首先找出几个分数分母的公倍数（一般找它们的最小公倍数）作为公分母，然后根据分数的基本性质，把它们化为以公分母为分母的且与原分数相等的分数。
（2）（3）（4）略
（3）（4）让学生通过类比的方法独自尝试完成。
二、分式的通分：
分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式•通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幕的积作为公分母（叫做最简公分母）。
三、运用新知：
例1：
通分：
（1）—孑—,Z-;
a~bab°
⑵—
x-yx+y
分析：
分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幕的积作为公分母（叫做最简公分母）.
解：
（1）亠与丄的最简公分母为a'b?
所以
abab
1=
a2ba2bba2b2
1-b
1_1-a_a
ab2ab1-aa2b2
（2）—-一与一-—的最简公分母为（x-y）（x+y）,即x2—y2,所以x-yx+y
l-（x+y）
x+y
T
l（x—y）
x—y（x-y）（x+y）x2-v
1_1•（%-y_x-y
兀+『（x+y）（x-y）x1-y2'
点评：
（1）最简公分母的确定：
①取各分母系数的最小公倍数；②同底数幕取次数最高的；③凡单独出现的字母连同它的指数作为一个因式。
（2）分式的通分是将几个分母不同的分式化为同分母的分式，而不是去掉分母。
i
X2-4
例2：
通分：
1
2x+xy
解：
（1）因为/一y2
（x+y）（x—y）,
x2+xy=x（x+y）,
所以
——的最简公分母为兀（兀+y）（兀一y）,x+xy
因此x2-y2（x+y）（x-y）x（x+y）（x—y）
1=1=X—y
x2+xyx（x+_y）x（x+y）（x-_y）
（2）因为4x—2x?
==
x2-4=
所以
—「与—的最简公分母为,
4x-2x2x2-4
因此7=，
4x-2x_
1
-57—•
%-4
先找岀几个分式的最简公分母，然后再根据分式的基本性质进行通分。
点评：
（1）当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，然后才能正确找出各分母的最简公分母，进而进行通分；
（2）分式通分的方法：
四、巩固新知：
1通分：
⑴右
5
12xy
⑵-T—
X+X
1
x2-x
⑶¥
2xy2z
X2yz3
2.通分:
a
ci—1
a?
+Q+1
3.通分：
3
x+2（
（.
x—2
2—x
4.通分:
q?
+2ab+Z?
2i
a2b+ab2
2
（点评:
只有一个分母时，这个分母就是最简公分母）
:
分母互为相反数时，每一个分母都可以作为最简公分母）
*（点评：
若能约分的分式，应化简后再找最简公分母）
a~b-ab°
五、课堂小结：
1.分式通分的步骤是什么？
在通分时应注意些什么？
还要注意以下几点：
（1）正确运用分式的基本性质，关键要注意对“都”“同”“不为零”这些关键字的理解；
（2）通分的依据是分式的基本性质；
（3）通分的关键是找准最简公分母；
（4）若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再通分；
（5）分式通分时要注意正确运用乘方的符号法则，如（x-井"=（y-打"，
（x-_v）2，，+1=-（V-x）2，!
+1（n为整数）
六、布置作业：
课本P5第4、5题。
教学反思:
17.2.1分式的乘除法
教学目标：
1.与分数的乘除法则类比自主探索分式的乘除法则.
2.理解并掌握分式的乘除法则，会利用分式的乘除法则进行一般的分式乘除的运算.
3.渗透数学中的类比思想.
教学重点、难点：
重点：
理解并掌握分式的乘除法则.
难点：
灵活运用分式的乘除法则进行一般的分式乘除的运算.
教学过程：
—、导入新课：
1.什么叫做分式的约分？
约分的根据是什么？
2.分数的乘除法则是什么？
5953
3.计算：
-X—,
61064
二、探究新知：
22
1.仿照分数的乘除运算，尝试计算：
（1）;
（2）.
戾3ab?
2b
s，、亍2b-a2-2b~2a解：
（1）———=——.
b33。
b3-3a3b
（2）亡亠邑=亡.生=£b32bb3a2b-■
2.类比分数的乘除法则和上题解题过程，你能总结出分式的乘除法则吗？
3.概括：
分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.
分式的除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
e亠士一丄十acacacadad
用式子可表示如下：
=—；_+—==—
bdbdbdbcbe
三、运用新知：
例1：
计算：
axay2
by2b2x
2?
223
axay_ax-ay_aby2b2xby2-b2xb3
（2）
a2xya2yz_a2xyb2x2_x3b2z2b2x2b2z2a2yzz3
例2：
计算:
x—2%2—9
x+3%2—4
分析：
本题中出现的分子、分母是多项式,
乘除运算中通常先将多项式分别分解因式，并及时约分.
解:
原式
x+3（x+2）（x-2）x+2
点评：
（1）乘除同级运算一定要先确定符号；
（2）分式的除法运算首先要转化为乘法运算；
（3）当分子与分母时多项式时，一般先进行因式分解。
四、思考：
探索分式的乘方的法则
我们已经学过了有理数的乘方，那么分式的乘方该是怎样运算的呢？
1_1
mmm-m
nn-n
（3）
（k是正整数）
mm-m
仔细观察所得的结果，试总结岀分式乘方的法则.
分式乘方法则：
分式的乘方，等于将分子、分母分别乘方。
注意：
这里的分子、分母指的是整体，而不是部分项。
如：
工,而应是{a）a
五、运用新知：
例3：
计算:
（2）
—2a
c2
'3cY
、2a~丿
解：
（i）
-2x）
（—lx,
—2a、
3
，3c]
+
2
2
（2）
2
（-2a）3.（3c）2_-8tz3.9c-_-8a3
升级会员 