四川省绵阳市高中级第二次诊断性考试 数学文理.docx

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四川省绵阳市高中级第二次诊断性考试数学文理

保密★启用前【考试时间：

2019年1月15日下午15:

00—17:

00】

绵阳市高中2019级第二次诊断性考试

数学（理科）

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）；

如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：

．

一、选择题：

本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．

1．设集合I={x︱︱x－2︱≤2，x∈N*}，P={1，2，3}，Q={2，3，4}，则I（P∩Q）=

A．{1，4}B．{2，3}C．{1}D．{4}

2．若向量a、b、c满足a+b+c=0，则a、b、c

A．一定能构成一个三角形

B．一定不能构成一个三角形

C．都是非零向量时一定能构成一个三角形

D．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

3．将直线x－y－2=0绕其上一点逆时针方向旋转60得直线l，则直线l的斜率为

A．B．C．不存在D．不确定

4．已知f（x）=sin（x+），g（x）=cos（x－），则下列命题中正确的是

A．函数y=f（x）·g（x）的最小正周期为2

B．函数y=f（x）·g（x）是偶函数

C．函数y=f（x）+g（x）的最小值为－1

D．函数y=f（x）+g（x）的一个单调增区间是

5．为了得到函数的图象，可以将函数y=cos 2x的图象

A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度

6．设双曲线的焦点为F1、F2，过点F2作垂直于实轴的弦PQ，若∠PF1Q=90，则双曲线的离心率e等于

A．+1B．C．D．+1

7．已知x，y满足线性约束条件：

，若目标函数z=－x+my取最大值的最优解有无数个，则m=

A．－3或－2　B．或　C．2或－3D．

8．已知焦点（设为F1，F2）在x轴上的双曲线上有一点P（x0，），直线是双曲线的一条渐近线，当时，该双曲线的一个顶点坐标是

A．（，0）B．（，0）C．（2，0）D．（1，0）

9．若不等式︱x－a︱－︱x︱＜2－a2当x∈R时总成立，则实数a的取值范围是

A．（－2，2）B．（－2，1）

C．（－1，1）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

10．已知抛物线C：

y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为Q，点P（x0，y0）在C上且，则︱y0︱=

A．2B．4C．6D．8

11．已知等腰三角形的面积为，顶角的正弦值是底角正弦值的倍，则该三角形一腰的长为

A．B．C．2D．

12．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（CA），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞的函数f（x）=－︱x－m2︱+m2，且f（x）为[0，+∞上的10低调函数，那么实数m的取值范围是

A．[－5，5]B．[－，]C．[－，]D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．不等式的解是．

14．已知函数f（x）=sinx－cos（），x∈[0，2，则满足f（x）＞0的x值的集合为                    ．

15．设a＞2b＞0，则的最小值是                    ．

16．给出下列命题：

①“sin－tan＞0”是“是第二或第四象限角”的充要条件；

②平面直角坐标系中有三个点A（4，5）、B（－2，2）、C（2，0），则直线AB到直线BC的角为；

③函数的最小值为；

④设[m]表示不大于m的最大整数，若x，y∈R，那么[x+y]≥[x]+[y]．

其中所有正确命题的序号是．（将你认为正确的结论序号都写上）

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，，求的取值范围．

18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，

AB是半圆⊙O：

x2+y2=1（y≥0）的直径，C是半

圆O（除端点A、B）上的任意一点，在线段AC的

延长线上取点P，使︱PC︱=︱BC︱，试求动点P

的轨迹方程．

19．（本题满分12分）某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：

在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：

在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：

元）．

（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率；

（Ⅱ）设为该幸运观众摸球停止时所得的奖金数（元），求的分布列和数学期望E．

20．（本题满分12分）已知函数，g（x）=－6x+lnx3（a≠0）．

（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）－g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g（x）=xf′（x）－3（2a+1）x无实数解？

若存在，求出a的取值范围？

若不存在，请说明理由．

21．（本题满分12分）设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为，左焦点到左准线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离．

22．（本题满分14分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1=b1=1，．

（Ⅰ）若b2是a1，a3的等差中项，求an与bn的通项公式；

（Ⅱ）若an∈N*，{}是公比为9的等比数列，

求证：

．

绵阳市高中2019级第二次诊断性考试

数学（理科）参考解答及评分标准

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．

ADCDBACDCBAB

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．{x︱0＜x＜3}14．（）或15．1216．①④

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．

17．解（Ⅰ）∵，，，

∴a－2bsinA=0，由正弦定理得sinA－2sinBsinA=0．……………………3分

∵0＜A，B，C＜，∴，得或．……………………6分

（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，∴，

，

于是==．

……………………9分

由及0＜C＜，得．

结合0＜A＜，∴，得，

∴，即．……………………12分

18．解连结BP，由已知得∠APB=45．……………………2分

设P（x，y），则，，由PA到PB的角为45，

得，化简得x2+（y－1）2=2．……………………10分

由已知，y＞0且＞0，故点P的轨迹方程为x2+（y－1）2=2（x＞－1，y＞0）．……………………12分

法二连结BP，由已知可得∠APB=45，∴点P在以AB为弦，所对圆周角为45的圆上．

设该圆的圆心为D，则点D在弦AB的中垂线上，即y轴上，且∠ADB=90，∴D（0，1），︱DA︱=，圆D的方程为x2+（y－1）2=2．

由已知，当点C趋近于点B时，点P趋近于点B；当点C趋近于点A时，点P趋近于点（－1，2），所以点P的轨迹方程为x2+（y－1）2=2（x＞－1，y＞0）．

19．解（Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A，

则．……………………5分

（Ⅱ）的可能值为0，1000，2000．……………………7分

，，

．……………………10分

0

1000

2000

P

所以．……………………12分

答：

略．

20．解（Ⅰ）∵h（x）=f（x）－g（x）=+6x－3lnx（x＞0），

∴．……………………2分

∵函数h（x）有两个极值点，∴方程，

即ax2+2x－1=0应有两个不同的正数根，于是

－1＜a＜0．……………………6分

（Ⅱ）方程g（x）=xf′（x）－3（2a+1）x即为－6x+3lnx=3ax2－3（2a+1）x，

等价于方程ax2+（1－2a）x－lnx=0．

设H（x）=ax2+（1－2a）x－lnx，转化为关于函数H（x）在区间（0，+∞）内的零点问题（即函数H（x）图象与x轴有无交点的问题）．……………………8分

∵H′（x）=2ax+（1－2a）－，

且a＞0，x＞0，则当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；

当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．……………………10分

因为x0（或者x+∞）时，H（x）+∞，

∴要使H（x）图象与x轴有无交点，只需

H（x）min=H

（1）=a+（1－2a）=1－a＞0，结合a＞0得0＜a＜1，为所求．

……………………12分

21．解

（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

则，．

由，即，得．

于是a2=b2+c2=21+7=28，椭圆C的方程为．…………………5分

（2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x=y代入中，得，则点P（，），Q（，），于是点O到l的距离为．……………………7分

若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标是方程组的两个实数解，

消去y，整理，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2－84=0，

∴△=（8km）2－4（3+4k2）（4m2－84）=12（28k2－m2+21）＞0，①

，．②

……………………9分

∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ=－1，即，x1x2+y1y2=0．

于是x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．③

将x1+x2，x1x2代入上式，得，

∴（k2+1）（4m2－84）－8k2m2+m2（4k2+3）=