8A数学基础夯实25题.docx
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8A数学基础夯实25题
一．填空题（共15小题）
2020-8A-数学基础夯实25题参考答案与试题解析
1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3=90︒．
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，利用这一关系可解此题．
【解答】解：
观察图形可知：
∆ABC≅∆BDE，
∴∠1=∠DBE，
又∠DBE+∠3=90︒，
∴∠1+∠3=90︒．故答案为：
90︒．
【点评】本题考查了全等图形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2．如图，在3⨯3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4=180︒．
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90︒，∠2+∠3=90︒，进而得出答案．
【解答】解：
∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90︒，
∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90︒，
∴∠1+∠2+∠3十∠4=180︒．故答案为：
180．
【点评】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
3．如图，已知AB=DB，只添加一个条件就能判定∆ABC≅∆DBC，则你添加的条件是
AC=DC或∠ABC=∠DBC．（写出一个即可）
【分析】由于AB=DB，BC为公共边，则可根据“SSS”或“SAS”添加条件．
【解答】解：
AB=DB，而BC=BC，
∴当AC=CD时，可根据“SSS”判断∆ABC≅∆DBC；
当∠ABC=∠DBC时，可根据“SAS”判断∆ABC≅∆DBC．故答案为AC=DC或∠ABC=∠DBC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：
熟练掌握全等三角形的5种判定方法．
4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，∆ABC的顶点都在格点上，以AB为一边作∆ABP，使之与∆ABC全等，从P1、P2、P3、P4四点中找出符合条件的点P，则点P有3个．
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．
【解答】解：
要使∆ABP与∆ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即
3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故答案为：
3．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．
5．根据下列已知条件，能够画出唯一∆ABC的是②③（填写正确的序号）．
①AB=5，BC=4，∠A=60︒；②AB=5，BC=6，AC=7；③AB=5，∠A=50︒，∠B=60︒；
④∠A=40︒，∠B=50︒，∠C=90︒．
【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有②③能画出唯一三角形．
【解答】解：
①当两边及其中一边的对角确定时，此时是ASS，可知这个三角形是不确定的；
②当三角形的三边确定时，由SSS可知这个三角形是确定的；
③此时可知三角形的两角及其夹边确定，由ASA可知这个三角形是确定的；
④根据∠A=40︒，∠B=50︒，∠C=90︒不能画出唯一三角形；故答案为：
②③．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、
ASA、AAS和HL是解题的关键，注意AAA和ASS不能判定两个三角形全等．
6．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50︒，∠OPC=30︒，则∠PCA=55︒．
【分析】由“HL”可证Rt∆OAP≅Rt∆OBP，可得∠AOP=∠BOP=1∠AOB=25︒，由外角可
2
求解．
【解答】解：
PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，
∴∠PAO=∠PBO=90︒，
PA=PB，OP=OP，
∴Rt∆OAP≅Rt∆OBP（HL），
∴∠AOP=∠BOP=1∠AOB=25︒，
2
∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55︒，故答案为：
55︒．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt∆OAP≅Rt∆OBP是本题的关键．7．如图∆ABC中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，且AE=CF．若BC=6，CF=5，则AB=16．
【分析】过点A作AH//BF交FE的延长线于点H，由“AAS”可证∆ADH≅∆CDF，可得
AH=CF=AE，可得∠H=∠AEH=∠F=∠FEB，可得BE=BF=11，即可求解．
【解答】解：
如图，过点A作AH//BF交FE的延长线于点H，
∴∠H=∠F，且AD=DC，∠ADH=∠CDF，
∴∆ADH≅∆CDF（AAS）
∴AH=CF，
AE=CF=5，
∴AH=AE=5，
∴∠H=∠AEH，
∴∠AEH=∠F=∠FEB，
∴BE=BF=BC+CF=11，
∴AB=AE+BE+5+11=16，故答案为：
16．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．8．小熊不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），如需要配一块与原来一样大小的三角形玻璃，应该带第2块去，你的理由是．
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：
1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：
2，ASA．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．9．已知：
如图，∆ABC中，∠ABC=45︒，H是高AD和BE的交点，AD=12，BC=17，则线段DH的长为5．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到DB=DA=12，证明∆DBH≅∆DAC，根据全等三角形的对应边相等得到答案．
【解答】解：
AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠DBH=∠DAC，
AD⊥BC，∠ABC=45︒，
∴DB=DA=12，
∴DC=17-12=5，在∆DBH和∆DAC中，
⎧∠DBH=∠DAC
⎪DB=DA，
⎪∠BDH=∠ADC=90︒
∴∆DBH≅∆DAC（ASA）
∴DH=DC=5，故答案为：
5．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．下列4个图形中，属于全等的2个图形是①③．（填序号）
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS）即可得到结论．
【解答】解：
根据全等三角形的判定（SAS）可知属于全等的2个图形是①③，故答案为：
①③．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
11．如图，在∆ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE相交于点F．若BF=AC，AD=12cm，则BD的长为12cm．
【分析】由条件可证明∆BDF≅∆ADC，可求得BD=AD=12cm．
【解答】解：
AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90︒，
∴∠DBF+∠C=∠C+∠CAD，
∴∠DBF=∠DAC，在∆BDF和∆ADC中
⎧∠BDF=∠ADC
⎪∠DBF=∠DAC，
⎪BF=AC
∴∆BDF≅∆ADC（AAS），
∴BD=AD，
AD=12cm，
∴BD=12cm．
故答案为：
12cm．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键．12．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，AB=BC．若AB=8，CF=2，则BD=6．
【分析】根据“ASA”证明∆ABF≅∆CBD，BF=BD，求出BF=6，即可得出答案．
【解答】证明：
CB⊥AD，AE⊥CD，
∴∠ABF=∠CBD=∠AED=90︒，
∴∠A+∠D=∠C+∠D=90︒，
∴∠A=∠C，
⎧∠A=∠C
在∆ABF和∆CBD中，⎪AB=CB，
⎪∠ABF=∠CBD
∴∆ABF≅∆CBD（ASA），
∴BF=BD，
BC=AB=8，BF=BC-CF=8-2=6，
∴BD=BF=6；故答案为：
6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，已知等腰∆ABC，AB=AC，∠BAC=120︒，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠APO=∠ACO；②
∠APO+∠PCB=90︒；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有①②③④．（填上所有正确结论的序号）
【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO=∠ACO，∠APO+∠DCO=30︒，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC=60︒，再由等边三角的判定证明∆OPC是等边三角形，得出PC=PO，
∠PCO=60︒，推出∠APO+∠PCB=90︒，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC，即可得出结果．
【解答】解：
连接BO，如图1所示：
AB=AC，AD⊥BC，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，又OP=OC，
∴OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
又在等腰∆ABC中∠BAC=120︒，
∴∠ABC=∠ACB=30︒，
∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO，
∴∠OBP=∠ACO，
∴∠APO=∠ACO，故①正确；
又∠ABC=∠PBO+∠CBO=30︒，
∴∠APO+∠DCO=30︒，
∠PBC+∠BPC+∠BCP=180︒，∠PBC=30︒，
∴∠BPC+∠BCP=150︒，
又∠BPC=∠APO+∠CPO，
∠BCP=∠BCO+∠PCO，
∠APO+∠DCO=30︒，
∴∠OPC+∠OCP=120︒，
又∠POC+∠OPC+∠OCP=180︒，
∴∠POC=60︒，
又OP=OC，
∴∆OPC是等边三角形，
∴PC=PO，∠PCO=60︒，故③正确；
∴∠APO+∠DCO+∠PCO=30︒+60︒，即：
∠APO+∠PCB=90︒，故②正确；
在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：
∠BAC+∠CAP=180︒，∠BAC=120︒，
∴∠CAP=60︒，
∴∆APE是等边三角形，
∴AP=EP，
又∆OPC是等边三角形，
∴OP=CP，
又∠APE=∠APO+∠OPE=60︒，
∠CPO=∠CPE+∠OPE=60︒，
∴∠APO=∠EPC，
⎧AP=EP
在∆APO和∆EPC中，⎪∠APO=∠EPC，
⎪OP=CP
∴∆APO≅∆EPC（SAS），
∴AO=EC，
又AC=AE+EC，AE=AP，
∴AO+AP=AC，故④正确；故答案为：
①②③④．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．14．已知∆ABC的三边分别是6，8，10，∆DEF的三边分别是6，6x-4，4x+2，若两个三角形全等，则x的值为2．
【分析】根据全等三角形对应边相等，分两种情况求出x的值，再根据x的值作出判断即可．
【解答】解：
法一：
由全等三角形对应边相等得，①4x+2=10，解得x=2，
6x-4=8，解得x=2，由于2=2，
所以，此种情况成立；
②4x+2=8，解得x=3，
2
6x-4=10，解得x=7，
3
由于3≠7，
23
所以该情况不成立
综上所述，x的值为2．故答案是：
2．
法二：
全等三角形的周长相等，
∴6+8+10=6+6x-4+4x+2，
∴x=2，
故答案是：
2．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，要注意两个方程求出的x的值必须相同．
15．如图，∆ABC≅∆ADE，若∠B=80︒，∠C=30︒，∠DAC=34︒，则∠EAC的度数为
36︒．
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得
∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：
∠B=80︒，∠C=30︒，
∴∠BAC=180︒-80︒-30︒=70︒，
∆ABC≅∆ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70︒，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=70︒-34︒=36︒．故答案是：
36︒．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：
全等三角形的对应角相等，对应边相等．
二．解答题（共10小题）
16．已知：
如图，∠1=∠2，AD=AB，∠AED=∠C，求证：
∆ADE≅∆ABC．
【分析】根据AAS证明∆ADE≅∆ABC．
【解答】证明：
∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAB=∠BAC，
在∆ADE和∆ABC中，
⎧∠DAE=∠BAC
⎪∠AED=∠C，
⎪AD=AB
∴∆ADE≅∆ABC（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定是解决问题的关键．
17．在等腰三角形∆ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．
（1）如图1，若BC=BD，求证：
CD=DE；
（2）如图2，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=3，求CE-BE的值．
【分析】
（1）先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定∆ADC≅∆BED，即可得到CD=DE；
（2）先根据条件得出∠DCB=∠CDE，进而得到CE=DE，再在DE上取点F，使得FD=BE，进而判定∆CDF≅∆DBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH=HE，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE，可得结论．
【解答】
（1）证明：
AC=BC，∠CDE=∠A，
∴∠A=∠B=∠CDE，
∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE
∴∠ACD=∠BDE，又BC=BD，
∴BD=AC，
在∆ADC和∆BED中，
⎧∠ACD=∠BDE
⎪AC=BD，
⎪∠A=∠B
∴∆ADC≅∆BED（ASA），
∴CD=DE；
（2）解：
CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
由
（1）知：
∠CDE=∠B，
∴∠DCB=∠CDE，
∴CE=DE，
如图，在DE上取点F，使得FD=BE，
在∆CDF和∆DBE中，
⎧DF=BE
⎪∠CDE=∠B，
⎪CD=BD
∴∆CDF≅∆DBE（SAS），
∴CF=DE=CE，又CH⊥EF，
∴FH=HE，
∴CE-BE=DE-DF=EF=2HE=2⨯3=6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形．
18．如图，∆ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，AE=AF，点D在AF的延长线上，
AD=AC．
（1）求证：
∆ABE≅∆ACF；
（2）若∠BAE=30︒，求∠ADC的度数．
【分析】
（1）要证明∆ABE≅∆ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，∠AEF=∠AFE，从而可以证明结论成立；
（2）根据
（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【解答】证明：
（1）AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠AEF+∠AEB=∠AFE+∠AFC=180︒，
∴∠AEF=∠AFE，
⎧∠AEF=∠AFE,
在∆ABE和∆ACF中，⎪∠B=∠ACF,
⎪AB=AC,
∴∆ABE≅∆ACF（AAS）；
（2）解：
∆ABE≅∆ACF，∠BAE=30︒，
∴∠BAE=∠CAF=30︒，
AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC=180︒-30︒=75︒．
2
答：
∠ADC的度数为75︒．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．如图，已知：
在∆ABC和∆AEF中，点E在BC边上，AE=AB，AC=AF，∠CAF=∠BAE，
EF与AC交于点G．
（1）求证：
EF=BC；
（2）若∠ABC=65︒．∠ACB=28︒，求∠FGC的度数．
【分析】
（1）由“SAS”可证∆BAC≅∆EAF，可得EF=BC；
（2）由全等三角形的性质可得AB=AE，∠AEF=∠ABC=65︒，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】证明：
（1）∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF，且AE=AB，AC=AF，
∴∆BAC≅∆EAF（SAS）
∴EF=BC；
（2）∆BAC≅∆EAF，
∴AB=AE，
∴∠ABC=∠AEB=65︒，
∠AEB=∠ACB+∠EAC，
∴∠EAC=37︒，
∆BAC≅∆EAF，
∴∠AEF=∠ABC=65︒，
∴∠FGC=∠AGE=180︒-37︒-65︒=78︒
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∆BAC≅∆EAF是本题的关键．
20．如图，已知CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，BF交CE于D点，且AB=AC．
（1）求证：
∆ABF≅∆ACE；
（2）求证：
A点在∠EDF的平分线上．
【分析】
（1）由“AAS”可证∆ABF≅∆ACE；
（2）由全等三角形的性质可得AE=AF，且AE⊥DE，AF⊥DF，可得A点在∠EDF的平分线上．
【解答】证明：
（1）CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠AEC=90︒，且∠A=∠A，AC=AB，
∴∆ABF≅∆ACE（AAS）
（2）∆ABF≅∆ACE，
∴AE=AF，
AE⊥DE，AF⊥DF，
∴A点在∠EDF的平分线上．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解此题的关键是推出
∆ABF≅∆ACE，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等，反之亦然．
21．证明“全等三角形的对应角平分线相等”
命题证明应有四个步骤：
画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整图形：
如图所示
已知：
求证：
证明：
【分析】根据全等三角形的性质得出AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'，根据“ASA”
判断∆ABD≅△A'B'D'，进而证明即可．
【解答】已知：
如图，∆ABC≅△A'B'C'，BD，B'D'分别是∆ABC和△A'B'C'的角平分线．求证：
BD=B'D'．
证明：
∆ABC≅△A'B'C'，
∴A
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