重庆数学中考重难题型突破二新定义阅读理解题.docx
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重庆数学中考重难题型突破二新定义阅读理解题
题型二新定义阅读理解题
1.（2019重庆江北区模拟）资料：
解形如（x＋a）4＋（x＋b）4＝c的一元四次方程时，能够先求常数a和b的均值a＋b，而后设y＝x＋a＋b，再把原方程换元求解．用这类方法能够成功地消去含未知数的奇次项，使
22
方程转变成易于求解的双二次方程，这类方法叫做“均值换元法”．
例：
解方程：
（x－2）4＋（x－3）4＝1
解：
∵－2和－3的均值为－
5
5
1
4
1
4
2
，∴设y＝x－，原方程可化为
（y＋
）
＋（y－）＝1.
2
2
2
2
＋y＋
12
2
－y＋
12
＝1.
去括号得（y
4）
＋（y
4）
4
2
1
3
1
2
1
4
2
1
3
1
2
1
y
＋y＋
16＋2y＋
2y
＋2y＋y＋y
＋
16－2y
＋
2y－2y＝1.
整理得2y4＋3y2－
7＝0.（成功地消去了未知数的奇次项
）
8
解得y2＝1或y2＝－7（舍去）．
4
4
1
5
1
∴y＝±，即x－＝±.∴x＝3或x＝2.
2
2
2
（1）用阅读资猜中这类方法解对于x的方程（x＋3）4＋（x＋5）4＝1130时，先求两个常数的均值为
________．设y＝x＋________．原方程转变为：
（y－________）4＋（y＋________）4＝1130；
（2）用这类方法，求解方程（x＋1）4＋（x＋3）4＝706.
2.（2019重庆中考说明样卷）求两个正整数的最大条约数是常有的数学识题，中国古代数学专著《九章
算术》中便记录了求两个正整数最大条约数的一种方法——更相减损术，术曰：
“可半者半之，不行半者，
—1—
副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公
约数，先用较大的数减去较小的数，获得差，而后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数
与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大条约数．
比如：
求91与56的最大条约数
解：
91－56＝35，
56－35＝21，
35－21＝14，
21－14＝7，
14－7＝7，
因此，91与56的最大条约数是7.
请用以上方法解决以下问题：
（1）求108与45的最大条约数；
（2）求三个数78、104、143的最大条约数．
3.资料一：
若整数a和整数b除以整数m所得的余数同样，则称a和b对m同余．
资料二：
一个n位数假如知足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个同样的整数，我
们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数．如：
123是三位负一阶数，4321
—2—
是四位一阶数．
（1）证明：
一个随意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；
（2）一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数m2对
3同余，求这个四位k阶数．
4.（2019重庆八中模拟）我们已经知道一些特别的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：
3、4、5；三
个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍旧是勾股数．
（1）此外利用一些组成勾股数的公式也能够写出很多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：
a＝2n＋1，
b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1（n为正整数）是一组勾股数，请证明知足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；
—3—
（2）但是，世界上第一次给出的勾股数公式，采集在我国古代的有名数学著作《九章算术》中，书中提
11
到：
当a＝2（m2－n2），b＝mn，c＝2（m2＋n2）（m、n为正整数，m＞n）时，a、b、c组成一组勾股数；利用上
述结论，解决以下问题：
已知某直角三角形的三边长知足上述勾股数，此中一边长为37，且n＝5，求该直
．．
角三角形另两边的长．
5.（2019重庆A卷）《道德经》中的“道生一，一世二，二生三，三生万物”道出了自然数的特点．在数的学习过程中，我们会对此中一些拥有某种特征的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶
数、质数、合数等，此刻我们来研究另一种特别的自然数——“纯数”．
定义：
对于自然数n，在计算n＋（n＋1）＋（n＋2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．比如：
32是“纯数”，由于计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；
—4—
23不是“纯数”，由于计算23＋24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是不是“纯数”？
请说明原因；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
6.（2019重庆南岸区模拟）大数学家欧拉特别尊崇察看能力，他说过，今日已知的很多半的性质，大多半是经过察看发现的，历史上很多大家，都是天才的察看家．化归就是将面对的新问题转变为已经熟习的
规范问题的数学方法，这是一种拥有广泛合用性的数学思想方法．如多项式除以多项式能够类比于多位数的除法进行计算：
—5—
∴26445÷123＝215.∴（x3＋2x2－3）÷（x－1）＝x2＋3x＋3.
请用以上方法解决以下问题：
（1）计算：
（x3＋2x2－3x－10）÷（x－2）；
（2）若对于x的多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，且a，b均为自然数，求知足以上条件的
a，b的值及相应的商．
7.（2019重庆科研考试四）阅读以下资料解决问题：
假如一个自然数末三位所表示的数与末三位从前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的倍数，则
这个数能被13整除．
如：
593814，814－593＝221，221是13的17倍，因此593814能被13整除．
（1）若对随意一个七位数，末三位所表示的数与末三位从前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的
—6—
倍数，证明这个七位数必定能被13整除；
（2）已知一个五位自然数，末三位为m＝500＋10y＋52，末三位从前的数为n＝10（x＋1）＋y（此中1≤x≤8，
1≤y≤9且为整数），互换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求这个五位数．
8.（2018重庆一中一模）对随意的一个三位数n，假如n知足各个数位上的数字均不为零，且该数随意
两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”
，现把n的百位数字
替代成：
十位数字加上个位数字后与百位数字的差，其他数位保持不变，获得一个新数
n1；把n的十位数
字替代成：
百位数字加上个位数字后与十位数字的差，其他数位保持不变，获得一个新数
n2；把n的个位
数字替代成：
百位数字加上十位数字后与个位数字的差，其他数位保持不变，获得一个新数
n3
（若出现替代
后的数位上的数字大于等于
10，则该数位上的数字向前一位进位
）．我们把n1、n2、n3的和记作F（n）．比如
—7—
n＝345，则n1＝645，n2＝345，n3＝342，F（n）＝645＋345＋342＝1332；又知n＝839，则n1＝439，n2＝949，
n3＝832，F（n）＝439＋949＋832＝2220.
（1）计算：
F（212），F（739）；
（2）假如一个“三角形数”t：
t＝100x＋10y＋z（2≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x，y，z均为整数），知足x＋y＋z＝17，正整数s＝100x＋30y＋109和正整数m＝204＋10y，知足s－m获得的新数的各个数位上的数
t－t2
字之和是18，规定：
k（t）＝||，求k（t）的最大值．
t－t1
—8—
参照答案
题型二新定义阅读理解题
1.解：
（1）4，4，1，1；
（2）∵1和3的均值为2，∴设y＝x＋2，原方程可化为（y＋1）4＋（y－1）4＝706.
去括号整理得y4＋6y2－352＝0.
解得y2＝16或y2＝－22（舍去）．
∵y＝±4，即x＋2＝±4，∴x＝－6或x＝2.
2.解：
（1）∵108－45＝63，
63－45＝18，
45－18＝27，
27－18＝9，
18－9＝9，
∴108与45的最大条约数是
9；
（2）先求104与78的最大条约数，
104－78＝26，
78－26＝52，
52－26＝26，
∴104与78的最大条约数是
26；
再求26与143的最大条约数，
143－26＝117，
117－26＝91，
91－26＝65，
65－26＝39，
39－26＝13，
26－13＝13，
∴26与143的最大条约数是
13，
∴78、104、143的最大条约数是13.
3.
（1）证明：
设这个随意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：
n＋10（n＋k）＋100（n
＋2k）＋1000（n＋3k），
它与个位数的差为：
n＋10（n＋k）＋100（n＋2k）＋1000（n＋3k）－n＝n＋10n＋10k＋100n＋200k＋1000n＋3000k－n＝1110n＋
3210k＝6（185n＋535k），
∵6（185n＋535k）是6的倍数，
∴6（185n＋535k）能被6整除．即一个随意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；
—9—
（2）解：
设这个随意四位阶梯数的个位为n，则该四位阶梯数表示为：
n＋10（n＋k）＋100（n＋2k）＋1000（n
＋3k），
2[n＋10（n＋k）＋100（n＋2k）＋1000（n＋3k）]－10m－2＝2222n＋6420k－10m－2＝11（202n＋583k）＋7k－
10m－2，7k－10m－2是11的倍数；
（1111n＋3210k）÷3与（10m＋2）÷3的余数同样．
易得k可取－1，－2，1，2，
当m＝1，2，3，4时，不论k取何值，7k－10m－2都不是11的倍数，当m＝5时，k＝－2，此时四位k阶数为1357，
当m＝6时，k＝1，此时四位k阶数为8765，5432.
综上，这个四位数是1357，8765，5432.
4.
（1）证明：
由题意知，
c2＝（2n2＋2n＋1）2
＝（2n2＋2n）2＋2（2n2＋2n）＋1
＝（2n2＋2n）2＋4n2＋4n＋1
＝（2n2＋2n）2＋（2n＋1）2.
即c2＝b2＋a2，
∴知足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；
（2）解：
当n＝5时，a＝12（m2－25），b＝5m，c＝12（m2＋25），
当a＝37时，解得m＝311，非正整数，不合题意，舍去，当b＝37时，解得m＝37，非正整数，不合题意，舍去，
5
当c＝37时，解得m＝7，知足题意，此时a＝12，b＝35，
∴该直角三角形的此外两边的长为12，35.
5.解：
（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，原因以下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，∴2019不是“纯数”．
∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋
2＝6，它们都没有产生进位，
∴2020是“纯数”；
（2）由题意，当“纯数”n为一位数时，n＋（n＋1）＋（n＋2）＝3n＋3＜10，
∴0≤n＜73，故n＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个，
当“纯数”n为两位数时，设n＝10b＋a（此中1≤b≤9，0≤a≤9，且a，b为自然数），
则n＋（n＋1）＋（n＋2）＝30b＋3a＋3.
此时a，b应知足的条件分别为：
3a＋3＜10，即a＝0，1，2；1≤b≤3，即b＝1，2，3.
—10—
∵3×3＝9（个），
∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．
∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，
∴3＋9＋1＝13（个）．
∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.
6.解：
（1）（x
3＋2x2－3x－10）÷（x－2）＝x2
（2）列除式：
＋4x＋5；
∴（x3＋2x2－3x－10）÷（x－2）＝x2＋4x＋5；
（2）列除式以下：
∵多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，
∴余式b＋4（a－2）＝0，即4a＋b＝8.
∵a，b是自然数，
∴当a＝0时，b＝8，此时多项式为2x4＋5x3＋8，商为2x3＋x2－2x＋4；
当a＝1时，b＝4，此时多项式为2x4＋5x3＋x2＋4，商为2x3＋x2－x＋2；
当a＝2时，b＝0，此时多项式为2x4＋5x3＋2x2，商为2x3＋x2.
7.
（1）证明：
设随意七位数的末三位为s，末三位从前的数为t，则这个七位数为ts，
由题意可令t－s＝13k（k为整数）．
ts＝1000t＋s＝1000t－13k＋t＝1001t－13k＝13（77t－k），
∴这个七位数必定能被13整除；
（2解：
）①当1≤y≤4时，m＝500＋10（5＋y）＋2.
互换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为
m′＝100（5＋y）＋52，
m′－n＝100（5＋y）＋52－10（x＋1）－y
＝99y－10x＋542
—11—
＝13（42＋8y－x）－（4＋5y－3x），
∵1≤x≤8，1≤y≤4，且x，y都为整数，
∴－21≤－（4＋5y－3x）≤15.
∴－（4＋5y－3x）的值为13或0或－13.
x＝9，
Ⅰ.若－（4＋5y－3x）＝13，则.
y＝2.（舍去）
x＝8，x＝3，
Ⅱ.若－（4＋5y－3x）＝0，则或
y＝4.y＝1.
∴这个五位数为94592，41562.
x＝2，
Ⅲ.若－（4＋5y－3x）＝－13，则
y＝3.
∴这个五位数为33582.
②当5≤y≤9时，m＝600＋10（y－5）＋2.
互换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为
m′＝100（y－5）＋62，
m′－n＝100（y－5）＋62－10（x＋1）－y
＝99y－10x－448
＝13（8y－x－34）－（6＋5y－3x），
∵1≤x≤8，5≤y≤9，且x，y都为整数，∴－48≤－（6＋5y－3x）≤－7.
∴－（6＋5y－3x）的值为－39，－26，－13.
x＝4，
Ⅰ.若－（6＋5y－3x）＝－39，则
y＝9.
∴这个五位数为59642.
x＝5，
Ⅱ.若－（6＋5y－3x）＝－26，则
y＝7.
∴这个五位数为67622.
x＝6，
Ⅲ.若－（6＋5y－3x）＝－13，则
y＝5.
∴这个五位数为75602.
综上所述：
这个五位数为：
94592，41562，33582，59642，67622，75602.
8.解：
（1）由题得，当n＝212时，n1＝112，n2＝232，n3＝211，∴F（212）＝112＋232＋211＝555；
—12—
当n＝739时，n1＝539，n2＝839，n3＝731，∴F（739）＝539＋839＋731＝2109；
（2）s－m＝100x＋30y＋109－204－10y＝100（x－1）＋20y＋5，
①当1≤y≤4时，
x－1＋2y＋5＝18，
∴x＋2y＝14，
∴x＝14－2y，
把x＝14－2y代入x＋y＋z＝17中，得14－2y＋y＋z＝17，
∴z＝y＋3，
∵2≤x≤9，1≤z≤9，
∴2≤14－2y≤9且1≤y＋3≤9，
∴2.5≤y≤6且－2≤y≤6，∵1≤y≤4，
∴2.5≤y≤4，
∵y为整数，∴y＝3或4，
当y＝3时，z＝6，x＝8，∴t＝836；当y＝4时，z＝7，x＝6，∴t＝647；②当5≤y≤9时，
x－1＋1＋2y－10＋5＝18，
x＋2y＝23，
∴x＝23－2y，
把x＝23－2y代入x＋y＋z＝17中，得z＝y－6，∵2≤x≤9，1≤z≤9，
∴2≤23－2y≤9且1≤y－6≤9，∴7≤y≤10.5且7≤y≤15，
∵5≤y≤9，∴7≤y≤9，∵y为整数，
∴y＝7或8或9，
当y＝7时，z＝1，x＝9，不是三角形数，应舍去；当y＝8时，z＝2，x＝7，∴t＝782；
当y＝9时，z＝3，x＝5，不是三角形数，应舍去，综上，t＝836或647或782，
当t＝836时，t1＝136，t2＝916，
—13—
836－9164
∴k（836）＝|836－136|＝35，
当t＝647时，t1＝547，t2＝697，
647
－697
1
∴k（647）＝|
－547|＝
，
647
2
当t＝782时，t1＝382，t2＝712，
782－7127
∴k（782）＝|782－382|＝40，
174
∵2>40>35，
∴k（t）的最大值为1.2
—14—
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