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第八章固体的弹性形变

内容：

１、应力

２、应变

３、胡克定律弹性模量

４、弹性势能

５、扭转和弯曲形变

要求：

〈１〉要求明确掌握应力与应变的概念及其相互关系。

〈２〉掌握杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量的概念。

〈３〉了解应变势能的意义。

重点与难点：

应力与应变的概念及其相互关系。

杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量的概念。

作业：

P2951，2，3，4

第八章固体的弹性形变

在前面的章节中，我们把物体当作刚体看待，认为物体受到力的作用后它的形状不会改变。

但实际上物体受外力作用时形状或多或少地会发生变化。

当外力不很大时物体形状变化也不大，如果去掉外力后物体能完全恢复到原来的形状，就称这样的物体为弹性体，物体相应的形变为弹性形变。

如果作用在物体上的外力很大，引起物体的形变也很大，那么除掉外力后物体就不能完全恢复到原样，这种特性称之为物体的塑性，例如汽车的外壳就是用金属板模压而成的，压完后保持形状不变。

总的来说弹性及塑性都是物质的重要特性，本章主要讨论物体在弹性范围内的形变与外力之间的关系。

物质是由大量的分子组成的，物质的弹性来源于分子间的相互作用力，不过从宏观上看可以把整个物体看成由原子、分子组成的连续媒质，这时只需研究这种连续媒介整体受力与整体形变的关系，而不必考虑物体中每个分子受力的行为。

8.1应力与应变

1）应力

在外力的作用下物体内分子之间的距离会发生变化从而引起物体内分子间相互作用力的变化（也称为物体内力的变化），这种内力的变化会带来物体体积的变化。

为了从宏观上描述这种内力的变化与物体形状变化之间的关系，假想在物体内部任取一平面

（面元的取向可以是任意的），此平面

将物体分开为两部份，若分布在此截面两边的内力变化为

f与

，则定义平面上的应力为（参见图8.1.0）

。

（1）

在国际单位制中，应力的单位为牛顿/米2，简称为帕。

对实际物体来说，如果受到的是拉力或压力如图8.1.1所示，常把假想平面的法线取为沿外力的方向，而把上式定义的应力称为张应力或正应力，当外力是压力时（F=－F）也称为压应力统一用表示。

显然在图8.1.1中假想平面A两边内力的变化

，故张应力的大小就是

如果作用在物体上的外力是力偶，如图8.1.2所示，常把假想平面A取为与外力平行，而把

（1）式定义的应力称为切应力或剪应力用表示，它形象地表示出外力偶对物体的剪切效应。

显然在8.1.2图中假想平面两边内力的变化

，所以假想平面上剪应力的大小

由此看出剪应力与张应力的差别只是应力在平行于假想平面还是在垂直于假想平面上投影，但它们的作用效果完全不同。

应力的概念对液体的表面也适用，如图8.1.3所示。

不过液体的形状不是固定的它随容器的形状变化，而且静止的液体表面只能承受压应力而不能承受剪应力。

另外，液体表面的压应力也称为压强用p表示。

如果液体表面的面积为S，液面表面正压力增加F则液体表面的压强（应力）改变

2）应变

当物体受外力作用时其长度、形状及体积都可能发生变化，这种变化与物体原来的长度、形状及体积之比称为应变。

每一种应力都有一对应的应变，我们把张应力作用引起的应变称为张应变。

设有一柱状物体（见图8.8.1）原来的长度为L0，两端施以大小相等而反向的拉力F后物体的长度变为L，这时柱体的伸长量为L－L0，由定义

在柱体受压力的情况下，上式也称为压应变。

物体受剪应力作用产生的应变叫做切应变。

为方便起见，设物体为一矩形物体如图8.1.4所示，图中虚线表示物体原来的形状，受到剪应力后物体的形状变成实线所示的形状。

剪应力产生的应变大小可用角形变确定，在弹性范围内角实际上很小，可以用

和Lo的比值表示（以弧度为单位）。

由图8.1.4看出剪应变也可以看成是沿物体对角线方向的拉伸与压缩形变。

我们定义

液体表面的压强变化也能使液体产生压缩形变，而液体的形变通常是体积形变。

我们定义液体的体积变化与原体积比值为液体的体积应变，即

由应变的定义可知，三种应变都是没有单位的纯数。

8.2胡克定律

1）物质的弹性

要想知道物质弹性的特点可以进行各种实验。

拉伸实验是一个即简单又典型的实验，通过实验可以找到物体内部应力与物体应变之间的关系。

图8.2.1表示拉伸实验过程中样品的拉伸曲线。

在拉力不太大时，（应力在1点下方）应力与应变显线性关系，不同材料的斜率有所不同，但基本性质却是一样的。

1点称为比例极限位置，超过这一点应力与应变不再呈正比变化。

应力变化时应变比开始变化更大。

虽然应力和应变之间的关系在1点与2点之间不再是线性关系，但是当外力撒去后样品仍能恢复到原来形状，因此2点也称为弹性极限。

当物体内应力超过2点以后，除去外力后物体的形状不能完全恢复到原有的状态，有剩余形变存在属于塑性范围不再过多分析。

对一般材料而言，比例极限与弹性极限的位置靠得很近，在精度要求不高的情况下，可以视比例极限为弹性极限。

从实验得出的结论是：

在比例极限范围内，物体内部的应力与物体的应变

成正比。

应力的这一变化范围称为物体的弹性范围，物体在弹性范围内发生

的形变称之为弹性形变，应力与应变之间的比例系数称之为物体的弹性模量。

由于应变是无量纲的纯数，所以在国际单位制中弹性模量的单位是牛顿/米2或者帕Pa。

2）胡克定律

在弹性范围内任一弹性体内的应力和应变成正比，比例系数为弹性体的弹性模量，这一结论称为胡克定律。

它是从大量的实验中总结出来的，不仅对张应力成立对剪应力也成立，下面就来分析胡克定律的几种常见表达式。

如图8.1.1所示，物体受到拉力或压力时会发生拉伸或压缩形变，通常把描述弹性体的拉伸或压缩弹性模量称为扬氏模量用Y表示，于是描述张应力与张应变关系的胡克定律可写成。

物体受剪应力时（如图8.1.2），我们把物体横向弹性形变的弹性模量称为切变模量用G表示，这样描述剪应力与切应变关系的胡克定律可表述为。

对液体表面的压强变化引起的体积应变，我们把压强变化与体积应变的比值称为液体的体积弹性模量用k表示，相应的胡克定律就可以表示成

因为压强增加时（p>0）液体的体积减小，所以胡克定律中包含一负号。

体积

弹性模量的倒数也称为体积压缩系数，按照上式压缩系数可定义为

由此看出体积压缩系数是增加单位压强时体积的相对变化，也就是增加单位压

强时的体积应变量。

为了对弹性模量的大小有一个数量级的概念，附表中给出了几种常见材料的弹

性模量，单位是牛顿/米2。

一般材料的弹性模量数值可以通过查阅手册的方式得

到。

物体的一般形变都可以看成物体的两种基本弹性形变的组合形式即伸缩与

切变，例如弯曲和扭转等。

表8-1常用材料的弹性模量

材料

杨氏模量

切变模量

钢

201010

81010

锻铁

191010

71010

铜

111010

41010

铝

71010

2.41010

铅

1.31010

0.51010

8.3物体的拉伸与压缩泊松比

1）泊松比

当物体受一对大小相等方向相反的拉力时，物体不仅沿外力的方向会伸长，垂直于外力方向上（横向）尺寸也会缩短。

如柱状物体两端受到拉力时，沿拉力方向物体的尺寸会伸长，而垂直于拉力方向上物体的尺寸会缩短。

一般来说，当物体受拉力或压力时除了纵向（沿拉力方向）会发生应变以外，横向也会有应变。

通常把同一物体的横向应变与纵向应变的比值定义为物体的泊松比用h表示

式中的负号表示横向应变与纵向应变的符号相反，若纵向应变增加则横向应变减小，纵向长度缩小横向宽度就增大，泊松比保持为一正值。

实验资料表明，大多数物质的泊松比在0.3左右。

2）固体的拉伸

为进一步了解泊松比的意义和它在固体弹性形变中的作用，我们来讨论物体在拉伸后体积的变化。

假定物体为六面体，在无外力作用时三边的长度分别为a，b，c。

设有一对大小相等方向相反的拉力F（对压力F=－F）作用于物体的上、下两个面，见图8.3.1。

如果沿拉力的方向上物体伸长了

a其应变量为

，由胡克定律

可以求出沿拉力方向上物体的应变

虽然拉力只是沿z轴方向，但物体在横向即x轴方向和y轴方向也会产生应变。

横向应变的大小可用泊松比计算

及

。

当纵向拉长（Da>0）时，横向Db、Dc减少。

物体原来的体积是v=abc，.拉伸后体积改变量为

于是体积应变

利用前面两式得

上式说明体积应变与张应变是可以通过泊松比相联系的。

一般情况下，泊松比h的值总是小于0.5的，所以张应力作用下体积应变总是正值，也就是说物体受到拉伸的情况下物体的体积总是增大的。

反之，当物体受压力作用时

为负数，物体的体积总是减少的，这时体积应变为

3）压缩系数

现在设想上面提到的六面体是正六面体，为方便起见，假定立方体六个面的表面积均为A。

如果在六面体的每个表面施加正压力F，这时在六面体的六个面上都有同样大小压应力的作用（其大小为F/A），物体总体积应变为一对压应力的3倍，由上式知道这时立方体的体积应变为

注意到物体表面的正压力F与压强的关系是

，于是上面的式子还可表示成

由体积弹性模量的定义

可以得到下式

这就是体积弹性模量与扬氏模量之间的关系，它们可由泊松比联系。

另外，根据弹性理论还可以证明扬氏模量与切变模量有如下关系

当然，也可反过来用切变模量及体积弹性模量表示扬氏模量与泊松比

8.4弯曲与扭转

1）桥梁的弯曲

当桥梁负载重量时就会发生弯曲。

为方便起见，假定桥梁的横截面为矩形（其高度为h宽度为b），桥梁的长度为d，两端点支撑力为N1、N2，桥梁全部负荷为P。

桥梁受力后会发生弯曲形变如图8.4.1所示。

假定全部负荷集中在桥梁的

中点，于是

。

为分析桥梁内部的应力，在桥梁中点假想截面cc′把桥梁从中间分开，成为左右两段。

从图8.4.1中可以看出，以cc￠为参照点，两段各受一方向彼此相反的力偶矩，其大小为

，此力矩是桥梁的两端点处外力引起的记为N外。

当桥梁处于平衡状态时，桥梁的横截面cc′上必有一内力矩与外力矩大小相等、方向相反。

为了分析内力矩，设想将桥梁分成上下许多层，当桥梁向上弯曲时，上层受到压缩下层被拉伸，中间可视可无应变（力）的中性层。

cc′面上的张应力分布如图8.4.1所示，上层有压应力下层有张应力，总的效果相当于一个力偶矩，这就是桥梁的内力矩N内。

为了计算N内，首先分析桥梁的应变，设弯曲桥梁的曲率半径为R，曲率中心位于o′点。

如图8.4.1所示，桥梁对c点所张的角为q=d/R，其中d是梁的长度。

在cc′面上以中性层为坐标原点，取z轴沿桥、梁高度方向，则坐标为z处那一层的长度q（R-z）=d（R-z）/R=d-dz/R。

这样该层的长度变化Dd=-dz/R，相应的应变为Dd/d=-z/R，由胡克定律DF/DA=YDd/d=-zY/R。

对高度dz的一层横截面积dA=bdz，所以该面上的作用内力dF=-（zbY）/Rdz，这个力对坐标原点（o点）的力矩dN=zdF=-（z2bY）/Rdz，于是作用在整个假想面上的总内力矩

负号表示内力矩与外力矩方向相反。

由于桥梁平衡时受到的外力矩必定与内力矩相等，即有

，由此求得桥梁的曲率

上式表明在一定的负荷下，桥梁的弯曲程度与桥梁的宽度一次方和梁高度的三次方成正比。

由此可见，为提高桥梁的抗弯曲能力增加桥梁的高度比增加桥梁的宽度更有效。

另外，桥梁的中性层对抗弯能力没有多大的影响，故在工程中广泛采用工字钢，空心钢管等构件，即能保证不影响梁的抗弯曲能力又能减轻重量节约材料。

2）杆的扭转

在一根杆的两端沿着杆的方向施以反向的扭转力矩时，杆就会发生弹性扭转形变。

任何传递能量的转动轴上都可以出现这种扭转情况，例如汽车的传动轴，电动机的转动轴上都有扭转力矩，我们平时开启螺旋瓶盖，扭干洗过的衣服都属于扭转情况。

这里我们以棒的扭转为例讨论扭转过程的力学规律。

将棒的上端固定，在下端加一力矩N，这时整个下端的截面相对上端的截面扭转了

角。

如图8.4.2所示，可以认为力矩的切向力是分布在整个截面上的。

设想在棒的内部取一半径为

厚度为dr假想截面，作用在此面上的切向力记为dF。

扭转的结果使直线AB转到AC的位置，使下底相对上顶产生一切应变

，作用于此截面上的应力由胡定律

而dF对圆心的力矩

这个力矩是分布在半径为r，宽度为dr环状截面上的那部份力矩，整个底面的力矩或者加在整个棒上的力矩为

由此可见，扭转力矩与棒的扭转角度成正比。

上式中

以弧度为单位，

前的系数可以用实验方法测定，物理学中称为扭转系数用D表示，这样就有

扭转系数表达式告诉我们，要将金属棒扭转一定的角度

，力矩N与棒的半径4次方成正比与棒的长度成反比。

由此可见，粗而短的棒难于扭转，细而长的金属丝易于扭转，在小的力矩作用下也可以获得较大的扭转角。

悬线式电流计是比较灵敏的仪器，其工作原理就是利用细长悬线的扭转角容易测定而制作的。

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、上帝说：

你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。

2、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。

没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。

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