完整word版初中数学乘法公式doc.docx

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乘法公式

概念总汇

1、平方差公式

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即

（a+b）（a-b）=a2-b2a

说明：

a

（1）几何解释平方差公式

b

如右图所示：

边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

b

第一种：

用正方形的面积公式计算：

a2－b2；

第二种：

将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a＋b），宽为（a－b），

它的面积是：

（a＋b）（a－b）

结论：

第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。

所以：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）。

（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只

有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。

平方差公式的a和b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。

应用平方

差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算

2、完全平方公式

完全平方公式：

两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两

倍，即

（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2

这两个公式叫做完全平方公式。

平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式

说明：

（1）几何解释完全平方（和）公式

如图用多种形式计算右图的面积

第一种：

把图形当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：

（a＋b）2

b

a

第二种：

把图形分割成由2个正方形和2个相同的

ab

第1页共16页

长方形来看，其中大正方形的的边长是a，小正方形

的边长是b，长方形的长是a，宽是b，所以

它的面积就是：

a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2

结论：

第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（2）几何解释完全平方（差）公式

如图用多种形式计算阴影部分的面积

第一种：

把阴影部分当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：

（a-b）2

第二种：

把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，S阴影S大正方形-S小正方形-2S长方形

其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是（a-b），宽是b，所以

它的面积就是：

a2

b2

2abba2

2abb2

结论：

第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：

ab2

a2

2ab

b2

（3）在进行运算时，防止出现以下错误：

（a+b）2

=a

2

+b

2，（a-b）2

=a

2-b2。

要注意符号

的处理，不同的处理方法就有不同的解法，

注意完全平方公式的变形的运用。

完全平方公式

的a和b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可

以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，

完全平方

公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用

方法引导

1、乘法公式的基本计算

例1利用平方差公式计算：

（1）（3x＋5y）（3x－5y）；

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）

（3）（-m＋n）（-m－n）

难度等级：

A

第2页共16页

解：

（1）（3x＋5y）（3x－5y）＝（3x）2－（5y）2＝9x2－25y2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

（3）（－m＋n）（－m－n）＝（－m）2－n2＝m2－n2

↓

↓

↓

↓

（a＋b）（a－b）＝a2

－b2

【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，

找到两个多项式

的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结

果

【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，

相同项就是a，

不同项就是b和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式

【搭配练习】

用平方差公式计算

（1）（－0.25x－y）（－0.25x＋y）

（2）（－2x＋3y）（－2x－3y）

（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）例2利用完全平方公式计算

（1）（2a＋3）2

（2）（0.5m－0.2n）2

（3）（-2x－3y）2（4）（1－3x）（3x-1）

难度等级：

A

解：

（1）2

a

32

22

22

a

332

4

a

2

12

a

9

a

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（2）

0.5m0.2n20.5m220.5m0.2n0.2n20.25m20.2mn0.04n2

第3页共16页

ab2

a2

2ab

b2

（3）第一种解法：

2x3y2

2x2

2

2x3y3y2

4x212xy9y2

ab2a22abb2

第二种解法：

2x3y22x3y22x3y22x222x3y3y24x212xy9y2

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（4）13x3x13x13x1

3x123x223x1129x26x19x26x1

ab2a22abb2

【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。

第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。

【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为

相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，

第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。

第四题表面上看

上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他

都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完

全平方式，但有一点还要注意的是3x12中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负

号

【搭配练习】

第4页共16页

利用完全平方公式计算

（1）3a22

（2）

2

4b3c

2

（2）0.1p0.3q

（4）

5m7n7n5m

2、简便计算

例3利用平方差公式简便计算

（1）103×97

（2）59.8×60.2

难度等级：

A

解：

（1）103×97＝（100＋3）（100－3）＝1002－32＝10000－9＝9991

（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96

【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同

的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。

【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那么（103+97）÷2得到的就是第一个数，即公式中的a，（103-97）÷2得到的就是第二个数，即公式中的b

【搭配练习】

利用平方差公式简便计算

（1）899×901＋1

（2）982

（3）141137

88

例4利用乘法公式简便计算

（1）9972

（2）10092（3）94210199

难度等级：

A

解：

（1）

99721000321000221000332100000060009994009

（2）

100921000921000221000981100000018000811018081

第5页共16页

（3）9421019910062

100

1100

1

1002

2

100

6

62

1002

12

1002

1200

36

1002

1

1200

36

1

1163

【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式

【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种

【搭配练习】

利用乘法公式简便计算

9972－1001×999

例题讲解

（一）题型分类全析

例1：

下列计算正确的是（

）

A.

4x?

2x2

3x1

8x3

12x2

4x

B.x

yx2

y2

x3

y3

C.

4a14a

11

16a2

D.x

2y2

x2

2xy

4y2

难度等级：

A

【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x）·（2x2+3x-1）=-8x3-12x2+4x，所

以A错；利用多项式乘法法则，计算（x+y）（x2+y2），得x3+xy2+x2y+y3，所以B也不对；利用平方差公式，有（-4a-1）（4a-1）=（-1-4a）（-1+4a）=（-1）2-（4a）2=1-16a2，所以C是正确的；由完全

平方公式，得（x-2y）2=x2-4y+4y2，所以D错.因此，选C.

解：

C

【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则。

【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。

在做题时可以每道都做一遍，验证正确或错误的选项。

第6页共16页

【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就

是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。

【搭配练习】

1、下列关系式中，正确的是

（

）

A.（a－b）2=a2-b2

B.（a+b）（a-b）=a2-b2

C.（a+b）2=a2+b2

D.（a+b）2=a2-2ab+b2

2、下列计算正确的是

（）

A.（a+3b）（a-3b）=a2-3b2

B.（-

a+3b）（a-3b）=-a2-9b2

C.（-a-3b）（a-3b）=-a2+9b2

D.（-a-3b）（a+3b）=a2-9b2

例2：

多项式4x21加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的

多项式可以是

（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）

难度等级：

B

【思维直现】根据完全平方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2的特点，若4x21

表示了a2+b2的

话，则有a=2x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2（2x）·1=±4x，此时，4

x2

1±4x=（2x

±1）2；如果认为4

x

21

表示了

2ab+b

2的话，则有a=2x2，b=1，所以，缺少的一项为

a2（

2x

）

=

2=4x4，此时，4x

4+4x2

1=（2x2+1）2，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所

指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式

.注意到4x2=（2x）2，1=12，所

以，保留二项式4x21中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可

以是-1或者-4x2，此时有4

x

2

1-1=4x2=（2x）2，或者4

x

2

1-4x2=12.综上分析，可知所加

上的单项式可以是.

解：

±4x、4x4、-1或-4x2

【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有可能是单项式的完全平方。

因为整式是单项式和多项式的统称。

虽然经常见到的多项式形式的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的

【题评解说】本题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。

如果

能把所有的情况都想清楚，当然更好。

【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。

【搭配练习】

第7页共16页

若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=（）

A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b

例3计算：

（1）a

1

a2

1

a

1

2

4

2

（2）xyzxyz

xyzxyz

（3）a3b2c2

难度等级：

B

【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。

在使用之前，要

运用乘法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形

式

解：

（1）a

1

a2

1

a

1

a

1

a

1

a21

2

4

2

2

2

4

a2

1

a2

1

a4

1

4

4

16

（2）xyzxyz

xyzxyz

xyzxyz

xyzxyz

x2

y

z2

x2

y

z2

x2

y

z2

x2

y

z2

y

z2

y

z2

y2

2yzz2

y2

2yzz2

y2

2yzz2

y2

2yz

z2

4yz

（3）a

3b

2c2

a

3b

2c2

a

3b2

2a

3b

2c

2c2

a2

6ab

9b2

4ac

12bc4c2

a2

9b2

4c2

6ab

4ac

12bc

或者a

3b

2c2

a

3b

2c2

a2

2

a

3b

2c

3b

2c2

第8页共16页

222

a6ab4ac9b12bc4c

222

a9b4c6ab4ac12bc

【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式

和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，

可能还会需要第二次展开，层层递进。

【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题

2在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3的多项式是三项，所以在使用完全

平方公式的时候，要把多项式进行拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式

【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b的形式和结论来求出最后结果

【搭配练习】

计算：

（1）（c－2b+3a）（2b+c－3a）

（2）（a－1b）（2a＋1b）（3a2＋1b2）；

6312

（3）（2a－3b＋1）2

例4请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助

线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是．

难度等级：

A

【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x2，两个小正方形

的面积分别是y2与（x-y）2，利用这些数据关系，结合图形便可以写出

以下乘法公式：

（x-y）2=x2-2xy+y2；

解：

（x-y）2=x2-2xy+y2

【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公

式，是“数形结合思想”的具体体现。

【题评解说】本题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。

【建议】在进行知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式

1

1

1

1

）

1

例5．计算：

（1）（1

2）（1

4）（1

8

15.

2

2

2

2

2

第9页共16页

难度等级：

C

【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式

（11），如果能通

1

2

过恒等变形构造一个因式

（1

），则运用平方差公式就会迎刃而解。

2

解：

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

22

24

28

215

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

22

24

1

215

28

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

22

1

1

215

24

28

2

1

1

1

1

1

1

1

22

22

1

1

215

24

28

2

1

1

1

1

1

1

24

24

1

215

28

2

1

1

1

1

1

28

28

215

2

1

1

1

216

215

2

1

2

1

1

215

216

2

1

1

215

215

2

【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公

式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。

【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。

当题目有可能转化成所熟悉的式子时，

要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。

【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。

【搭配练习】

计算

1、（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）+1

2、（1－

1

）（1－

1

）（1－

1

）（1－

1

）（1－

1

）

22

32

42

92

10

2

第10页共16页

例6：

已知a

b

3

1

，ab

，求：

2

（1）a2＋b2

（2）a2＋ab＋b2

（3）a4＋b4

难度等级：

A

【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图，

再看看结论，和完全平方公式

相似，那么完全平方公式的变形就可以满足了，

题

（1）就是在

2

ab的基础上减去了2ab；

题

（2）可以看做

a

b2

的基础上减去了

ab，或是在题（

1）的基础上加上了

ab；题（3）

就是在题

（1）结论的基础上，把

a2

b2

平方后减去2

a2

b2