汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究.docx
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汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究
实例13汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究
根据汽车理论可知悬架双质量系统微分方程为
（13-1）
对式（13-3）和式（13-4）进行拉氏变换并整理，可得
（13-2）
由上式可得
和
之间的传递函数为
（13-3）
另
将（13-3）代入（13-2）,可得到
与路面激励q的传递函数为
（13-4）
13.1车身位移z2与路面激励位移q的传递函数
现在可分析车轮与车身双质量系统的传递函数。
由式（13-3）（13-4）相乘可以得到车身位移z2与路面激励位移q的传递函数为
（13-5）
由于传递函数分母为高阶多项式相乘，计算量比较大，因此可利用MATLAB多项式计算函数求出分母N的系数。
具体程序如下：
m2=317.5;
m1=45.4;
k=22000;
kt=192e3;
c=1.5e3;
a1=[ck];
a2=[m2ck];
a3=[m1ck+kt];
n1=conv（a3,a2）;
N1=poly2sym（n1）;
n2=conv（a1,a1）;
N2=poly2sym（n2）;
nn=N1-N2;
pretty（nn）;
a1=[c*ktk*kt];
den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];
sys=tf（a1,den）;
w=0.1:
.1:
100;
>>figure
（1）
>>[h,w1]=freqs（a1,den,w）;
>>freqs（a1,den,w）;
运行可得到传递函数表达式以及传递函数的频率响应特性图：
Transferfunction:
2.88e008s+4.224e009
-------------------------------------------------------------------
1.441e004s^4+544350s^3+6.894e007s^2+2.88e008s+4.224e009
由图（13-1）中的频率响应幅值（Magnitude）可以清楚的看到，在0.1到100rad/s的频率范围内，有两个明显的共振峰值，由汽车理论可知，这两个共振峰值是由汽车双质量系统两个主频率
和
决定的。
下面进一步具体计算汽车双质量系统两个主频率
和
。
具体程序如下：
m2=317.5;
m1=45.4;
k=22000;
kt=192e3;
c=1.5e3;
a1=[c*ktk*kt];
den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];
sys=tf（a1,den）;
w=0.1:
.1:
100;
[h,w1]=freqs（a1,den,w）;
freqs（a1,den,w）;
title（'z2/z0'）
mag=abs（h）;
margin（sys）;
j=0;
fori=1:
length（w）-1;
if（mag（i+1）-mag（i））<0&（mag（i）-mag（i-1））>0;
j=j+1;
magmax
（1）=mag（i）;
wm
（1）=w（i）;
elseif（mag（i+1）-mag（i））<0&abs（mag（i）-mag（i-1））<0.0001;
j=j+1;
magmax
（2）=mag（i）;
wm
（2）=w（i）;
end
end
wm1=wm
（1）/2/pi;
wm2=wm
（2）/2/pi;
magm1=magmax
（1）;
magm2=magmax
（2）;
>>i1=wm1/f0;
>>i2=wm2/f0;
>>fprintf（'汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=%3.3fHZ\n',wm1）
汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=1.210HZ
>>fprintf（'汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=%3.3fHZ\n',wm2）
汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=9.390HZ
>>fprintf（'汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=%3.3f\n',magm1）
汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=2.413
>>fprintf（'汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=%3.3f\n',magm2）
汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=0.155
>>fprintf（'主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f\n',i1）
主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.913
>>fprintf（'主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f\n',i2）
主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.088
由仿真计算结果可以看出，汽车双质量悬架系统主频率（低频）
与汽车车身系统固有频率f0比较接近，而汽车双质量悬架系统主频率（高频）
与汽车车轮系统固有频率f1比较接近。
由上图容易得出系统参数。
幅值稳定裕度：
Gm=16.9dB。
穿越频率：
g=65rad/s。
相位角稳定裕度：
Pm=65.9度。
剪切频率：
c=11.6rad/s。
13.2车身加速度
对车轮速度
的传递函数
车身加速度
对车轮速度
的传递函数H1（s）为
（13-6）
式（13-6）可理解为车身加速度与车轮加速度的传递函数H1（s）是传递函数G（s）与环节（s+0）串联形成，现在利用matlab进行传递函数H1（s）的频率响应分析。
具体程序如下：
m2=317.5;
m1=45.4;
k=22000;
kt=192e3;
c=1.5e3;
a1=[ck];
a2=[m2ck];
a3=[m1ck+kt];
n1=conv（a3,a2）;
N1=poly2sym（n1）;
n2=conv（a1,a1）;
N2=poly2sym（n2）;
nn=N1-N2;
pretty（nn）;
a1=[c*ktk*kt];
den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];
sys=tf（a1,den）*tf（[1,0],[0,1]）;
w0=（k/m2）^0.5;
f0=w0/2/pi;
wt=（（k+kt）/m1）^0.5;
ft=wt/2/pi;
kexi=c/2/sqrt（k*m2）;
w=0.1:
.1:
100;
figure
（1）
[mag,phase]=bode（sys,w）;
margin（sys）;
gridon
j=0;
fori=1:
length（w）-1;
if（mag（i+1）-mag（i））<0&（mag（i）-mag（i-1））>0;
j=j+1;
magmax
（1）=mag（i）;
wm（j）=w（i）;
elseif（mag（i+1）-mag（i））<0&abs（mag（i）-mag（i-1））<0.0001;
j=j+1;
magmax
（2）=mag（i）;
wm
（2）=w（i）;
end
end
wm1=wm
（1）/2/pi;
wm2=wm
（2）/2/pi;
magm1=magmax
（1）;
magm2=magmax
（2）;
i1=wm1/f0;
i2=wm2/f0;
fprintf（'汽车车身系统固有频率f0=%3.3fHZ\n',f0）
fprintf（'汽车车轮系统固有频率ft=%3.3fHZ\n',ft）
fprintf（'汽车车身加速度对车轮速度主频率1（低频）w1=%3.3f\n',w1）
fprintf（'汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频）w2=%3.3f\n',w2）
fprintf（'汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=%3.3f\n',magm1）
fprintf（'汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=%3.3f\n',magm2）
fprintf（'主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f\n',i1）
fprintf（'主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f\n',i2）
运行程序可以得到下述结果和图13-3：
Transferfunction:
2.88e008s^2+4.224e009s
----------------------------------------------------------------
1.441e004s^4+544350s^3+6.894e007s^2+2.88e008s
+4.224e009
汽车车身系统固有频率f0=1.325HZ
汽车车轮系统固有频率ft=10.927HZ
汽车车身加速度对车轮速度主频率1（低频）w1=1.289
汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频）w2=10.027
汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=9.364
汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=9.364
主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.973
主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.568
图13-3车身加速度
对车轮速度
的传递函数
相对动载荷
，静载荷为
.则
对q的传递函数为
将上式代入式（13-8）可以写为
（13-9）
式（13-9）是非常复杂的多项式，可以先利用MATLAB符号计算方法先将传递函数分子分母计算出来后再进行频率响应仿真分析。
具体程序如下：
m2=317.5;
m1=45.4;
k=22000;
kt=192e3;
c=1.5e3;
a1=[ck];
a2=[m2ck];
a3=[m1ck+kt];
n1=conv（a3,a2）;
N1=poly2sym（n1）;
n2=conv（a1,a1）;
N2=poly2sym（n2）;
N=N1-N2;
pretty（N）;
w0=（k/m2）^0.5;
f0=w0/2/pi;
wt=（（k+kt）/m1）^0.5;
ft=wt/2/pi;
kexi=c/2/sqrt（k*m2）;
s2=m1*k+m2*（k+kt）;
num2=[m2*kt,c*kt,k*kt];
num2=poly2sym（num2）;
num=collect（num2-N）;
运行程序可以得到一下结果：
num=-（28829*x^4）/2-544350*x^3-7983800*x^2
即传递函数分子的系数矩阵为
num=[-28829/2,-544350,-7983800,0,0].*kt./（m1+m2）./9.8
应该注意的是分子系数矩阵的一次项和常数项皆为0。
结合第13.1节计算得到的传递函数分母系数，就容易得到Fd/G对q的传递函数H2（s）。
具体程序如下：
num=[-28829/2-544350-798380000].*kt./（m1+m2）./9.8;
den=[28829/2544350689438002880000004224000000];
sys=tf（num,den）;
运算得到以下结果：
Transferfunction:
-7.782e005s^4-2.939e007s^3-4.31e008s^2
-------------------------------------------------------------------
1.441e004s^4+544350s^3+6.894e007s^2+2.88e008s+4.224e009
由此得到了对动载传递函数H2（s），应用与第13.1节相同的算法，可以很容易地得到传递函数的频率响应及共振频率值等性能指标。
具体程序如下：
m2=317.5;
m1=45.4;
k=22000;
kt=192e3;
c=1.5e3;
a1=[ck];
a2=[m2ck];
a3=[m1ck+kt];
n1=conv（a3,a2）;
N1=poly2sym（n1）;
n2=conv（a1,a1）;
N2=poly2sym（n2）;
N=N1-N2;
pretty（N）
w0=（k/m2）^0.5;
f0=w0/2/pi;
wt=（（k+kt）/m1）^0.5;
ft=wt/2/pi;
kexi=c/2/sqrt（k*m2）;
s2=m1*k+m2*（k+kt）;
num2=[m2*kt,c*kt,k*kt];
Num2=poly2sym（num2）;
Num=collect（Num2-N）
num=[-28829/2-544350-7983800,0,0]*kt/（m1+m2）/9.8
den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];
sys=tf（num,den）
w=0.1:
.1:
100;
figure
（1）
[h,w1]=freqs（num,den,w）;
bode（sys）;
mag=abs（h）;
j=0;
fori=1:
length（w）-1;
if（mag（i+1）-mag（i））<0&（mag（i）-mag（i-1））>0;
j=j+1;
magmax（j）=mag（i）;
wm（j）=w（i）;
end
end
wm1=wm
（1）/2/pi;
wm2=wm
（2）/2/pi;
magm1=magmax
（1）;
magm2=magmax
（2）;
i1=wm1/f0;
i2=wm2/f0;
fprintf（'汽车相对动载对车轮速度主频率1（低频）w1=%3.3fHZ\n',wm1）
fprintf（'汽车相对动载对车轮速度主频率2（高频）w2=%3.3fHZ\n',wm2）
fprintf（'汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=%3.3f\n',magm1）
fprintf（'汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=%3.3f\n',magm2）
fprintf（'主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f\n',i1）
fprintf（'主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f\n',i2）
运行程序可得到如下结果及图13-4。
汽车相对动载对车轮速度主频率1（低频）w1=1.369HZ
汽车相对动载对车轮速度主频率2（高频）w2=11.443HZ
汽车双质量悬架系统低频共振峰值Mag1=14.663
汽车双质量悬架系统高频共振峰值Mag2=116.700
主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=1.033
主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=8.638
13.3悬架动扰度
对q的传递特性仿真
悬架动扰度
对q的传递函数为
将式（13-6）与式（13-7）代入上式，得
（13-10）
式（13-10）是一个非常复杂的多项式。
与前两节计算方法相同，可以利用MATLAB符号计算方法先将传递函数分子分母系数计算出来后，再进行频率响应仿真分析。
具体程序如下：
m2=317.5;
m1=45.4;
k=22000;
kt=192e3;
c=1.5e3;
a1=[ck];
a2=[m2ck];
a3=[m1ck+kt];
n1=conv（a3,a2）;
N1=poly2sym（n1）;
n2=conv（a1,a1）;
N2=poly2sym（n2）;
nn=N1-N2;
pretty（nn）
w0=（k/m2）^0.5;
f0=w0/2/pi;
wt=（（k+kt）/m1）^0.5;
ft=wt/2/pi;
kexi=c/2/sqrt（k*m2）;
s2=m1*k+m2*（k+kt）;
a1=[c*ktk*kt];
a2=[m2*ktc*ktk*kt];
A1=poly2sym（a1）;
A2=poly2sym（a2）;
Num=collect（A1-A2）;
运行程序可得到一下结果：
Num=
（-60960000）*x^2
即传递函数分子的系数矩阵为
num=[-60960000,0,0].*kt
应该注意的是分子系数矩阵的一次项和常数项皆为0。
结合第13.1节计算得到的传递函数分母系数，就容易得到fd对q的传递函数H3（s）。
具体程序如下：
num=[-60960000,0,0].*kt;
den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];
sys=tf（num,den）;
运行程序可得到如下结果：
Transferfunction:
-1.17e013s^2
----------------------------------------------------------------
1.441e004s^4+544350s^3+6.894e007s^2+2.88e008s
+4.224e009
由此得到了对动载传递函数H3（s），应用与第13.1节相同的算法，可以很容易地得到传递函数的频率响应及共振频率值等性能指标。
具体程序如下：
w=0.1:
.1:
100;
[h,w1]=freqs（num,den,w）;
freqs（num,den,w）;
mag=abs（h）;
bode（sys）;
j=0;
fori=1:
length（w）-1;
if（mag（i+1）-mag（i））<0&&（mag（i）-mag（i-1））>0;
j=j+1;
magmax（j）=mag（i）;
wm（j）=w（i）;
end
end
wm1=wm
（1）/2/pi;
wm2=wm
（2）/2/pi;
magm1=magmax
（1）;
magm2=magmax
（2）;
i1=wm1/f0;
i2=wm2/f0;
fprintf（'汽车车身部分阻尼比kexi=%3.3f\n',kexi）
fprintf（'汽车车身系统固有频率f0=%3.3fHZ\n',f0）
fprintf（'汽车车轮系统固有频率ft=%3.3fHZ\n',ft）
fprintf（'汽车悬架挠度对车轮速度主频率1（低频）w1=%3.3f\n',wm1）
fprintf（'汽车悬架挠度对车轮速度主频率2（高频）w2=%3.3f\n',wm2）
fprintf（'主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f\n',i1）
fprintf（'主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f\n',i2）
运行结果如下：
汽车车身部分阻尼比kexi=0.284
汽车车身系统固有频率f0=1.325HZ
汽车车轮系统固有频率ft=10.927HZ
汽车悬架挠度对车轮速度主频率1（低频）w1=1.353
汽车悬架挠度对车轮速度主频率2（高频）w2=10.059
主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=1.021
主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=7.592
13.4路面随机输入下系统振动响应均方根值计算
路面速度功率谱密度函数为
（13-11）
式中，
为路面不平度系数，B级路面可取64×10-6m3；n0为参考空间频率，n0=0.1m-1；u为车速，取常用车速u=20m/s。
根据13.1_13.3节分别求出的振动响应
、Fd/G、fd对q的频率特性，均方值
可由其功率谱密度函数对频率积分求得。
以车身加速度为例，其均方值
为
（13-12）
将式（13-11）代入式（13-12），可得
（13-3）
由式（13-13）可以看出，当悬架双质量系统参数确定后，系统的频域响应就确定了，即幅频特性确定，车身加速度的均方值
与路面不平度系数
以及车速u成正比。
注意到，直接进行积分计算是非常复杂的，一般很难用解析的方法进行直接求解，因此可利用MATLAB数值积分的程序。
将频域范围等分成若干份，频带宽度取为df,可以用下式进行程序的编写
（n=1，2，.....，N）（13-14）
根据（13-14）可进行仿真计算。
首先要利用第13.3节计算得到的双质量系统传递函数以及分别对应的频率响应幅值、相位的输出向量。
具体程序如下：
m2=317.5;
m1=45.4;
k=22000;
kt=192e3;
c=1.5e3;
a1=[c*ktk*kt];
den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];
sys=tf（a1,den）*tf（[1,0],[0,1]）;
w=0.1:
.1:
100;
[mag,phase]=bode（sys,w）;
N=length（w）;
df=max（w）/N;
tao=0;
Gqn0=64e-6;
n0=0.1;
u=20;
forn=1:
N
dt=4*pi^2*Gqn0*n0^2*u*（mag（n）^2）*df;
tao=tao+dt;
end
fprintf（'车身加速度均方根值=%3.4fm/s2\n',tao）
运行程序可得到如下结果
车身加速度均方根值=3.0705m/s2
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