(2)方向:
沿接触面的切线方向,并且跟物体的相对运动或相对运动趋势的方向相反.
3.电场力
(1)大小:
F=qE.若为匀强电场,电场力则为恒力;若为非匀强电场,电场力则与电荷所处的位置有关;点电荷的库仑力F=k
.
(2)方向:
正电荷所受电场力方向与场强方向一致,负电荷所受电场力方向与场强方向相反.
4.安培力
(1)大小:
F=BIL,此式只适用于B⊥I的情况,且L是导线的有效长度,当B∥I时F=0.
(2)方向:
用左手定则判断,安培力垂直于B、I决定的平面.
5.洛伦兹力
(1)大小:
F洛=qvB,此式只适用于B⊥v的情况.当B∥v时F洛=0.
(2)方向:
用左手定则判断,洛伦兹力垂直于B、v决定的平面,洛伦兹力不做功.
6.共点力的平衡
(1)平衡状态:
物体静止或做匀速直线运动.
(2)平衡条件:
F合=0或Fx=0,Fy=0.
(3)常用推论:
①若物体受n个作用力而处于平衡状态,则其中任意一个力与其余(n-1)个力的合力大小相等、方向相反.②若三个共点力的合力为零,则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形.
1.处理平衡问题的基本思路:
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论.
2.常用的方法
(1)在判断弹力或摩擦力是否存在以及确定方向时常用假设法.
(2)求解平衡问题时常用二力平衡法、矢量三角形法、正交分解法、相似三角形法、图解法等.
3.带电体的平衡问题仍然满足平衡条件,只是要注意准确分析场力——电场力、安培力或洛伦兹力.
4.如果带电粒子在重力场、电场和磁场三者组成的复合场中做直线运动,则一定是匀速直线运动,因为F洛⊥v.
考向1 共点力作用下的静态平衡问题
例1
如图1所示,质量为m的木块A放在水平面上的质量为M的斜面B上,现用大小相等、方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上,A、B均保持静止不动.则( )
图1
A.A与B之间一定存在摩擦力
B.B与地面之间一定存在摩擦力
C.B对A的支持力一定等于mg
D.地面对B的支持力大小一定等于(m+M)g
审题突破
A、C选项考察物体A、B之间的受力应选谁为研究对象?
B、D选项考察地面对B的作用力必须选B为研究对象吗?
怎样选研究对象更简单?
解析 对A,若重力、推力、支持力的合力为零时,A、B间没有摩擦力,A错误;B对A的支持力无法求出,所以C错误;把A、B视为一个整体,水平方向两推力恰好平衡,故B与地面间没有摩擦力,所以B错误;地面对B的支持力等于(m+M)g,故D正确.
答案 D
以题说法
1.在分析两个或两个以上物体间的相互作用时,一般采用整体法与隔离法进行分析.
2.采用整体法进行受力分析时,要注意系统内各个物体的状态应该相同.
3.当直接分析一个物体的受力不方便时,可转移研究对象,先分析另一个物体的受力,再根据牛顿第三定律分析该物体的受力,此法叫“转移研究对象法”.
轻质弹簧A的两端分别连在质量均为m的小球上,两球均可视为质点.另有两根与A完全相同的轻质弹簧B、C,且B、C的一端分别与两个小球相连,B的另一端固定在天花板上,C的另一端用手牵住,如图2所示.适当调节手的高度与用力的方向,保持B弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变(已知sin37°=0.6,cos37°=0.8),当弹簧C的拉力最小时,B、C两弹簧的形变量之比为( )
图2
A.1∶1B.3∶5
C.4∶3D.5∶4
答案 C
解析 以两球和弹簧A组成的整体为研究对象,受力分析如图所示,由合成法知当C弹簧与B弹簧垂直时,弹簧C施加的拉力最小,由几何关系知FTB∶FTC=4∶3.
考向2 共点力作用下的动态平衡问题
例2
(2014·山东·14)如图3所示,用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点,制成一简易秋千,某次维修时将两轻绳各剪去一小段,但仍保持等长且悬挂点不变.木板静止时,F1表示木板所受合力的大小,F2表示单根轻绳对木板拉力的大小,则维修后( )
图3
A.F1不变,F2变大
B.F1不变,F2变小
C.F1变大,F2变大
D.F1变小,F2变小
审题突破
两轻绳各剪去一小段,两绳之间的夹角如何变化?
木板所受合力根据什么判断大小是否变化?
解析 木板静止时,木板受重力G以及两根轻绳的拉力F2,根据平衡条件,木板受到的合力F1=0,保持不变.两根轻绳的拉力F2的合力大小等于重力G,保持不变,当两轻绳剪去一段后,两根轻绳的拉力F2与竖直方向的夹角变大,因其合力不变,故F2变大.选项A正确,选项B、C、D错误.
答案 A
以题说法
动态平衡问题分析的三个常用方法.
1.解析法:
一般把力进行正交分解,两个方向上列平衡方程,写出所要分析的力与变化角度的关系,然后判断各力的变化趋势.
2.图解法:
能用图解法分析动态变化的问题有三个显著特征:
一、物体一般受三个力作用;二、其中有一个大小、方向都不变的力;三、还有一个方向不变的力.
3.相似三角形法:
物体一般受三个力作用而平衡,系统内一定总存在一个与矢量三角形相似的结构三角形,这种情况下采用相似三角形法解决问题简单快捷.
如图4甲,手提电脑散热底座一般设置有四个卡位用来调节角度.某同学将电脑放在散热底座上,为了获得更好的舒适度,由原卡位4缓慢地调至卡位1(如图乙),电脑始终静止在底座上,则( )
图4
A.电脑受到的支持力变大
B.电脑受到的摩擦力变小
C.散热底座对电脑的作用力变大
D.散热底座对电脑的作用力不变
答案 D
解析 对笔记本电脑受力分析如图所示,有:
FN=mgcosθ、Ff=mgsinθ.由原卡位1调至卡位4,θ减小,静摩擦力Ff减小、支持力FN增加;散热底座对电脑的作用力的合力是支持力和静摩擦力的合力,与重力平衡,始终是不变的,故D正确.
考向3 带电体在电场内的平衡问题
例3
(2014·浙江·19)如图5所示,水平地面上固定一个光滑绝缘斜面,斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端,另一端系有一个带电小球A,细线与斜面平行.小球A的质量为m、电量为q.小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B,两球心的高度相同、间距为d.静电力常量为k,重力加速度为g,两带电小球可视为点电荷.小球A静止在斜面上,则( )
图5
A.小球A与B之间库仑力的大小为
B.当
=
时,细线上的拉力为0
C.当
=
时,细线上的拉力为0
D.当
=
时,斜面对小球A的支持力为0
审题突破
小球A受哪几个力的作用?
若细线上的拉力为0呢?
通过对小球受力分析,斜面对小球A的支持力能为0吗?
解析 根据库仑定律,A、B球间的库仑力F库=k
,选项A正确;小球A受竖直向下的重力mg,水平向左的库仑力F库=
,由平衡条件知,当斜面对小球的支持力FN的大小等于重力与库仑力的合力大小时,细线上的拉
力等于零,
如图所示,则
=tanθ,所以
=
,选项C正确,选项B错误;斜面对小球的支持力FN始终不会等于零,选项D错误.
答案 AC
以题说法
1.电场和重力场内的平衡问题,仍然是力学问题.力学中用到的图解法和正交分解法仍然可以用在电场和重力场中.
2.当涉及多个研究对象时,一般采用整体法和隔离法结合的方法求解.当物体受到的力多于三个时,往往采用正交分解法列出分方向的平衡方程.
如图6所示,粗糙程度均匀的绝缘空心斜面ABC放置在水平面上,∠CAB=30°,斜面内部O点(与斜面无任何连接)固定一个正点电荷,一带负电可视为质点的小物体可以分别静止在M、P、N点,P为MN的中点,OM=ON,OM∥AB,则下列判断正确的是( )
图6
A.小物体在M、P、N点静止时一定都是受4个力
B.小物体静止在P点时受到的摩擦力最大
C.小物体静止在P点时受到的支持力最大
D.小物体静止在M、N点时受到的支持力相等
答案 CD
解析 对小物体分别在三处静止时进行受力分析,如图:
结合平衡条件小物体在P、N两点时一定受四个力的作用,而在M处不一定,故A错误;小物体静止在P点时,摩擦力Ff=mgsin30°,设小物体静止在M、N点时,库仑力为F′,则小物体静止在N点时Ff′=mgsin30°+F′cos30°,小物体静止在M点时Ff″=mgsin30°-F′cos30°,可见小物体静止在N点时所受摩擦力最大,故B错误;小物体静止在P点时,设库仑力为F,受到的支持力FN=mgcos30°+F,小物体静止在M、N点时:
FN′=mgcos30°+F′sin30°,由库仑定律知F>F′,故FN>FN′,即小物体静止在P点时受到的支持力最大,静止在M、N点时受到的支持力相等,故C、D正确.
1.应用平衡条件解决电学平衡问题
例4
(18分)如图7(BE左边为侧视图,右边为俯视图)所示,电阻不计的光滑导轨ABC、DEF平行放置,间距为L,BC、EF水平,AB、DE与水平面成θ角.PQ、P′Q′是相同的两金属杆,它们与导轨垂直,质量均为m、电阻均为R.平行板电容器的两金属板M、N的板面沿竖直放置,相距为d,并通过导线与导轨ABC、DEF连接.整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中.要使杆P′Q′静止不动,求:
图7
(1)杆PQ应沿什么方向运动?
速度多大?
(2)从O点入射的带电粒子恰好沿图中虚线通过平行板电容器,则入射粒子的速度v0多大?
思维导图
解析
(1)设杆PQ运动速度为v,杆PQ切割磁感线产生的感应电动势:
E=BLv(2分)
回路电流:
I=
(2分)
P′Q′杆静止,对杆P′Q′受力分析,有:
mgtanθ=BIL(2分)
联立解得:
v=
(2分)
根据左手定则与右手定则可知,PQ应向右运动.(2分)
(2)两平行板间的电压:
U=IR(2分)
粒子在电场中运动,电场力:
F=qE=
(2分)
粒子沿直线通过平行板电容器,这时粒子所受的电场力和洛伦兹力相互平衡:
=qBv0(2分)
联立解得:
v0=
(2分)
答案
(1)向右运动
(2)
点睛之笔 此题为力电综合问题,考查了力学知识的平衡问题和电磁感应知识.解答本题的思路是先通过P′Q′静止不动、受力平衡分析PQ的运动方向.PQ运动对P′Q′和电容器供电,带电粒子在电场、磁场中做匀速直线运动受力平衡.
(限时:
15分钟,满分:
15分)
(2014·江苏·13)如图8所示,在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨,导轨间距为L,长为3d,导轨平面与水平面的夹角为θ,在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层.匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向与导轨平面垂直.质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放,在滑上涂层之前已经做匀速运动,并一直匀速滑到导轨底端.导体棒始终与导轨垂直,且仅与涂层间有摩擦,接在两导轨间的电阻为R,其他部分的电阻均不计,重力加速度为g.求:
图8
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ;
(2)导体棒匀速运动的速度大小v;
(3)整个运动过程中,电阻产生的焦耳热Q.
答案
(1)tanθ
(2)
(3)2mgdsinθ-
解析
(1)在绝缘涂层上
导体棒受力平衡mgsinθ=μmgcosθ
解得导体棒与涂层间的动摩擦因数μ=tanθ.
(2)在光滑导轨上
感应电动势:
E=BLv
感应电流:
I=
安培力:
F安=BIL
受力平衡的条件是:
F安=mgsinθ
解得导体棒匀速运动的速度v=
.
(3)摩擦生热:
QT=μmgdcosθ
根据能量守恒定律知:
3mgdsinθ=Q+QT+
mv2
解得电阻产生的焦耳热Q=2mgdsinθ-
.
(限时:
30分钟)
题组1 共点力作用下的静态平衡
1.(2014·广东·14)如图1所示,水平地面上堆放着原木,关于原木P在支撑点M、N处受力的方向,下列说法正确的是( )
图1
A.M处受到的支持力竖直向上
B.N处受到的支持力竖直向上
C.M处受到的静摩擦力沿MN方向
D.N处受到的静摩擦力沿水平方向
答案 A
解析 M处支持力方向与支持面(地面)垂直,即竖直向上,选项A正确;N处支持力方向与支持面(原木接触面)垂直,即垂直MN向上,故选项B错误;摩擦力与接触面平行,故选项C、D错误.
2.如图2所示,三个相同的轻质弹簧连接在O点,弹簧1的另一端固定在天花板上,且与竖直方向的夹角为30°,弹簧2水平且右端固定在竖直墙壁上,弹簧3的另一端悬挂质量为m的物体且处于静止状态,此时弹簧1、2、3的形变量分别为x1、x2、x3,则( )
图2
A.x1∶x2∶x3=
∶1∶2
B.x1∶x2∶x3=2∶1∶
C.x1∶x2∶x3=1∶2∶
D.x1∶x2∶x3=
∶2∶1
答案 B
解析 对物体受力分析可知:
kx3=mg,对弹簧的结点受力分析可知:
kx1cos30°=kx3,kx1sin30°=kx2,联立解得x1∶x2∶x3=2∶1∶
.
3.体育器材室里,篮球摆放在如图3所示的球架上.已知球架的宽度为d,每个篮球的质量为m、直径为D,不计球与球架之间的摩擦,则每个篮球对一侧球架的压力大小为( )
图3
A.
mgB.
C.
D.
答案 C
解析 篮球受力平衡,设一侧球架的弹力与竖直方向的夹角为θ,如图,由平衡条件,F1=F2=
,
而cosθ=
=
,
则F1=F2=
,选项C正确.
4.在如图所示的A、B、C、D四幅图中,滑轮本身的重力忽略不计,滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上,一根轻绳ab绕过滑轮,a端固定在墙上,b端下面挂一个质量都是m的重物,当滑轮和重物都静止不动时,图A、C、D中杆P与竖直方向夹角均为θ,图B中杆P在竖直方向上,假设A、B、C、D四幅图中滑轮受到木杆弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD,则以下判断中正确的是( )
A.FA=FB=FC=FD
B.FD>FA=FB>FC
C.FA=FC=FD>FB
D.FC>FA=FB>FD
答案 B
解析 设滑轮两边细绳的夹角为φ,对重物,可得绳子拉力等于重物重力mg,滑轮受到木杆弹力F等于细绳拉力的合力,即F=2mgcos
,由夹角关系可得FD>FA=FB>FC,选项B正确.
5.如图4所示,质量为M的木板C放在水平地面上,固定在C上的竖直轻杆的顶端分别用细绳a和b连接小球A和小球B,小球A、B的质量分别为mA和mB,当与水平方向成30°角的力F作用在小球B上时,A、B、C刚好相对静止一起向右匀速运动,且此时绳a、b与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则下列判断正确的是( )
图4
A.力F的大小为mBg
B.地面对C的支持力等于(M+mA+mB)g
C.地面对C的摩擦力大小为
mBg
D.mA=mB
答案 ACD
解析 对小球B受力分析,
水平方向:
Fcos30°=FTbcos30°,得:
FTb=F,
竖直方向:
Fsin30°+FTbsin30°=mBg,解得:
F=mBg,
故A正确;
对小球A受力分析,
竖直方向:
mAg+FTbsin30°=FTasin60°
水平方向:
FTasin30°=FTbsin60°
联立得:
mA=mB,故D正确;
以A、B、C整体为研究对象受力分析,
竖直方向:
FN+Fsin30°=(M+mA+mB)g
可见FN小于(M+mA+mB)g,故B错误;
水平方向:
Ff=Fcos30°=mBgcos30°=
mBg,
故C正确.
题组2 共点力作用下的动态平衡
6.如图5所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图.一根轻绳跨过光滑的动滑轮,轻绳的一端系在位置A处,动滑轮的下端挂上重物,轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处.起吊重物前,重物处于静止状态.起吊重物过程是这样的:
先让吊钩从位置C竖直向上缓慢的移动到位置B,然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D,最后把重物卸载到某一个位置.则关于轻绳上的拉力大小变化情况,下列说法正确的是( )
图5
A.吊钩从C向B移动过程中,轻绳上的拉力不变
B.吊钩从B向D移动过程中,轻绳上的拉力变小
C.吊钩从C向B移动过程中,轻绳上的拉力变大
D.吊钩从B向D移动过程中,轻绳上的拉力不变
答案 A
解析 因物体重力不变,故重力与两绳子的拉力为平衡力,并且滑轮两端绳子的张力相等;设绳子间的夹角为2θ;在由C到B上移的过程中有:
2FTcosθ=mg;由几何关系可知,设A到动滑轮的绳长为l,A到滑轮的水平距离为d,则有:
lcosθ=d;因由C到B的过程中A到BC的垂直距离不变,故θ为定值,故轻绳上的拉力不变,故A正确,C错误;由B到D的过程中,绳的总长不变,夹角2θ一定增大,则由A中分析可知,FT一定增大;故B、D错误.
7.如图6所示,物体A、B用细绳与弹簧连接后跨过滑轮,A静止在倾角为45°的粗糙斜面上,B悬挂着.已知质量mA=3mB,不计滑轮摩擦,现将斜面倾角由45°减小到30°,且A、B仍处于静止状态,那么下列说法中正确的是( )
图6
A.弹簧的弹力大小将不变
B.物体A对斜面的压力将减少
C.物体A受到的静摩擦力将减小
D.弹簧的弹力及A受到的静摩擦力都不变
答案 AC
解析 弹簧弹力等于B物体的重力,即弹簧弹力不变,故A项正确;对A物体进行受力分析,列平衡方程可知,C项正确,D项错误;根据FN=mAgcosθ,当倾角减小时,A物体对斜面压力变大,故B项错误.
8.如图7所示,倾角为θ的斜面体c置于水平地面上,小物块b置于斜面上,通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接,连接b的一段细绳与斜面平行.在a中的沙子缓慢流出的过程中,a、b、c都处于静止状态,则( )
图7
A.b对c的摩擦力一定减小
B.b对c的摩擦力方向可能平行斜面向上
C.地面对c的摩擦力方向一定向右
D.地面对c的摩擦力一定减小
答案 BD
解析 设a、b的重力分别为Ga、Gb.若Ga=Gbsinθ,b受到c的摩擦力为零;若Ga≠Gbsinθ,b受到c的摩擦力不为零.若Ga<Gbsinθ,b受到c的摩擦力沿斜面向上,故A错误,B正确.对b、c整体,水平面对c的摩擦力Ff=FTcosθ=Gacosθ,方向水平向左.在a中的沙子缓慢流出的过程中,则摩擦力在减小,故C错误,D正确.
9.如图8所示,斜面上固定有一与斜面垂直的挡板,另有一截面为
圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上,半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间,没有与斜面接触而处于静止状态.现在从O1处对甲施加一平行于斜面向下的力F,使甲沿斜面方向缓慢向下移动.设乙对挡板的压力大小为F1,甲对斜面的压力大小为F2,甲对乙的弹力为F3.在此过程中( )
图8
A.F1逐渐增大,F2逐渐增大,F3逐渐增大
B.F1逐渐减小,F2保持不变,F3逐渐减小
C.F1保持不变,F2逐渐增大,F3先增大后减小
D.F1逐渐减小,F2保持不变,F3先减小后增大
答案 D
解析 先对物体乙受力分析,如图甲所示,由牛顿第三定律可知乙对挡板的压力F1不断减小,甲对乙的弹力F3先减小后增大;再对甲与乙整体受力分析,受重力、斜面的支持力、挡板的支持力和已知力F,如图乙所示.
根据平衡条件,设斜面倾角为θ,甲的质量为M,乙的质量为m,正交分解有
x方向:
F+(M+m)gsinθ-F1′=0
y方向:
F2′-(M+m)gcosθ=0
解得:
F2′=(M+m)gcosθ,保持不变.
结合牛顿第三定律,物体甲对斜面的压力F2不变,故D正确,A、B、C错误.
10.如图9所示,三根细线共系于O点,其中OA在竖直方向上,OB水平并跨过定滑轮悬挂一个重物,OC的C点固定在地面上,整个装置处于静止状态.若OC加长并使C点左移,同时保持O点位置不变,装置仍然处于静止状态,则细线OA上拉力FA和OC上的拉力FC与原先相比是( )
图9
A.FA、FC都减小B.FA、FC都增大
C.FA增大,FC减小D.FA减小,FC增大
答案 A
解析 O点受FA、FB、FC三个力平衡,如图.当按题示情况变化时,OB绳的拉力FB不变,OA绳拉力FA的方向不变,OC绳拉力FC的方向与拉力FB方向的夹角减小,保持平衡时FA、FC的变化如虚线所示,显然都是减小了.
题组3 带电体在电场内的平衡问题
11.(2014·广东·20)如图10所示,光滑绝缘的水平桌面上,固定着一个带电量为+Q的小球P.带电量分别为-q和+2q的小球M和N,由绝缘细杆相连,静止在桌面上.P与M相距L、M和N视为点电荷,下列说法正确的是( )
图10
A.M与N的距离大于L
B.P、M和N在同一直线上
C.在P产生的电场中,M、N处的电势相同
D.M、N及细杆组成的系统所受合力为零
答案 BD
解析 假设P、M和N不在同一直线上,对M受力分析可知M不可能处于静止状态,所以选项B正确;M、N和杆组成的系统,处于静止状态,则系统所受合外力为零,故k
=k
,解得x=(
-1)L,所以选项A错误,D正确;在正点电荷产生的电场中,离场源电荷越近,电势越高,φM>φN,所以选项C错误.
12.一根套有细环的粗糙杆水平放置,带正电的小球A通过绝缘细线系在细环上,另一带正电的小球B固定在绝缘支架上,A球处于平衡状态,如图11所示.现将B球稍向右移动,当A小球再次平衡(该过程A、B两球一直在相同的水平面上)时,细环仍静止在原位置,下列说法正确的是( )
图11
A.细线对带电小球A的拉力变大
B.细线对细环的拉力保持不变
C.细环所受的摩擦力变大
D.粗糙杆对细环的支持力变大
答案 AC
解析 如图甲所示,以细环、细线及小球A组成的整体为研究对象受力分析,整体的重力、杆的支持力、静摩擦力、水平向右的库仑斥力,由平衡可知FN=mAg+m环g,F=Ff,知粗糙杆对细环的支持力不变,再由小球A的受力分析如图乙知,当B球稍向右移动时,由库仑定律知,F增大,Ff增大,小球A的重力不变,它们的合力与细线的拉力等大反向,故由力的合成知当F增大时细线的拉力也增大,综合以上分析知,A、C选项正确.
甲 乙
13.如图12所示,空间正四棱锥型的底面边长和侧棱长均为a,水平