江苏省徐州市届高三春季联考数学试题pdf版.docx

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江苏省徐州市届高三春季联考数学试题pdf版

2020届高三春季联考

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题（第1题〜第14题）、解答题（第15题〜第20题）两部分。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

如需作图，须用2B铅笔绘图、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答題卡祖座鱒上：

1.设全集U=R,集合"={一1,0,1,2,3},B={x\x>2},则.

2.复数丄的虚部是▲.

1-/

3.某校为了解高三同学暑假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6〜8小时内

的人数为▲.

4.

如图是一个算法的流程图，若输入的X的值为1,则输出的S的

5.某校有力,6两个学生食堂，若a,b,c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则三人不在同一个食堂用餐的概率为▲.

6.己知正四棱锥的底面边长是4扼，侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为▲.

7.若将函数f（x）=sin（2x+―）的图象沿x轴向右平移。

（9>0）个单位后所得的图象关于，轴对称，则。

的最小值为▲

8.已知｛%｝为等差数列，其公差为2,且％是％与％的等比中项，S”为

｛%｝前”项和，则乩的值为▲.

22

9.若双曲线与-1=1的一条渐近线与圆C：

（x-1尸+尸=1相交于46两点且

ab

ZACB=90°•则此双曲线的离心率为▲.

■J—y2—3x+4

10.函数y=7'的定义域为▲.

ln（x+l）

11.己知x,yeR,且x>1,若（x-l）®-2）=1,则xy+6x+y+6的最小值为▲.

12.在AABC中，若ABAC=120°,^=2,BC=3,BM=-BC+-BA,

32

则谒.MC=A.

13.己知圆O:

x~+y2=4,直线/与圆。

交于P、Q两点，厶（2,2）,若AP2+AQ2=40,

则弦PQ的长度的最大值为▲.

14.函数/'（X）满足f｛x）=y（x-4）,当xc[-2,2）时，f（x）=^+3^+a,~2^x^a,若函数7（x）

1-x,a

在[0,2020）上有1515个零点，则实数a的取值范围是▲.

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定四域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

已知向量m=（cosx,sinx）,〃=（5^sinx,sinx），函数f（x）=mn■

（1）求函数/（x）的最小正周期.

（2）若ac（0,fX/（y）=^|，求sina的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC-A^C,中，AC1BC,Af是棱CG上的一点.

（1）求证：

BC1AM,

（2）若分别是CG，48的中点,求证：

O〃平面血8】.

17.（本小题满分14分）

如图，某居民区内有一直角梯形区域4BCD,ABHCD,AB1BC,AB=6百米，CD=4百米.该区

域内原有道路AC,现新修一条直道DF（宽度忽略不计），点P在道路/。

上（异于4C两点），ZBAC=-,

6

ZLDPA=e.

（1）用。

表示直道DP的长度；

（2）计划在△4DP区域内修建健身广场，在△CDP区域内种植花草.己知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路0P的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：

万元）.

C

（第17题图）

18.（本小题满分16分）

22冋

在平面直角坐标系xQy中，己知椭圆C:

|?

+^r=l（«>Z>>0）过点（0.1）,椭圆。

的离心率为e=三.

（1）求椭圆。

的标准方程；

（2）如图，设直线/与圆x2+/=r2（l

相切于点B,当r为何值时，线段北长度最大？

并求岀最大值.

（第18题图）

19.（本小题满分16分）

己知函数f（x）=xlnx+a和函数g（x）=lnx-ax.

（1）若曲线7（x）在x=l处的切线过点A（2,-2）,求实数a的值;

（2）求函数h（x）=g（x）+x2的单调区间；

（3）若不等式7（x）+g（x）>0对于任意的x>l恒成立，

求实数a的最大值.

2。

（本小题满分16分）

己知等差数列｛%｝和等比数列｛bn｝的各项均为整数，它们的前n项和分别为S”,

=54,o,+Z,=11.

（1）求数列｛%｝,｛如｝的通项公式；

（2）求=a0]+%方2+%々+•••+」■

求出所有满足条件的m

（3）是否存在正整数m,使得％+"恰好是数列｛%｝或｛如｝中的项?

若存在,

S"+Tm

的值；若不存在，说明理由.

2020届高三春季联考

数学II（附加题）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题〜第23题）。

本卷满分为40分。

考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

21.【选做题】本题包括A,B,C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答。

若多做，则按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.【选修4-2：

矩阵与变换】（本小题满分10分）

a1

_1_

■知二阶矩阵M=

_3b

的特征值2=-1所对应的一个特征向量公=

_-3_

（1）求矩阵Af；

（2）设曲线。

在变换矩阵Af作用下得到的曲线顷的方程为斗=1,求曲线。

的方程.

B.【选修4-4：

坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

己知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线1的极坐标方程为=3\[2.

（1）把直线/的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）己知户为椭圆C：

—+/=1±一点，求户到直线/的距离的最小值.

3

C.【选修4-5:

不等式选讲】（本小题满分10分）

己知实数x,y,z满足x+y+z=2,求2x2+3j2+z2的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

己知A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线C:

x2=2py（p>0）±不同两点.

J1）若抛物线。

的焦点为F,D（x0,y0）^AB的中点，且AF+BF=4+2y0,

求抛物线。

的方程；

（2）若直线加与X轴交于点尹，与*轴的正半轴交于点且师2土,

113

是否存在直线加，使得—+—=—?

若存在，求岀直线加的方程；若不存在，请说明理由.

PAPBPQ

23.（本小题满分10分）

己知数集A=｛ax,a2，--•,an｝,其中0V%

”，且〃Z3,若对F槌

（l

（1）分别判断数集｛0,1,3｝与数集｛0,2,4,6｝是否具有性质户，说明理由；

（2）己知数集,=｛%,。

2,具有性质户，判断数列％,。

2,…,％是否为等差数

列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由.

2020届春季联考数学I参考答案

二、解答题:

15.

（1）/（x）=73sinxcosx+sinx2

=2/ism2x+lz£2£l=sm（2x_£）+l

2262

.-./（x）的最小正周期为〃

:

.sin（a一

10分

、71717171

0

2663

14分

4^/3314^3+3

10

=—x—x—=

16.

（1）在直三.棱柱中，丄平面平面/BCCC；1BC2分

X-.-BC1AC,AC^CC}=C,/Cu平面u平面

.•.BC丄平面ACCT4分

又AMo平面ACCMiBC丄AM6分

（2）取/片的中点为Q,连接N0QM

•.•在&明中，N、Q分另U为如、AB^:

.NQHAB^NQ=^ABX8分

在直三棱柱ABC-4片「中，

BB[〃CC\且明=CCPAf为的中点CMHBB^CM=捉用10分

.\NQ//MCS.NQ=MC/.四边形为平行四边形:

.NC//QM12分

又平面卽u平面.•.CW//平面14分

17.

（1）过点。

作£>£>'垂直于线段,垂足为£>'.

厶

在直角AABC中，因为丄3C,ZBAC=,AB=6,所以BC=2^3.

6

在直角△/£>£>'中，因为AD'=2,DD'=2y/3,所以AD=4,贝\\sinZDAD'=,

故ZDAD'=^,2分

又/及4。

=手，所以ZDAP=^.

66

在△/dp中，由正弦定理得/七，

smdsin手

6

所以皮=色，基展〈法4分

sin。

66

所以Sv。

”

sin。

8分

4sin

一°）

又Svac=§AD・OC・sinZADC=；x4x4sin号=4占.

e

（rf）

2兀T

學著）

尸0）

0

]

2>/3

z

列表:

所以是号时，［/（0）］mn=16V312分

答：

以上三项费用总和的最小值为16右万元14分

V2

18.解：

（1）椭圆方程为—+/=1

（2）设直线/的方程为y=kx+m,因为直线/与圆C：

x2+V2=7?

2（1<7?

<2切于/,

V2

因加与椭恥相切于"

y=kx-\-m

由*

，疽得乂2+4（Ax+m）2=4,

——+y2=1

〔4丿

即（1+4Ar2）x2+8kmx+4m2-4=。

有两个相等的实数解,

则ZI=64&2]6（]+）（m2-1）=16（4Ar2-m2+1）=0,

4

因为危

+圧貝4,当且仅当R=y/2e（1.2）时取等号，所以—4=1,

即当7?

=V2g（1,2）时，丨48|取得最大值，最大值为116分19.解

（1）•.,/'（x）=lnx+l.\/

（1）=1又,.,/

（1）二。

曲线/（X）在X=1处的切线方程为

y-a-x-\'：

切线过点顼2,-2）:

.-2-a-2-l:

.a--33分

（2）h（x）=Xnx-ax^x1的定义域为（0,+oo）

力'（x）二尹——=0贝收2一锻+1=0令小=a2-8

（I）^A=a2-8<0^-2y/2

h（x）>0.\函数7z（x）的单调增区间为：

（0,+oo）5分

（||）当△=疽_8>°即ov-2很或。

>2扼时，

2妒—锻+1=0有两个不等的实数根也=。

-8=。

+"8

44

当o<—2时，工]<0,冬<。

二力（x）>0,

函数力0）单调增区间为（0,+8）7分

当1>2很时，>0,x2>0,

令力'（X）>0,贝1|0x2

令力'（乂）<0,则T]

h（x）单调递增区间为（0,三S）,"+^^,+3、

k丿

仲0单调递减区间为（a—4^a+4^i）9分

（3）令F（x）=f（x）+g（x）=x\nx+lnx-ax+a,

则F（x）=Inx+—+1-a

x

记°（x）=lnx+丄+1—々，则（p{x）=—一-二土">0,所以戶'（乂）在（l,+oo）上单调递增,

XXXX

故F（x）>F

（1）=2-a

当a<2,F'（x）>0,故戶G）在（1,+8）上单调递增，

所以戶（x）〉戶

（1）=0,符合题意11分

当a〉2时，F'（x）=l+4r>0,故F'（efl）F'（l）<0,13分又戸（X）在（1,+3）上单调递增，所以存在唯一的实数xoG（1,+00）,使得F'（xo）=o,

列表如下:

X

（1,^0）

■To

（■TO,+co）

F'Cz）

—

0

+

F（x）

极小值

z

则当xg（1,x0）时，F（jc）

（1）=0,这与戶（x）〉O恒成立矛盾15分

综上，实数。

的最大值为2.（16分）16分20.解：

（1）设数列｛a”｝的公差为d,数列｛/>”｝的公比为g.

所以《二2〃T也二2・3心

4分

因为b、—2%=2,b2S3=54,a2+T2=11,

（2）Mn二叩]+%。

2+。

3“3aJ｝n=1x2+3x2x3+5x2x32h（2n-l）x2x3n_1

3"=1x2x3+3x2x3。

+・..+（2”3）x2x3”t+（2〃—1）x2x3”

所以—2M”=2+4（3+32+...+3”T）—（2"—I）x2x3”=—4一（4"—4）・3"6分

所以M”=2（〃—1）・3"+2

8分

（3）由

（1）可得S"="2,t;=3"-1.

所以头冬顼3必

Sm+Trn--l+3m

10分

因为__是数列｛a｝或｛方｝中的一项，所以_—=L丄*谯+4mT+3

所以（乙1）（〃/1）=（3—£）3m,因为m~-l>0,3m>0

12分

所以1

，2八2-1

当乙=2时，有即_1）=3〃,即%1]=1,4/伽）=%^,

tZ./1、〃\3+1）2-1彻2_]2/7?

2—2/77—3

则+=戸二———

当初二1时，/

（1）

（2）;当秫>2时，f（m+l）-f（in）<07

即/'

（1）<_/■⑵>/（3）>/（4）>••-

-12]

由/

（1）=0,/

（2）=-,知%-=1无整数解14分

2_1Iq〃+l

当L=3时，有nr-1=0,即存在初=1使得_=3,是数列｛%｝中的第2项,

初—1+3

7+7

16分

故存在正整数初=1,使得弋_骨是数列｛%｝中的项

m+m

2020届春季联考数学II（选修）参考答案

【选做题】在A,B,C四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分.解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

（1）由

a1

一1_

二-lx

一］一

得<

a-3=-1

，即

_3b_

-3

-3

3-3b=3

21A解:

a—2

b-Q

.-.M=

（2）设曲线。

上一点P（x,y）在矩阵"的作用下的到点P（RV）,则点P在曲线。

'上o

~2r

X

即V

30

_y_

x'=2x-\-y

y=3x

又x'y=i

（2x+y）x3x=l【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

即psin0-pcos0=6,

所以直线/的直角坐标方程为—>+6=0；

（2）P为椭圆。

：

：

+/2=l上一点，设P（V3cosa,sina）,其中ag[0,2ti）,

Ir《I12cos（a+—）+61

则户到直线/的距离"J3cos「sma+6」、6丿'

21C.证明：

由柯西不等式可知

V2x+^-^+1-z）2<[（4=^2+（45）2+12]（2x2+3j2+z2）

J3J2V3

22.解：

（1）由抛物线的定义得AF+BF=y｝+y2+p

=2y0+p=4+2y0:

.p=A2分

所求抛物线方程为=8j.4分

（2）由题意得加的斜率存在设48:

y=kx+m（k丰0,m>0）

y=kx+m

•v2=2py

=^>x-2pkx—2pm=0X]+&=2pkx1x2=-2pm

2n2p2

•■-y^2=m=—=jy}+y2=2pk+2m

11丝=3••告IF，…&分

1=1—

PAPBPQPAPB

作AAJx轴，BB，丄x轴，垂足为A',B，,

m（2pk2+2w）p>*p）后+}

=3

4

.•.后=丄.3=±丄•.存在直线48：

y=土丄x+巴符合题意io分

4222

23.解：

（I）由于3-1和3+1都不属于集合｛0,1,3｝,

所以该集合不具有性质户；2分

由于2+0、4+0、6+0、4+2、6-2、6-4、0-0,

2—2、4-4,66都属于集合｛o,2,4,6｝,

所以该数集具有性质P4分

（II）力二｛/也，…，％｝具有性质尸，所以％+%与。

8-％中至少有一个属于刀，

由0

8+%>%，故％+%W』，0二％一%C』，故。

1=0.

0二qv%v•••v%,.•.%+&>%,故％+&金A（k=2,3/--,8）.

由A具有性质户知,%&GA（k=2,3/--,8）,又,「％一%<%—缶<•••<%一%<%一/,

％一%二/,%一缶二%=缶，％—,二％，即%+二%（'=1,2’.・,8）

①6分

由％+缶二％知，％+缶，％+。

7，…，，缶+缶均不属于』，

由』具有性质户，％一%,a7-a4,…，，a7-a7均属于』，

Q7—Q7＜。

7—。

6＜,*、＜。

7—。

4＜。

7—＜%—。

3'而％—=6，

:

.缶_缶=0,-a6-a2,-a5-a3,•••,a7-a3=a5ipa.+a8_.=a7（z=1,2,••-

②8分

由①②可知ai二％一二%-（缶一0—1）（/=12••・,8）,

即ai-q_i二%一缶（/=2,3’•・,8）.

故构成等差数列10分