思维升华 确定函数单调性的方法：
（1）定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；
（2）复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；（3）图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．
跟踪训练1
（1）下列函数中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0”的是（ ）
A．f（x）＝2xB．f（x）＝|x－1|
C．f（x）＝
－xD．f（x）＝ln（x＋1）
答案 C
解析 由（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0可知，f（x）在（0，＋∞）上是减函数，A，D选项中，f（x）为增函数；B中，f（x）＝|x－1|在（0，＋∞）上不单调；对于f（x）＝
－x，因为y＝
与y＝－x在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）在（0，＋∞）上是减函数．
（2）函数f（x）＝（a－1）x＋2在R上单调递增，则函数g（x）＝a|x－2|的单调递减区间是______________．
答案 （－∞，2]
解析 因为f（x）在R上单调递增，所以a－1>0，即a>1，因此g（x）的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间（－∞，2]．
（3）函数f（x）＝|x－2|x的单调递减区间是________．
答案 [1,2]
解析 f（x）＝
画出f（x）图象，
由图知f（x）的单调递减区间是[1,2]．
题型二 函数的最值
1．函数y＝
的值域为____________．
答案 [－1,1）
解析 由y＝
，可得x2＝
.
由x2≥0，知
≥0，解得－1≤y<1，
故所求函数的值域为[－1,1）．
2．函数y＝x＋
的最大值为________．
答案
解析 由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.
可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，
则y＝cosθ＋sinθ＝
sin
，θ∈[0，π]，
所以－1≤y≤
，
故原函数的最大值为
.
3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
答案 [3，＋∞）
解析 函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞）．
4．函数y＝
的值域为________________．
答案 {y|y∈R且y≠3}
解析 y＝
＝
＝3＋
，
因为
≠0，所以3＋
≠3，
所以函数y＝
的值域为{y|y∈R且y≠3}．
5．函数f（x）＝
x－log2（x＋2）在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案 3
解析 由于y＝
x在[－1,1]上单调递减，y＝log2（x＋2）在[－1，1]上单调递增，所以f（x）在[－1,1]上单调递减，故f（x）在[－1,1]上的最大值为f（－1）＝3.
6．若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（ ）
A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
答案 B
解析 方法一 设x1，x2分别是函数f（x）在[0,1]上的最小值点与最大值点，
则m＝x
＋ax1＋b，M＝x
＋ax2＋b.
∴M－m＝x
－x
＋a（x2－x1），
显然此值与a有关，与b无关．故选B.
方法二 由题意可知，函数f（x）的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而（M＋k）－（m＋k）＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.
思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路
（1）单调性法：
先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
（2）图象法：
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
（3）换元法：
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
（4）分离常数法：
形如求y＝
（ac≠0）的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
（5）基本不等式法：
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）<0恒成立，设a＝f
，b＝f
（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c>a>bB．c>b>a
C．a>c>bD．b>a>c
答案 D
解析 根据已知可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在（1，＋∞）上是减函数，因为a＝f
＝f
，且2<
<3，所以b>a>c.
命题点2 解函数不等式
例4（2018·四川成都五校联考）设函数f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）内是增函数，又f（－3）＝0，则f（x）<0的解集是（ ）
A．{x|－33}
B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3答案 B
解析 ∵f（x）是奇函数，f（－3）＝0，
∴f（－3）＝－f（3）＝0，解得f（3）＝0.
∵函数f（x）在（0，＋∞）内是增函数，
∴当03时，f（x）>0.
∵函数f（x）是奇函数，∴当－30；
当x<－3时，f（x）<0.
则不等式f（x）<0的解集是{x|0命题点3 求参数的取值范围
例5
（1）（2018·全国Ⅱ）若f（x）＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D．π
答案 C
解析 ∵f（x）＝cosx－sinx＝－
sin
，
∴当x－
∈
，即x∈
时，
y＝sin
单调递增，
f（x）＝－
sin
单调递减，
∴
是f（x）在原点附近的单调减区间，
结合条件得[0，a]⊆
，
∴a≤
，即amax＝
.
（2）已知函数f（x）＝
若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案 （1,2]
解析 由题意，得12＋
a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a（x>1）是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1（3）（2018·安徽滁州中学月考）已知函数f（x）＝log2（x2－ax＋3a）在[2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是______________．
答案 （－4,4]
解析 设g（x）＝x2－ax＋3a，根据对数函数及复合函数的单调性知，g（x）在[2，＋∞）上是增函数，且g
（2）>0，∴
∴－4∴实数a的取值范围是（－4,4]．
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
（1）比较大小．
（2）解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
（3）利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2
（1）如果函数f（x）＝
满足对任意x1≠x2，都有
>0成立，那么a的取值范围是________．
答案
解析 对任意x1≠x2，都有
>0，
所以y＝f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数．
所以
解得
≤a<2.
故实数a的取值范围是
.
（2）已知函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f（2x－1）的x的取值范围是______________．
答案
解析 因为函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的增函数，且满足f（2x－1），
所以0≤2x－1<
，解得
≤x<
.
1．下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（ ）
A．y＝ln（x＋2）B．y＝－
C．y＝
xD．y＝x＋
答案 A
解析 函数y＝ln（x＋2）的增区间为（－2，＋∞），所以在（0，＋∞）上一定是增函数．
2．已知函数f（x）＝
，则该函数的单调递增区间为（ ）
A．（－∞，1]B．[3，＋∞）
C．（－∞，－1]D．[1，＋∞）
答案 B
解析 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在（－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．
3．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A．f（π）>f（－3）>f（－2）B．f（π）>f（－2）>f（－3）
C．f（π）答案 A
解析 因为f（x）是偶函数，
所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f
（2）．
又因为函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
所以f（π）>f（3）>f
（2），
即f（π）>f（－3）>f（－2）．
4．已知函数f（x）＝
当x1≠x2时，
<0，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 当x1≠x2时，
<0，
∴f（x）是R上的减函数．
∵f（x）＝
∴
∴0.
5．设f（x）＝
若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．[－1,2]B．[－1,0]
C．[1,2]D．[0,2]
答案 D
解析 ∵当x≤0时，f（x）＝（x－a）2，f（0）是f（x）的最小值，∴a≥0.当x>0时，f（x）＝x＋
＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f（0）是f（x）的最小值，需2＋a≥f（0）＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.
∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
6．已知函数f（x）＝
则“c＝－1”是“函数f（x）在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若函数f（x）在R上单调递增，
则需log21≥c＋1，即c≤－1.
由于c＝－1，即c≤－1，但c≤－1不能得出c＝－1，
所以“c＝－1”是“函数f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件．
7．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝－f
，b＝f
，c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为________________．
答案 a>b>c
解析 ∵f（x）在R上是奇函数，
∴a＝－f
＝f
＝f（log25）．
又f（x）在R上是增函数，
且log25>log24.1>log24＝2>20.8，
∴f（log25）>f（log24.1）>f（20.8），∴a>b>c.
8．如果函数f（x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上单调递增，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 当a＝0时，f（x）＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在（－∞，4）上单调递增；当a≠0时，二次函数f（x）的对称轴为x＝－
，因为f（x）在（－∞，4）上单调递增，所以a<0，且－
≥4，解得－
≤a<0.
综上，实数a的取值范围是
.
9．记min{a，b}＝
若f（x）＝min{x＋2,10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为________．
答案 6
解析 由题意知，f（x）＝
易知f（x）max＝f（4）＝6.
10．设函数f（x）＝
若函数y＝f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
答案 （－∞，1]∪[4，＋∞）
解析 作函数f（x）的图象如图所示，
由图象可知f（x）在（a，a＋1）上单调递增，
需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4.
11．已知f（x）＝
（x≠a）．
（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）上单调递增；
（2）若a>0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围．
（1）证明 当a＝－2时，f（x）＝
.
设x1则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
因为（x1＋2）（x2＋2）>0，x1－x2<0，
所以f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增．
（2）解 设1则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
因为a>0，x2－x1>0，所以要使f（x1）－f（x2）>0，
只需（x1－a）（x2－a）>0恒成立，
所以a≤1.综上所述，012．（2018·河南南阳一中月考）设函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R），F（x）＝
（1）若f（－1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求F（x）的解析式；
（2）在
（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解
（1）∵f（－1）＝0，∴b＝a＋1.
由f（x）≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2≤0，∴a＝1.
从而f（x）＝x2＋2x＋1.
∴F（x）＝
（2）由
（1）可知f（x）＝x2＋2x＋1，
∴g（x）＝f（x）－kx＝x2＋（2－k）x＋1，
由g（x）在[－2,2]上是单调函数，知－
≤－2或－
≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为（－∞，－2]∪[6，＋∞）．
13．已知函数f（x）＝
若f（2－x2）>f（x），则实数x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C．（－1,2）D．（－2,1）
答案 D
解析 ∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，
∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x≤0时，函数f（x）＝x3为增函数，当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）也是增函数，∴函数f（x）是定义在R上的增函数．因此，不等式f（2－x2）>f（x）等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－214．已知f（x）＝
不等式f（x＋a）>f（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，－2）
解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，
∴该函数在（－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在（0，＋∞）上单调递减，
∴－x2－2x＋3<3，∴f（x）在R上单调递减，
∴由f（x＋a）>f（2a－x）得到x＋a<2a－x，
即2x∴2（a＋1）∴实数a的取值范围是（－∞，－2）．
15．已知函数f（x）＝2020x＋ln（
＋x）－2020－x＋1，则不等式f（2x－1）＋f（2x）>2的解集为____________．
答案
解析 由题意知，f（－x）＋f（x）＝2，∴f（2x－1）＋f（2x）>2可化为f（2x－1）>f（－2x），又由题意知函数f（x）在R上单调递增，∴2x－1>－2x，∴x>
，∴原不等式的解集为
.
16．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）是增函数，f
（1）＝0，f（3）＝1.
（1）解不等式0（2）若f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈（0,3]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
解
（1）由
得
.
∴原不等式的解集为（－2，－
）∪（
，2）．
（2）∵函数f（x）在（0,3]上是增函数，
∴f（x）在（0,3]上的最大值为f（3）＝1，
∴不等式f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈（0,3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1,1]恒成立．
设g（a）＝－2ma＋m2，a∈[－1,1]，
∴需满足
即
解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m＝0，
即实数m的取值范围为（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）．
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