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普通高等学校招生全国统一考试全国I卷及参考答案

2021年普通高等学校招生全国统一测试（全国I卷）

理科数学

一、选择题：

此题共12小题,每题5分洪60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.

1.集合A={x|x<1},B={x3x<1},那么（）

A.AQB=：

xx<0?

b.AUB=RC.A|jB=[xx.1）d.AHB=

【解析】A=

{xx<1},B={x|3x<1}={xx<0}.\ApB={x|x<0},AlJB={xx<1},选A

2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于

正方形的中央成中央对称,在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是（

A.一

兀

B.-

1C.-

兀

D.—

【解析】设正方形边长为2,那么圆半径为1那么正方形的面积为2M2=4,圆的面积为启12

兀,图中黑色部

分的概率为』那么此点取自黑色局部的概率为2

3.设有下面四个命题（）

P1：

假设复数z满足—uR,那么z三R;P2:

假设复数z满足

zzWR,那么z1=z2；P4:

假设复数zWR,那么一zWR.

z2wR,那么zWR;P3:

假设复数

Zi,z2满足

A.Pi,P3

B.P1,P4

C.P2,P3

D.P2

„,11a-bi

【解析】①：

设z=a+bi,那么—二=-2=R得到b=0,所以zWR.故P1正确;

zabiab

P2：

假设Z2=—1,满

足z2ER,而z=i,不满足z2WR,故P2不正确；P3：

假设乙=1,z2=2,那么取2=2,满足取2wR,而

它们实部不相等,不是共轲复数,故P3不正确；

P4：

实数没有虚部,所以它的共轲复数是它本身,也属于实数,故P4正确；

4.记Sn为等差数列

A.1

Q}的前n项和,假设a4+a5=24,S=48,那么匕口}的公差为（）

B.2C.4D.8

【解析】

____65

a4+a5=a[十3d+a〔+4d=24S6=6&+d=48联立求得

j2a1+7d=24①[6a115d=48②

①父3—②得（21—15户=246d=24：

d=4选C

5.函数

是（

f（x）在（-00,十°°

）A.1-2,2】

）单调递减,且为奇函数.假设f

（1）=-1,那么满足-1&f（x-2）<1的x的取值范围

C.b,4]

【解析】由于f（x）为奇函数,所以f（―1）=-f

（1）=1,于是—14f（x—2丹1等价于

f（1月f（x-2尸f（—1）|又f（x）在（.\+8坤调递减.-.-Kx-2<1,1WxW3应选D

16一一,.c

6.12+x〕展开式中x2的系数为

A.15

【解析】1+

B.20

661

x=11xF

C.30

662

（1+x/〞1+x）的x2项系数为C2=

D.35

——=15

对m<1+x6的x2项系数为C6=15,x2的系数为15+15=30应选C

正方形的边

.某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成

这些梯形的面积之和为

长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形

A.10

【解析】由三视图可画出立体图

C.14

D.16

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面

S梯=〔2+4J<2-2=6电梯=6父2=12应选B

两个空白框中,

.右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在O和

可以分别填入

1输出打/

A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.AW1000和n=n+1D.Aw1000和n=n+2

解由于要求A大于1000时输出,且框图中在“否〞时输出,«<二>"中不能输入A>1000

排除A、B又要求n为偶数,且n初始值为0,中n依次加2可保证其为偶应选

9曲线G：

y=cosx,C2：

y=sin

2X型

2X3

那么下面结论正确的选项是〔〕

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的

2倍,纵坐标不变

再把得到的曲线向右平移

工个单位长度,得到曲线6

B.把C上各点的横坐标伸长到原来的

2倍,纵坐标不变

再把得到的曲线向左平移

万个单位长度,得到曲线

_1.、一,一,r兀*、,,、,•一,r

C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的万倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移吊个单位长度,得到曲线

D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的

TT,i

2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移五个单位长度,得到曲线

【答案】D

2兀

【解析】G：

y=cosx,C2:

y=sinI2x一

首先曲线Ci、C2统一为一三角函数名,可将Ci：

y=cosx用诱导公式处理.

y=cosx=cos.x+]—2J=sin.x+2卜横坐标变换需将切=1变成@=2,

fc[上各点横坐标缩短它原来1fyf\

即y=sin!

x21y=sinl2x—=sin2lx»

.2.24

2兀兀

——y=sin!

2x—=sin2!

x—.

3.3

注意切的系数,在右平移需将曰=2提到括号外面,这时x+」平移至x+」,

43,

根据“左加右减〞原那么,“x才到“x;需加上if,即再向左平移12

9.F为抛物线C:

y2=4x的交点,过F作两条互相垂直li,I2,直线li与C交于A、B两点,直线I2

与C交于D,E两点,AB十DE的最小值为〔〕

A.i6

【答案】A【解析】

B.i4

C.i2

D.i0

设AB倾斜角为9.作AKi垂直准线,AK2垂直x轴

af|cos6+|GF|=AKi〔几何关系〕

易知?

AKi|=AF|〔抛物线特性〕

GP=P—.1—P]=P

|af|cose+p=af同理|af|=—

i-cos二

icos二

：

AB二与,

22'

i-cos二sinf

一.一兀,n

又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为鼻十日

DE_2P_2P

sin2,三十g]cos28而y2=4x,即P=2.

1.2c.

sin2-i

...ABDE=2P-—^-=4sin]cos'=-2.42

sin2271

sin1cos【sin?

coS二sinicos二

.TT

>16,当日=—取等号4

即|AB[DE最小值为16,应选A

10.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,那么0

A.2x：

：

3y：

：

；5zB.5z：

：

2x：

：

3yC.3y：

：

5z：

：

；2xD.3y：

：

2x：

：

【答案】D

xln33

【答案】取对数：

xln2=yln3=ln5.—=——>-2x>3y

yln22

一.xln55

xln2=zln5贝U—=——<-:

2x<5z:

3y<2x<5做选D

zln22

11.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

数列

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项为哪一项20,接下来的两项是20,21,在接下来的三项式26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数N：

N>100且该数列的前N项和为2的整数哥.那么该款软件的激活码是〔〕

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.

设第n组的项数为n,那么n组的项数和为也已〕

由题,N>100,令叱+n〕>100fn>14且nwN*,即N出现在第13组之后2

第n组的和为=2n—1n组总共的和为41-2〕_n=2n_2.n

假设要使前N项和为2的整数哥,那么N—n-^项的和2k-1应与-2-n互为相反数

即2k-1=2+n〔kWN*,n>14〕k=log〔n+3

fn=29,k=5那么n=29*'12'5=440应选A

二、填空题沐题共4小题,每小:

5分,:

20分.

12.向量1,b的夹角为60°,a=2,b'=1,那么a+2b=.

【答案】2.3

[角军析】：

+2b2=〔：

+2：

〕2=|：

'2+22bcos60口+〔2b〕=22+2父2M2M；+22=4+4+4=12

.•・a+2b=屈=2点

13.设x,y满足约束条件

_|_x2y<1

不等式组W2x+y2」表示的平面区域如下图

x-yM0

由z=3x—2y得y=?

x,求z的最小值,即求直线y=-x--的纵截距的最大值

2222

当直线y=|x—|过图中点A时,纵截距最大

2xy--1

由J解得A点坐标为（―1,1）,此时z=3x（—1）—2父1=-5

x2y=1

14.双曲线C:

-,（a>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C

的一条渐近线交于M,N两点,假设/MAN=600,那么C的离心率为

如图,OA=a,AN=|AM|=b

•••/MAN=60°,AP=

OP=JOA『T|PA『

a2-3b2

tan二二

—b

a2-3b2

又•:

tan二=

「723

••e=

15.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中央为O,D、E、F为元O上的点,ADBC/ECA/FAB分别是一BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以

BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合彳导到三棱锥.当△ABC的边长

变化时,所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为.

【答案】415

【解析】由题,连接OD,交BC与点G,由题,OD_LBC

3Q………、…r

OG=—BC,SPOG的长度与BC的长度或成正比

设OG=x,那么BC=2.3x,DG=5-x

三棱锥的高h=、；DG2-OG2=125-10xx2-xf25-10x

-1—0-19._

SaABC=2g3x=343x2,那么V=-SAabch=43x2,拉5—10x=第；25x4-10x5

令fx=25x4-10x5,x（0,5）,fx=100x3-50x4

令f'（x）>0,即x4-2x3<0,x<2,那么f（x尸f

（2）=80

那么VW73M闻=45,：

体积最大值为4#5cm3

17-21题为必'考题,每个试题考

3sinA

解做题：

共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

〔一〕必考题：

共60分.

16.4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,4ABC的面积为

（1）求sinBsinC；

（2）假设6cosBcosC=1,a=3,求AABC的周长.

【解析】此题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等根底知识的综合应用

a21...

（1）.AABC面积S=.且S=-bcsinA

3sinA2

a21232A

..=—bcsinA,a=-bcsinA

3sinA22

23_2

..由正弦7E理得sinA=—sinBsinCsinA,2

「2

由sinA#0得sinBsinC=—.

321

（2）由

（1）得sinBsinC=一,cosBcosC=—,/A+B+C=k

cosA=cos（u-B-C）=—cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC=—

又.—=（0,n）,：

A=60,sinA=—,cosA=—

由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9①

由正弦定理得b=-a—sinBc=—a—sinCsinA,sinA

2.a

…bc=-2—sinBsinC=8②

sin2A

由①②得b+c=V33a+b+c=3+7^3即^ABC周长为3+V33

17.（12分）

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD中,且/BAP=/CDP=90..

（1）证实：

平面PAB,平面PAD;

（2）假设PA=PD=AB=DC,ZAPD=902求二面角【解析】

（1）证实：

.一/BAP=/CDP=90.

PA_AB,PD_CD

又•:

ABIICD,.二PD_LAB

又•:

PDI^PA=P,PD、PAU平面PAD

AB_L平面PAD,又ABU平面PAB

••・平面PAB_L平面PAD

（2）取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE

•••AB起CD

••・四边形ABCD为平行四边形

A-PB-C的余弦值.

OE.ZAB

由

（1）知,AB_L平面PAD

OE_L平面PAD,又PO、ADU平面PAD

OE_PO,OE_AD

又「PA=PD,.•.PO_AD

PO、OE、AD两两垂直

以O为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系O-xyz

-I

=2,,•,D（W2,0,0）、B（e,2,0卜P（0,0,&）、C（-V2,2,0

=（/,0,—J2）、PB=（J2,2,—J2）、BC=（-2&,0,0）

（x,y,z）为平面PBC的法向量

PB=02x2y-.2z

-,得_

BC=0-2.2x=0

令y=1,那么z=J2,x=0,可得平面PBC的一个法向量n=（0,1,五）

•••幺PD=90；.PD_LPA

又知AB_L平面PAD,PD仁平面PAD

•PD_AB,又PAriAB=A

PD_L平面PAB

—T!

-l

即pd是平面PAB的一个法向量,PD=（t/2,0,72）

cosPD,n

3由图知二面角A-PB弋为钝角,所以它的余弦值为-出

18.（12分）

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量

其尺寸（单位：

cm）.根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态2

分布N（N,仃）.

（1）假设生产^态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（N-3仃,卜+3仃）之外的零件

数,求P（X>1/X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在（N-3仃,N+3仃）之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：

（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

16~r~^21~16

经计算得x=£Xi=9.97,s=—£（x-x）=J—^2-16x2L0.212,其中x为抽取的第i个i1:

16-;16

零件的尺寸,i=1,2,HI,16.

用样本平均数x作为N的估计值巴用样本标准差s作为.的估计值口,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除（？

-3仅,？

+39）之外的数据,用剩下的数据估计N和.（精确到

0.01）.

附:

假设随机变量Z服从正态分布N（N,仃2）,那么P（R—3j

0.99740.9592,.,0.0080.09.

【解析】

（1）由题可知尺寸落在（H一3仃,R+3ct）之内的概率为0.9974落在（N—30,卜+3仃）之外的概率为0.0026

P（X=0产C；6（1-0.997400.997416之0.9592

PX_1=1-PX=0：

1-0.9592=0.0408

由题可知X~B06,0.0026）,E（X）=16父0.0026=0.0416

（2）（i）尺寸落在（N—3仃,N+3.）之外的概率为0.0026

由正态分布知尺寸落在（N-3仃,N+3.）之外为小概率事件,

因此上述监控生产过程的方法合理.

（ii）

''-3'-9.97-30.212=9.334

.二+3；.--9.9730.212=10.606（N—3仃,N+3.）=（9.334,10.606）

79.22正（9.334,10.606）,二需对当天的生产过程检查

因此剔除9.22

99716-922剔除数据之后:

二二9.22:

10.02.

222222

二二[9.95-10.02i「10.12-10.02i「9.96-10.02i「9.96-10.02ir10.01-10.02

22222

9.92-10.02ir998-10.02：

i何10.04-10.02）-1：

10.26-10.02：

i）：

9.91-10.02

口

22222

10.13-10.02iF10.02-10.02i-[10.04-10.02iF10.05-10.02if9.95-10.02]

■0.008

19.（12分）

椭圆c：

a2b2

=1（a>b>0）,四点R（1,1）,P2（0,1）,P31—1,咚j,P4\-

中恰有三点在

椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过B点且与C相交于A、B两点,假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为_1,证实：

l过定点.

【解析】

（1）根据椭圆对称性,必过P3、P4

又R横坐标为1,椭圆必不过P,所以过B,P3,P4三点

3点）,

将2（0,1）,月.-1,三代入椭圆方程得

「1

3,解得a2=4,b2=1,

_L+Z_1

~十尸—1

且b

.♦・椭圆C的方程为：

—+y2=1.

（2）①当斜率不存在时,设l：

x=m,A（m,yA）,B（m,-yA）kP2AkP2B=7

得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.

②当斜率存在时,设l：

y=kx+b（b01）

A.,y1}B4,y2）

y=kx»b„

联立422,整理得（1+4kJx+8kbx+4b—4=0

x24y2-4=0

XiX2=

-8kb

4b2-4

那么kP2AkPB二"二三Jkx1b-X2x14b^1

22x1x2xx2

8kb2-8k-8kb28kb

14k24b2-4

8kb-1

J=-1,又b#1

4（b+1'（b—1）乂b।

14k

=b=-2k-1,此时A=-64k,存在k使得△:

>0成立.

・,・直线l的方程为y=kx—2k—1

当x=2时,y=-1,所以l过定点（2,-1）.

20.（12分）

函数fx=ae2x,a-2ex-x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）假设f（x冶两个零点,求a的取值范围.

【解析】

（1）由于f（x）=ae2x+（a-2px-x

故fx）=2ae2xa-2ex-1=]aex-12ex1

①当a宅0时,aex_1<0,2ex十1>0.从而f'（x户0恒成立.

f（x）在R上单调递减

②当a>0时,令f[x）=0,从而aex_1=0,得x=—lna.

（-℃,—lna）

-lna

（—lna,+°o）

f（x）

—

f（X）

单调减

极小值

单调增

综上,当aE0时,f（x）在R上单调递减；

当a>0时,f（x）在（-℃,-lna）上单调递减,在（-lna,收）上单调递增

（2）由

（1）知,

当aM0时,f（x）在R上单调减,故f（x）在r上至多一个零点,不满足条件.

当aA0时,fmin=f（-lna）=1——十lna.

令ga=1

令gai-1-

—lna.

111

-+lnaa>01那么g'（a）==十一>0.从而ga用（.,+如）上单倜增,而aaa

（1）=0.故当

a>1,那么fmin

a=1,那么fmin

二1一一Ina

=1——Ina

=g（a）>0,故f（x）>0恒成立,从而f（x）无零点,不满足条件.

=0,故f（x）=0仅有一个实根x=—lna=0,不满足条件.

1aa2

fmin=1+lna<0,注息到一lna>0.f（_1+1—>0

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