交BC于点E，GF∥AD交CD于点F.当CE＝CD时，将四边形CEGF绕点C在平面内自由旋转，请在图②中作出线段BE的长为最大值时的图形.
第8题图
9.如图①，在正方形ABCD中，点M是对角线AC的中点，点E，G分别为边BC，AB的中点.以BE，BG为邻边，在正方形ABCD内作正方形BEFG，点F和点M恰好重合，连接CG，EG，点P，N分别为CG，EG的中点.把正方形BEFG绕点B在平面内自由旋转，请在图②中作出PM＋PN的值最大时的图形.
第9题图
10.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，过点D作DE⊥AB交BC于点E，点F是AE的中点.将△BDE绕点B逆时针旋转一周，若BC＝2BE，请分别在图②、图③中作出当BF的长为最大值和最小值时的图形.
第10题图
11.如图①，在Rt△ABC和Rt△BDF中，∠ABC＝∠FBD＝90°，AB＝BC，BF＝BD，且AB＝2BD，点E为线段AB的中点，连接AD，M是AD的中点，连接BM.把△BDF绕点B在平面内自由旋转，请在图②③中，作出CM的长为最大值和最小值的图形.
第11题图
类型一图形旋转、平移和折叠引起的探究
针对演练
（2013、2015～2019.22）
1.现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N.如图①，若点O与点A重合，容易得到线段OM与ON的关系.
（1）观察猜想
如图②，若点O在正方形的中心（即两条对角线的交点），OM与ON的数量关系是 ；
（2）探究证明
如图③，若点O在正方形的内部（含边界），且OM＝ON，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成什么图形，并说明理由；
（3）拓展延伸
若点O在正方形的外部，且OM＝ON，请你在图④中画出满足条件的一种情况，并就“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O所组成的图形”，写出正确的结论.（不必说明理由）
第1题图
2.（2019新乡模拟）在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD的中点，连接MN、NF.
问题提出：
（1）如图①，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为 ，线段MN和线段NF的数量关系
为 ；
深入讨论：
（2）如图②，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；
拓展延伸：
（3）如图③，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为 Ｗ.
第2题图
3.（2019南阳模拟）
（1）【问题发现】
如图①，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 ；
（2）【拓展研究】
在
（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？
仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长.
第3题图
备用图
4.（2019襄阳）
（1）证明推断：
如图①，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.
①求证：
DQ＝AE；
②推断：
的值为 ；
（2）类比探究：
如图②，在矩形ABCD中，＝k（k为常数）.将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：
在
（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长.
第4题图
针对演练
类型二图形形状变化引起的探究
1.（2019信阳模拟）
（1）观察猜想
如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为 ；
（2）问题解决
如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；
（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长.
第1题图
2.规定：
有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形.
（1）问题猜想
如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM′P′N′，连接BM′，DN′交于点O，则BM′与DN′的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）类比探究
如图②，将
（1）中的正方形换成菱形，∠BAD＝∠MAN＝60°，其他条件不变，则
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图③，将
（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形，旋转角换成α（90°<α<180°），其他条件不变，请直接写出BM′与DN′的数量关系和位置关系.
第2题图
3.发现问题
（1）如图①，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C＝∠F＝90°，AB＝DE＝2，现如图放置，连接AE，则∠ABE＝ °，AE＝ ；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，AH⊥BC于点H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为点M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由；
拓展延伸
（3）如图③，在△ABC中，AH⊥BC于点H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC外作正方形ABME和正方形ACNF，连接EF交射线HA于点G，若AG＝5，请直接写出EG的长.
第3题图
4.在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.
【观察猜想】
（1）如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；
【探究证明】
（2）如图②，当α＝90°时，
（1）中的结论是否依然成立？
若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在
（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝2，请直接写出△BDE的面积.
第4题图
针对演练
类型三动点引起的探究
1.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE.
（1）问题发现
如图①，当点D在BC边上（不与点B、C重合）时，请直接写出∠BCE的度数；
（2）类比探究
如图②，当点D在线段BC的延长线上时，请问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
如图②，在
（2）的条件下，连接ED并延长，交AC的延长线于点F，若AC＝4，AD＝6，请直接写出线段CF的长.
第1题图
2.如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC所在直线上一动点，连接AD，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，试探究AD与DE的数量关系.
（1）问题发现
如图①，当点D为BC的中点时，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接填空：
△DCE≌ ，AD与DE的数量关系是 ；
（2）类比探究
如图②，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时，试探究AD与DE之间的数量关系，并写出推理过程；
（3）拓展延伸
当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积.
第2题图
3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A、B的对应点分别为A′、B′），射线CA′、CB′分别交直线m于点P、Q.
（1）问题发现：
如图①，若P与A′重合时，则∠ACA′的度数为________；
（2）类比探究：
如图②，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）拓展延伸：
在旋转过程中，当点P、Q分别在CA′、CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值？
若存在，直接写出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由.
第3题图
4.（2019南阳模拟）已知在△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM
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