函数基础知识复习.docx

函数基础知识复习.docx

《函数基础知识复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数基础知识复习.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

函数基础知识复习

　函数及其表示基础知识梳理

1．函数的基本概念

（1）函数的定义：

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：

y＝f（x），x∈A.

（2）函数的定义域、值域

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．

（3）函数的三要素：

定义域、值域和对应关系．

（4）相等函数：

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．

2．函数的三种表示方法

表示函数的常用方法有：

解析法、列表法、图象法．

3．映射的概念

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射．

另：

求复合函数y＝f（t），t＝q（x）的定义域的方法：

①若y＝f（t）的定义域为（a，b），则解不等式得a＜q（x）＜b即可求出y＝f（q（x））的定义域；②若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）的值域即为f（t）的定义域．

4．函数的单调性

（1）定义：

一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。

（2）单调区间的定义：

若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f（x）的单调区间．

注：

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在（－∞，0），（0，＋∞）内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即（－∞，0）∪（0，＋∞）内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为（－∞，0）和（0，＋∞），不能用“∪”连接．

函数单调性的判断

（1）定义法：

取值、作差、变形、定号、下结论．

（2）复合法：

同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．

在公共的单调区间内有：

增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，

减函数+减函数=减函数，减函数-增函数=减函数。

（3）图象法：

利用图象研究函数的单调性．

　函数的奇偶性与周期性基础知识梳理

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．注：

奇、偶函数的定义域关于原点对称．

2．奇、偶函数的性质

（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

（2）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。

（3）若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0，偶函数恒有.

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：

（1）定义法；

（2）图象法；（3）性质法．

3．周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

注：

若f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝或f（x＋a）＝－，那么函数f（x）是周期函数，其中一个周期为T＝2a；

练习检测

1．（2011·江西）若f（x）＝，则f（x）的定义域为（　　）．

A.B.C.D．（0，＋∞）

解析　由log（2x＋1）＞0，即0＜2x＋1＜1，

解得－＜x＜0.

答案　A

2．下列各对函数中，表示同一函数的是（　　）．

A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgxB．f（x）＝lg，g（x）＝lg（x＋1）－lg（x－1）

C．f（u）＝，g（v）＝D．f（x）＝（）2，g（x）＝

答案　C

3．函数y＝f（x）的图象如图所示．那么，f（x）的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．

解析　任作直线x＝a，当a不在函数y＝f（x）定义域内时，直线x＝a与函数y＝f（x）图象没有交点；当a在函数y＝f（x）定义域内时，直线x＝a与函数y＝f（x）的图象有且只有一个交点．

任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有交点，则b在函数y＝f（x）的值域内；当直线y＝b与函数y＝f（x）的图象没有交点，则b不在函数y＝f（x）的值域内．

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2）∪（4,5]

4求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝.

[审题视点]理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．

解　

（1）要使函数f（x）有意义，必须且只须

解不等式组得x≥3，因此函数f（x）的定义域为[3，＋∞）．

（2）要使函数有意义，必须且只须

即解得：

－1

因此f（x）的定义域为（－1,1）．

5.（2012·天津耀华中学月考）

（1）已知f（x）的定义域为，求函数y＝f的定义域；

（2）已知函数f（3－2x）的定义域为[－1,2]，求f（x）的定义域．

解　

（1）令x2－x－＝t，

知f（t）的定义域为，

∴－≤x2－x－≤，

整理得⇒

∴所求函数的定义域为∪.

（2）用换元思想，令3－2x＝t，

f（t）的定义域即为f（x）的定义域，

∵t＝3－2x（x∈[－1,2]），∴－1≤t≤5，

故f（x）的定义域为[－1,5]．

6.

（1）已知f＝lgx，求f（x）；

（2）定义在（－1,1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求函数f（x）的解析式．

[审题视点]

（1）用代换法求解；

（2）构造方程组求解．

解　

（1）令t＝＋1，则x＝，

∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg.

（2）x∈（－1,1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）．①

以－x代x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）．②

由①②消去f（－x）得

f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），x∈（－1,1）．

求函数解析式的方法主要有：

（1）代入法；

（2）换元法；（3）待定系数法；（4）解函数方程等．

7.

（1）已知f（x）是二次函数，若f（0）＝0，且f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，试求f（x）的表达式．

（2）已知f（x）＋2f（）＝2x＋1，求f（x）．

解　

（1）由题意可设f（x）＝ax2＋bx（a≠0），则

a（x＋1）2＋b（x＋1）＝ax2＋bx＋x＋1

ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋1

∴解得a＝，b＝.

因此f（x）＝x2＋x.

（2）由已知得消去f，

得f（x）＝.

8.求函数y＝log（x2－3x）的单调区间．

正解　设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域为（－∞，0）∪（3，＋∞）．

函数t的对称轴为直线x＝，

故t在（－∞，0）上单调递减，在上单调递增．

而函数y＝logt为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝log（x2－3x）的单调递增区间是（－∞，0），单调递减区间是（3，＋∞）．

9.求函数f（x）＝log2（x2－2x－3）的单调区间．

[尝试解答]　由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，

即函数的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞）．

令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在（－∞，－1）上是减函数，在（3，＋∞）上是增函数．

又y＝log2t为单调增函数．

故函数y＝log2（x2－2x－3）的单调增区间为（3，＋∞），单调减区间为（－∞，－1）．

10.．（2011·江苏）函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是______．

解析　要使y＝log5（2x＋1）有意义，则2x＋1＞0，即x＞－，而y＝log5u为（0，＋∞）上的增函数，当x＞－时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是.

答案　

11.函数y＝在（－1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是（）

A．a＝－3B．a<3C．a≤－3D．a≥－3

解析　y＝＝1＋，需

即∴a≤－3.

答案　C

12.已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＜0，f

（1）＝－.

（1）求证：

f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值．

[审题视点]抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．

（1）证明　法一　∵函数f（x）对于任意x，y∈R总有

f（x）＋f（y）＝f（x＋y），

∴令x＝y＝0，得f（0）＝0.

再令y＝－x，得f（－x）＝－f（x）．

在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，

f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）．

又∵x＞0时，f（x）＜0，

而x1－x2＞0，∴f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

因此f（x）在R上是减函数．

法二　设x1＞x2，

则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2＋x2）－f（x2）

＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2）．

又∵x＞0时，f（x）＜0，而x1－x2＞0，

∴f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上为减函数．

（2）解　∵f（x）在R上是减函数，

∴f（x）在[－3,3]上也是减函数，

∴f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f（－3）与f（3）．

而f（3）＝3f

（1）＝－2，f（－3）＝－f（3）＝2.

∴f（x）在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f（x1）－f（x2）与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：

如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等．

【训练】已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性；

（3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2,9]上的最小值．

解　

（1）令x1＝x2＞0，

代入得f

（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f

（1）＝0.

（2）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1，

由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f＜0，

即f（x1）－f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数．

（3）∵f（x）在[0，＋∞）上是单调递减函数．

∴f（x）在[2,9]上的最小值为f（9）．

由f＝f（x1）－f（x2）得，f＝f（9）－f（3），

而f（3）＝－1，所以f（9）＝－2.

∴f（x）在[2,9]上的最小值为－2.　　

1．（2011·全国）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f＝（　　）．

A.－B.－C.D.

解析　因为f（x）是周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f＝－.故选A.

答案