最新中考数学知识点梳理 考点04 一次方程组教师版.docx

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最新中考数学知识点梳理考点04一次方程组教师版

2022年最新

中考数学知识点梳理

考点总结

+

真题演练

（涵盖近年来的中考真题和中考模拟）

教师版

考点04一次方程（组）

考点总结

一、方程和方程的解的概念

1．等式的性质

（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．

（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．

2．方程:

含有未知数的等式叫做方程．

3．方程的解:

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．

二、一元一次方程及其解法

1．一元一次方程:

只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为

．注意：

x前面的系数不为0．

2．一元一次方程的解：

使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

3．一元一次方程

的求解步骤

变形名称

具体做法

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边

合并同类项

把方程化成

的形式

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数

，得到方程的解为

注意：

解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．

三、二元一次方程（组）及解的概念

1．二元一次方程：

含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．

2．二元一次方程的解:

使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．

3．二元一次方程组:

由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为

．

4．解二元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．

5．二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：

将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

（2）加减消元法：

将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

四、一次方程（组）的应用

1．列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）审题；

（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；

（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．

2．一次方程（组）常见的应用题型

（1）销售打折问题：

利润

售价-进价（成本价）；总利润=单个利润×数量；

利润率=

×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量

（2）储蓄利息问题：

利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；贷款利息=贷款额×利率×期数．

（3）工程问题：

工作量=工作效率×工作时间．

（4）行程问题：

路程=速度×时间．

（5）相遇问题：

总路程=甲走的路程+乙走的路程=甲乙速度和×时间．

（6）追及问题（同地不同时出发）：

前者走的路程=追者走的路程．

（7）追及问题（同时不同地出发）：

前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．

（8）水中航行问题：

顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．它是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，如图也是一个洛书，上面只有部分数字可见，则x对应的数是（　　）

A．1B．4C．6D．8

【分析】直接利用任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，得出等式进而得出答案．

【解答】解：

由题意可得：

x+3+15＝5+11+8，

解得：

x＝6．

故选：

C．

2．（2021•路北区三模）已知2×m＝1，则m表示数（　　）

A．

B．

C．2D．﹣2

【分析】根据已知方程求出m的值即可．

【解答】解：

方程2×m＝1，

解得：

m

，

则m表示的数为

．

故选：

A．

3．（2021•衡水模拟）下列等式变形正确的是（　　）

A．若2x＝1，则x＝2

B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1

C．若2x＝3，则x

D．若

，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1

【分析】根据等式的性质逐个判断即可．

【解答】A、若2x＝1，则x

，故本选项错误，不符合题意；

B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，故本选项错误，不符合题意；

C、若2x＝3，则x

，故本选项正确，符合题意；

D、若

，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，故本选项错误，不符合题意；

故选：

C．

4．（2021•新华区模拟）长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是（　　）

A．5x﹣6（x﹣836）＝1284B．6x﹣5（x+836）＝1284

C．6（x+836）﹣5x＝1284D．6（x﹣836）﹣5x＝1284

【分析】根据长江比黄河长836km，设长江长度为xkm，即可得到黄河的长度为（x﹣834）km，再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

【解答】解：

由题意可得，

6（x﹣836）﹣5x＝1284，

故选：

D．

5．（2021•新华区校级模拟）下列等式变形正确的是（　　）

A．若2x＝1，则x＝2

B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1

C．若﹣2x＝3，则

D．若

，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1

【分析】根据等式的性质即可解决．

【解答】解：

A、若2x＝1，则x

，原变形错误，故这个选项不符合题意；

B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，原变形错误，故这个选项不符合题意；

C、若﹣2x＝3，则x

，原变形正确，故这个选项符合题意；

D、若

1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形错误，故这个选项不符合题意；

故选：

C．

6．（2021•保定模拟）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2×1000（26﹣x）＝800xB．1000（13﹣x）＝800x

C．1000（26﹣x）＝2×800xD．1000（26﹣x）＝800x

【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．

【解答】解：

设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由题意得

1000（26﹣x）＝2×800x．

故选：

C．

7．（2021•海港区模拟）下列变形中，正确的是（　　）

A．若a＝b，那么a+c＝b﹣cB．若﹣3x＝5，则x

C．若a＝b，那么

D．若

x＝1，则x＝﹣3

【分析】根据等式的性质一一判断即可．

【解答】解：

A、错误．若a＝b，那么a+c＝b+c；

B、错误．若﹣3x＝5，则x

；

C、错误．c＝0时，不成立；

D、正确．

故选：

D．

8．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：

今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？

设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）

A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．

D．

【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：

设合伙人数为x人，

依题意，得：

5x+45＝7x+3．

故选：

B．

9．（2021•河北模拟）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．

大马说：

“把我驮的东西给你1包多好哇！

这样咱俩驮的包数就一样多了．”

小马说：

“我还想给你1包呢！

”

大马说：

“那可不行！

如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”

小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）

A．x+1＝2yB．x+1＝2（y﹣1）C．x﹣1＝2（y﹣1）D．y＝1﹣2x

【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：

2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．

【解答】解：

设大马驮x袋，小马驮y袋．

根据题意，得

．

故选：

B．

10．（2021•衡水模拟）在解二元一次方程组

时，若①﹣②可直接消去未知数y，则⊕和⊗（　　）

A．互为倒数B．大小相等C．都等于0D．互为相反数

【分析】当未知数y的系数相等时，两式相减即可直接消去未知数y；当未知数y的系数互为相反数时，两式相加，即可消去未知数y．

【解答】解：

当y的系数相等时，①﹣②可直接消去未知数y，

故选：

B．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•海港区模拟）已知关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝k﹣1．

（1）当k＝1和k＝2时，所得两个方程组成的方程组是

，这个方程组的解是　

　；

（2）当k＝﹣1和k＝﹣2时，所得两个方程组成的方程组是

，这个方程组的解是　

　；

（3）猜想：

无论k取何值时，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是　

　．

【分析】

（1）利用加减消元法求解即可；

（2）利用加减消元法求解即可；

（3）归纳总结确定出所求即可．

【解答】解

（1）

，

②﹣①得：

x＝1，

把x＝1代入①得：

y＝1，

∴

．

故答案为：

．

（2）

，

①﹣②得：

x＝1，

把x＝1代入①得：

y＝1，

∴

．

故答案为：

．

（3）由题kx﹣y＝2k﹣3可得：

y＝k（x﹣2）+3，

当x＝2时，y＝3，等式成立与k值无关，

∴无论k取何值，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是

．

故答案为：

．

12．（2021•玉田县二模）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是　67cm2　，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？

　不变　（填“变”或“不变”）．

【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出小长方形的长和宽，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出阴影部分的面积，由该值为定值可得出：

若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．

【解答】解：

设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得：

，

解得：

，

∴19×（7+2y）﹣6xy＝19×（7+2×3）﹣6×10×3＝67，

∴若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．

故答案为：

67cm2；不变．

13．（2021•保定模拟）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．

（1）数轴上点B表示的数是　﹣4　；

（2）运动1秒时，点P表示的数是　0　；

（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．当点P运动　6　秒时，点P与点Q相遇．

【分析】

（1）由AB的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数；

（2）利用1秒后点P表示的数＝点A表示的数﹣点P运动的速度×运动时间，即可求出结论；

（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t，由点P，Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

（1）∵A、B两点间的距离为10，点A表示的数为6，且点B在点A的左侧，

∴点B表示的数为6﹣10＝﹣4，

故答案为：

﹣4；

（2）运动1秒时，点P表示的数为6﹣6＝0，

故答案为：

0；

（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t．

依题意，得：

6﹣6t＝﹣4﹣4t，

解得：

t＝5，

∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，

故答案为：

5．

14．（2020•丰南区二模）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是　44cm2　，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？

　不变　（填“变”或“不变”）．

【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．

【解答】解：

设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得：

，

解得：

，

∴图中阴影部分面积为14×（6+2y）﹣6xy＝44（cm2）．

无论怎么平移这六个长方形，阴影部分的面积均为14×（6+2y）﹣6xy＝44（cm2）．

故答案为：

44cm2；不变．

15．（2020•长安区模拟）若关于x、y的方程组

的解是

，则mn的值为　﹣2　．

【分析】将

代入方程组即可求出m与n的值．

【解答】解：

将

代入

，

∴

，

∴

，

∴mn＝﹣2，

故答案为：

﹣2．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•路南区二模）小明到某水果店购买苹果和梨，他发现一人购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元，另一人购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元．

（1）妈妈给小明带了20元钱，想购买1千克苹果和1千克梨，小明带的钱够用吗？

说明理由；

（2）到家后妈妈给小明出了一道题：

如果给你带100元钱，①当购买苹果和梨的重量相等时，最多能够买多少千克苹果？

（千克只取整数）②当购买苹果的重量是梨的重量的2倍时，最多能够买多少千克苹果？

（千克只取整数）

【分析】

（1）设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，根据“购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元，购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中可求出购买1千克苹果和1千克梨所需费用，将其与20比较后可得出小明带的钱够用；

（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出最多能够买6千克苹果；

②设可以购买n千克苹果，则购买

n千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，再结合n，

n均为正整数，即可得出最多能够买8千克苹果．

【解答】解：

（1）小明带的钱够用，理由如下：

设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，

依题意得：

，

解得：

，

∴x+y＝6+10＝16．

∵20＞16，

∴小明带的钱够用．

（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，

依题意得：

6m+10m≤100，

解得：

m≤6

，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为6．

答：

最多能够买6千克苹果．

②设可以购买n千克苹果，则购买

n千克梨，

依题意得：

6n+10

n≤100，

解得：

n≤9

，

又∵n，

n均为正整数，

∴n的最大值为8．

答：

最多能够买8千克苹果．

17．（2021•唐山一模）对于实数a、b，定义关于“※”的一种运算：

a※b＝2a+b．

例如1※3＝2×1+3＝5．

（1）求4※（﹣3）的值；

（2）若x※y＝﹣2，（2y）※x＝﹣1，求x和y的值．

【分析】

（1）根据新定义直接代入即可；

（2）由已知可得方程组

，解出方程组即可．

【解答】解：

（1）4※（﹣3）＝4×2+（﹣3）＝8﹣3＝5；

（2）∵x※y＝﹣2，（2y）※x＝﹣1，

∴

②×2，得8y+2x＝﹣2③，

解得y＝0，

将y＝0代入①得x＝﹣1，

∴x＝﹣1，y＝0．

18．（2021•迁西县模拟）解密数学魔术：

魔术师请观众心想一个数a，然后将这个数按以下步骤操作：

魔术师能立刻说出观众想的那个数．

（1）如果小明想的数是﹣1，那么她告诉魔术师的结果应该是　1　；

（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为42，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是　40　；

（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．请通过计算说明这个魔术的奥妙．

【分析】

（1）利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即可；

（2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于42，得出一元一次方程，即可求出；

（3）结合

（2）中方程，关键是发现运算步骤的规律．

【解答】解：

（1）根据题意知：

（﹣1×2﹣4）÷2+4＝1．

故答案是：

1；

（2）设小明想的数是x，则（2x﹣4）÷2+4＝42．

解得x＝40．

故答案是：

40．

（3）观众心想的数为a，

则根据题意得：

．

因此，魔术师只要将最终结果减去2，就能得到观众想的数了．