一元二次方程经典测试题含答案.docx
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一元二次方程经典测试题含答案
一元二次方程测试题
考试范围：
一元二次方程；考试时间：
120分钟；命题人：
瀚博教育
题号一二三总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人得分
一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．方程x（x﹣2）=3x的解为（）
A．x=5B．x1=0，x2=5C．x1=2，x2=0D．x1=0，x2=﹣5
2．下列方程是一元二次方程的是（）
A．ax2+bx+c=0B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0D．（x﹣1）2+1=0
3
．关于
x
的一元二次方程
2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（
）
x
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3
4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约
为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（）
A．12（1+x）=17B．17（1﹣x）=12
C．12（1+x）2=17D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17
5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，
B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到
点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（
）
A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟
6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多
12米，设场地
的长为x米，可列方程为（
）
A．x（x+12）=210
B．x（x﹣12）=210
C．2x+2（x+12）=210
D．2x+2（x﹣12）=210
．一元二次方程
x
2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（
）
7
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x1
2+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（
）
1
A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或1
9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）
A．有两个正根B．有两个负根
C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大
10．有两个一元二次方程：
M：
ax2+bx+c=0；N：
cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论
中，错误的是（）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的
最小值是（）
A．7B．11C．12D．16
12．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么
实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人得分
二．填空题（共
8小题，每题3分，共24分）
13．若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是
．
，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2﹣，1
2，则
a的值
14．已知x1
=2x?
x=1
b
是
．
．已知
|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=
．
15
2x
．已知
x
2+6x=﹣1可以配成（x+p）2
=q
的形式，则
q=
．
16
17．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于
x的不等
式组
的解集是x＜﹣1，则所有符合条件的整数
m的个数是
．
．关于
2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为
．
18
x的方程（m﹣2）x
19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形
2
绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽
度为米．
20．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0
的根的判别式△0（填：
“＞”或“=或”“＜”）．
评卷人得分
三．解答题（共8小题）
21．（6分）解下列方程．
（1）x2﹣14x=8（配方法）
（2）x2﹣7x﹣18=0（公式法）
（3）（2x+3）2=4（2x+3）（因式分解法）
22．（6分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0
（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
3
23．（6分）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．
24．（6分）关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值．
25．（8分）某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月
的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．
（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．
（2）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．
4
26．（8分）如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米
的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，
宽为40米．
（1）求通道的宽度；
（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积．
27．（10分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：
甲、乙两种商品的进货单价之和是
3元；
信息2：
甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的
2倍少1元；
信息3：
按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各
500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降
0.1
元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降
m（m＞0）元．在
不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为
1000
元？
5
28．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求证：
该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n=4（x1+x2）﹣x1x2，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（1，16），并说明理由．
6
一元二次方程测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．方程x（x﹣2）=3x的解为（）
A．x=5B．x1=0，x2=5C．x1=2，x2=0D．x1=0，x2=﹣5
【解答】解：
x（x﹣2）=3x，
x（x﹣2）﹣3x=0，
x（x﹣2﹣3）=0，
x=0，x﹣2﹣3=0，
x1=0，x2=5，
故选B．
2．下列方程是一元二次方程的是（）
A．ax2+bx+c=0B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0D．（x﹣1）2+1=0
【解答】解：
A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
B、由原方程得到2x﹣6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
故选D．
3
．关于
x
的一元二次方程
2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（
）
x
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，
22
∴0+a﹣1=0，
解得，a=±1，
4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约
为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（）
7
A．12（1+x）=17B．17（1﹣x）=12
C．12（1+x）2=17D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17
【解答】解：
设游客人数的年平均增长率为x，
则2016的游客人数为：
12×（1+x），
2017的游客人数为：
12×（1+x）2．
那么可得方程：
12（1+x）2=17．
故选：
C．
5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止
运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）
A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟
【解答】解：
设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．
答：
动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地
的长为x米，可列方程为（）
A．x（x+12）=210B．x（x﹣12）=210C．2x+2（x+12）=210D．2x+2（x﹣12）=210
【解答】解：
设场地的长为x米，则宽为（x﹣12）米，根据题意得：
x（x﹣12）=210，故选：
B．
．一元二次方程
2
+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（
）
7
x
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
8
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
【解答】解：
x2+bx﹣2=0，
△=b2﹣4×1×（﹣2）=b2+8，
即方程有两个不相等的实数根，
设方程x2+bx﹣2=0的两个根为c、d，
则c+d=﹣b，cd=﹣2，
由cd=﹣2得出方程的两个根一正一负，
由c+d=﹣b和b＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，故选B．
8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）
A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或1
【解答】解：
根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．
又x12+x1x2+x22=2k2，
则（x1+x2）2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，
解得k=﹣1或．
当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．
∴取k=﹣1．
故本题选A．
．一元二次方程
2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（
）
9
ax
A．有两个正根
B．有两个负根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有一正根一负根且负根绝对值大
【解答】解：
∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．
9
故选：
C．
10．有两个一元二次方程：
M：
ax2+bx+c=0；N：
cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论
中，错误的是（）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【解答】解：
A、在方程ax2+bx+c=0中△=b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、∵“和符号相同，和符号也相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
C、∵5是方程M的一个根，
∴25a+5b+c=0，
∴a+b+c=0，
∴是方程N的一个根，正确；
D、M﹣N得：
（a﹣c）x2+c﹣a=0，即（a﹣c）x2=a﹣c，
∵a﹣c≠1，
∴x2=1，解得：
x=±1，错误．故选D．
11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的
最小值是（）
A．7B．11C．12D．16
【解答】解：
∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
10
22
∴（t+1）+7≥（2+1）+7=16．
12．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么
实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：
方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，
解得﹣＜a＜，
∵x1+x2=﹣，x1x2=9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：
＜a＜0．
故选D．
方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜﹣（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x=1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞﹣，
11
∴﹣＜a＜0，
故选D．
二．填空题（共8小题）
13．若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是﹣3．【解答】解：
∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，
∴x12﹣2x1=5，x1+x2=2，
∴x12﹣3x1﹣x2﹣6=（x12﹣2x1）﹣（x1+x2）﹣6=5﹣2﹣6=﹣3．
故答案为：
﹣3．
14．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1?
x2=1，则ba的值
是．
【解答】解：
∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1?
x2=﹣2b=1，
解得a=2，b=﹣，
∴ba=（﹣）2=．
故答案为：
．
．已知
|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=±4．
15
2x
【解答】解：
由题意可得|m|﹣2=2，
解得，m=±4．
故答案为：
±4．
．已知
x
2+6x=﹣1可以配成（x+p）2
=q
的形式，则
q=8
．
16
【解答】解：
x2+6x+9=8，
（x+3）2=8．
所以q=8．故答案为8．
17．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等
12
式组的解集是x＜﹣1，则所有符合条件的整数m的个数是4．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，∴m﹣1≠0且△=（﹣3）2﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜且m≠1，
，∵解不等式组得，
而此不等式组的解集是x＜﹣1，
∴m≥﹣1，
∴﹣1≤m＜且m≠1，
∴符合条件的整数m为﹣1、0、2、3．
故答案为4．
．关于
x
的方程（
m﹣2）x
2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为2．
18
【解答】解：
由已知得：
△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）≥0，
即12﹣4m≥0，
解得：
m≤3，
∴偶数m的最大值为2．故答案为：
2．
19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽
度为1米．
【解答】解：
设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．
解得：
x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．
即：
人行通道的宽度是1米．
13
故答案是：
1．
20．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0
的根的判别式△＞0（填：
“＞”或“=或”“＜”）．
【解答】解：
∵次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
2
∴△=（﹣2）﹣4（kb+1）=﹣4kb＞0．
三．解答题（共8小题）
21．解下列方程．
（1）x2﹣14x=8（配方法）
（2）x2﹣7x﹣18=0（公式法）
（3）（2x+3）2=4（2x+3）（因式分解法）
（4）2（x﹣3）2=x2﹣9．
【解答】解：
（1）x2﹣14x+49=57，
（x﹣7）2=57，
x﹣7=±，
所以x1=7+，x2=7﹣；
（2）△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）=121，
x=，
所以x1=9，x2=﹣2；
（3）（2x+3）2﹣4（2x+3）=0，
（2x+3）（2x+3﹣4）=0，
2x+3=0或2x+3﹣4=0，
所以x1=﹣，x2=；
（4）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
14
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，
x﹣3=0或2x﹣6﹣x﹣3=0，
所以x1=3，x2=9．
22．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0
（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
【解答】解：
（1）将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，
解得：
m=2．
当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，
∴x1=﹣1，x2=2，
∴方程的另一个根为2．
（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0有两个不同的实数根，
∴，
解得：
m＞且m≠1，
∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．
2
23．关于x的一元二次方程（a﹣6）x﹣8x+9=0有实根．
（2）当a取
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