小学四年级奥数思维训练全集.docx
《小学四年级奥数思维训练全集.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学四年级奥数思维训练全集.docx（62页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
小学四年级奥数思维训练全集
小学四年级奥数思维训练全集
专题一找规律
（一）
专题简介：
一般以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
例1：
找出下面数列的规律，并在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19
分析：
相邻的两个数的差都是3，所以：
应填：
10+3=13或16－3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做。
试一试1：
先找出下面数列的规律，再填空。
（1）33，28，23，（），13，（），3
（2）2，6，18，（），162，（）
（3）128，64，32，（），8，（），2
例2：
找出下列数排列的规律，再填空。
1，2，4，7，（），16，22
分析：
前4个数每相邻的两个数的差递增1，即依次是1、2、3……。
应填的数为：
7+4=11或16-5=11
试一试2：
先找出下面数列的规律，再填空。
（1）1，4，9，16，25，（），49，64
（2）53，44，36，29，（），18，（），11，9，8
例3：
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（），（），11，12
分析：
第1、3、5……个数递减3；第2、4、6……个数递增2。
8后面的一个数为：
17-3=14，
11前面的数为：
8+2=10。
试一试3：
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）13，2，15，4，17，6，（），（）
（2）4，28，6，26，9，23，（），（），18，14
例4：
在数列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？
分析：
从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和。
括号里：
8+13=21或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
试一试4：
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（），（）
（2）34，21，13，8，5，（），2，（）
（3）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78
例5：
下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）
分析：
每个括号里的两个数的和都是12。
□应为：
12－9=3
试一试5：
下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）
（2）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）
（3）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）
专题二找规律
（二）
专题简析：
对于较复杂的按规律填数的问题，从以下几个方面来思考：
1，对于几列数组成的一组数变化规律，没有一成不变的方法，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；
2，分布在图中的数，变化规律与数在图形中的特殊位置有关，是解题的突破口。
例1：
根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
分析：
经仔细观察、分析表格中的数可以发现：
12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。
依此规律，空格中应填的数为：
4+8=12。
试一试1：
找规律，在空格里填上适当的数。
例2：
根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？
分析：
前面两个圈中三个数之间有这样的关系：
5×12÷10=64×20÷10=8
第三个圈中右下角应填：
8×30÷10=24
试一试2：
根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
例3：
根据第1个算式直接写出后几个算式的结果。
12345679×9=111111111
12345679×18=
12345679×54=
12345679×81=
分析：
几个算式第1个因数相同。
第二个因数成倍数关系：
18=9×254=9×681=9×9
所以：
12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×9=999999999
试一试3：
找规律，写得数。
1×1=111×11=121
111×111=
111111111×111111111=
专题三简单推理
专题简析：
解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。
推理要有条理地进行，要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。
例1：
根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
△－○=2①
○＋○＋△＋△＋△=56②
分析：
由①可知，△=○＋2；将②中的○都换成△，那么5个△=56＋2×2，△=12，再由①可知，○=12－2=10
试一试1：
根据下面两个算式求□与○各代表多少？
□－○=8
□＋□＋○＋○=20
例2：
甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。
已知：
二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。
问：
他们三个人分别是哪个学校的？
获得哪项冠军？
分析：
由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒球冠军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军。
试一试2：
有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。
一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的。
但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。
只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。
你能猜出这三个女孩各姓什么吗？
专题四应用题
（一）
专题简析：
解答应用题时，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。
例1：
某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。
每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？
分析：
如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。
因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。
这样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。
可求出一个塑料箱装多少件。
试一试1：
王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。
已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。
每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？
例2：
一个木器厂要生产一批课桌。
原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。
原计划要生产多少张课桌？
分析：
“提前1天完成任务”，这一天的60张要平均分到前面的几天去做。
实际比原计划每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。
所以原计划要生产60×16=960张。
试一试2：
小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。
这本故事书有多少页？
专题五算式谜
（一）
专题简析：
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
例1：
将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
分析：
用七个数字组成五个数（3个是一位数，2是两位数）。
而方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。
0和1不能作因数，也不能做除数。
由于2×6=12（2将出现两次），2×5=10（不合题意），2×4=8（数字中没有8），2×3=6（不是两位数）。
因此，0、1、2只能用来组成两位数。
经试验可得：
3×4=12=60÷5
试一试1：
将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
例2：
把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。
36○0○15=1521○3○5=□
分析：
先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。
显然，36×0+15=15
因为“×”、“+”已用，第二个等式中只有“－”、“÷”可以填。
“方框中填整数”，而3不能被5整除：
21÷3－5=2
试一试2：
将1~9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□□－□=□□×□=□
专题六算式谜
（二）
:
专题简析：
1．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
2．算式谜解出后，要验算一遍。
例1：
在下面的方框中填上合适的数字。
分析：
由积的末尾是0，推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
试一试1：
在□里填上适当的数。
例2：
在下面方框中填上适合的数字。
分析：
由“1□2”和“1□”可知商和除数的十位都是1。
那么被除数的十位只可能是7、8、9。
如果是7，除数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。
完整的竖式是：
试一试2：
在□内填入适当的数字，使右面除法竖式成立。
例3：
下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？
分析：
因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a=1、d=9；因为9与b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
试一试3：
右式中每个汉字所代表的数字。
华=罗=
庚=金=杯=
例4：
在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
分析：
先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
（1）123与100比较接近，前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。
因为45与67相差22，8与9相差1，所以：
123＋45－67＋8－9=100
（2）89与100比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：
123＋45－67＋89=100
试一试4：
一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
123456789=100
专题七巧妙求和
（一）
专题简析：
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
通项公式：
第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：
项数=（末项－首项）÷公差＋1
例1：
有一个数列：
4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？
分析：
容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9
答：
这个数列共有9项。
试一试1：
有一个等差数列：
2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？
例2：
有一等差数列：
3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？
分析：
这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399
试一试2：
求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
例3：
有这样一个数列：
1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
试一试3：
6+7+8+…+74+75
例4：
求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
分析：
项数=（末项－首项）÷公差+1
=（50－2）÷2+1=25
首项=2，末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
试一试4：
9+18+27+36+…+261+270
专题八最优化问题
专题简析：
做一件事情，合理安排用的时间最少，效果最佳，这类问题称为统筹问题。
“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
例题1贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。
要贴3个烧饼至少需要几分钟？
思路：
锅中保持两张饼用时最少。
（1）1号饼正面、2号饼正面————3分钟
（2）1号饼反面、3号饼正面————2分钟
（3）2号饼反面、3号饼正面————1分钟
（4）2号饼反面、3号饼反面————1分钟
（5）3号饼反面————1分钟。
3＋2＋1＋1＋1=8分钟
试一试1红太狼用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。
烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。
现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？
例题2在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。
甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。
现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？
思路：
移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。
在本题中，各粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”。
甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。
甲粮库需用1×10×50×3=1500元，乙粮库需要1×20×50×20=2000元，共用1500＋2000=3500元。
试一试2：
一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。
甲储油站有50吨油，乙储油站储有10吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。
现在如果想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运1千米要2元运费，那么最少要花多少运费？
例3：
五
（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
分析：
校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。
李佳治病3人等：
1×3=3分钟；孙勇治病2人等：
3×2=6分钟；，赵明治病自己1人等：
5×1=5分钟。
时间总和是1×3＋3×2＋5×1=14分钟。
:
试一试3：
甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。
怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？
最少时间是多少？
例4：
用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。
围成的长方形的面积最大是多少？
分析：
根据“长方形周长=（长＋宽）×2”，得到长＋宽=18÷2=9cm。
根据“两数和一定，差越小积越大”，又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5cm，宽是4cm时，围成的长方形的面积最大：
5×4=20平方厘米。
试一试4：
一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？
例5：
用3~6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
分析：
考虑两点：
（1）把大数放在高位；即应把6和5这两个数字放在十位。
（2）“两个因数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。
63×54=3402
试一试5：
用5~8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
专题九规律
（一）
专题简析：
在进行加、减、乘、除四则运算是时一个数不变，另一个数发生改变，结果也会发生相应变化，抓住变化规律解题，会让我们的计算更轻松。
例1：
两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
分析：
一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9。
相当于和先增加9，又减少9，所以和不发生变化。
试一试1：
两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化？
例2：
两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
分析：
一个加数增加10，和就增加10。
现在“要使和增加6”，另一个加数应减少10－6=4。
试一试2：
两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
例3：
两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
分析：
被减数增加8，差就增加8；减数增加8，差就减少8。
差先增加8，接着又减少8，所以不发生变化。
试一试3：
两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？
例4：
两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
分析：
一个因数扩大8倍，积将扩大8倍；另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大：
8÷2=4倍。
试一试4：
两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
例5：
两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
分析：
被除数扩大4倍，商就扩大4倍；除数缩小2倍，商就扩大2倍。
商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
试一试5：
两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
专题十变化规律
（二）
专题简析：
前面，我们学习了和、差、积、商的变化规律。
现在，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
例1：
两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？
分析：
被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。
试一试1：
两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？
例2：
两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？
余数是多少？
分析：
两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。
所以商是8，余数是20×10=200。
试一试2：
两个数相除，商是8，余数是600。
如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？
余数是多少？
例3：
两数相乘，积是48。
如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
分析：
一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所以最后的积是48×2÷3=32。
试一试3：
两数相除，商是19。
如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
专题十一错中求解
专题简析：
在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。
现在我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
例1：
小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13，还余52。
正确的商是多少？
分析：
要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。
先抓住错误的得数，求出被除数：
13×56＋52=780。
所以，正确的商是：
780÷65=12。
试一试1：
小虎在计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。
正确的商应该是多少？
例2：
小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。
正确的商应该是多少？
分析：
根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。
所以正确的商应该是48×10=480。
试一试2：
小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。
正确的商应该是多少？
例3：
小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3，而余数正好相同。
正确的商和余数是多少？
分析：
因为被除数137被错写成了173，被除数比原来多了173－137=36，又因为商比原来多了3，而且余数相同，所以除数是36÷3=12。
又由137÷12=11……5，所以余数是5。
试一试3：
刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3，余数比原来多1。
求这道除法算式的除数和余数。
例4：
小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1，乘得的结果是525，实际应为600。
这两个两位数各是多少？
分析：
一个因数的个位4错当作1，所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差600－525=75，
另一个因数=75÷3=25
一个因数=600÷25=24
试一试4：
小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，实际应为418。
这两个两位数各是多少？
例5：
方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。
那么，正确的积应是多少？
分析：
由“一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷14=6；又由“另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168÷14=12。
所以正确的积应是12×6=72。
试一试5：
两个数相乘，如果一个因数增加3，另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因数不变，另一个因数减少4，那么积减少200。
原来的积是多少？
专题十二简单列举
专题简析：
直接列式解答比较困难时，可采用一一列举的方法解决。
（根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。
）
例题1从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有3条路可走。
王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？
分析：
为了帮助理解，先画一个线路示意图。
从南通到上海有两条路，每条路经上海到南京都有3条路；即有2个3条路：
3×2=6（种）
试一试1：
从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。
那么，从甲地到丙地有多少种不同的走法？
例2：
有三张数字卡片，分别为3、6、0。
从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？
分析：
排成时要注意“0”不能排在最高位。
十位上排6，个位有两种选择：
60，63；
十位上排3，个位有两种选择：
30，60。
一共可以排成2×2=4（个）两位数。
试一试2：
用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？
最大的一个是多少？
例3：
用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
分析：
要使信号不同，每一种信号颜色的顺序就不同。
把这些不同的信号一一列举如下：
红灯排在第一位置时，有两种不同的信号，
黄灯排在第一位置时，有两种不同的信号，
蓝灯排在第一位置时，有两种不同的信号。
因此，共有2×3=6种不同的排法。
试一试3：
小红有3
升级会员 