全国卷1理科数学试题及解析.docx
《全国卷1理科数学试题及解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国卷1理科数学试题及解析.docx（33页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全国卷1理科数学试题及解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国卷I）
、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.复数的共轭复数是（）
12i
D.I
33.
A.-IB.—iC.|
55
2.下列函数中，既是偶函数又在
（0,+）单调递增的函数是（
3
A.yx
B.y|x|1C.yx21D.y2lx
3.执行右面的程序框图，如果输入的那么输出的p是（）
A.120
B.720
C.1440
D.5040
N是6,
4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学
参加同一个兴趣小组的概率为（）
1123
A.—B.C.D.-
3234
5.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合,
终边在直线y2x上，贝Ucos2=（）
4334
A.B.C.D.-
5555
6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的俯视图可以为
（A）
（B）
（C）
7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，
（D）
AB
为C的实轴长的2倍，贝UC的离心率为（）
B.3
C.2
D.3
5
的展开式中各项系数的和为
x
2，则该展开式中常数项为（）
A.-40
B.-20
C.20
D.40
9.由曲线y
、一x，直线yx
2及y轴所围成的图形的面积为
A10
A.—
3
10.已知a与b均为单位向量，其夹角为
B.4
C.兰
3
，有下列四个命题
D.6
F4:
a
P2:
a
P3:
ab
其中的真命题是
A.F1,l~4
B.Fl,F3
C.I~2,P3
D.P2,p
11.设函数f（x）Sin（
cos（
）（0,
）的最小正周期为，且f（x）f（x），则（）
2
A.f（x）在0,单调递减
2
B.
f（x）在
3
——单调递减
4
C.f（x）在单调递增
D.
f（x）在
3
—单调递增
4
12.函数y
1
—的图像与函数
x1
2sinx（
4）的图像所有交点的横坐标之和等于（）
A.2
B.4
C.6
D.8
二、填空题:
本大题共4小题,
每小题5分.
x2y的最小值为
13.若变量x,y满足约束条件32xy9,则z
6xy9,
14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点％F2在x轴上，离心率为三.过F1的直线L交C于
2
A,B两点，且幺ABF
2的周长为16,那么C的方程为
为
16.在f[ABC中，B60：
AC.3，则AB2BC的最大值为.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
2
等比数列an的各项均为正数，且2a13a21月39a?
a6.
（i）求数列an的通项公式;
（n）设bnlog3a1log3a2
log3an,求数列
bn
的前n项和.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，/DAB=60,AB=2AD,PD丄底面ABCD.
（I）证明：
PA丄BD;
（n）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.
19.
102的产品
（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于
为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品
的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94）
[94,98）
[98,102）
[102,106）
[106,110）
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94）
[94,98）
[98,102）
[102,106）
[106,110）
频数
4
12
42
32
10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;
2,t94
（H）已知用B配方生成的一件产品的利润y单位：
元）与其质量指标值t的关系式为y2,94t102
4,t102
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望•（以试验结果中质量指
标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系
xOy中，已知点A（0,-1）,B点在直线y=-3上，M点满足
M点的轨迹为曲线C.
（I）求C的方程；
（n）p为C上的动点，I为C在p点处得切线，求O点到I距离的最小值
21.（本小题满分12分）
已知函数f（x）旦皿b，曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为x2y30.x1x
（I）求a、b的值；
（n）如果当x0,且x1时，f（x）—k，求k的取值范围.
x1x
22.
（本小题满分10分）选修4-1:
几何证明选讲
如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且
的顶点重合.已知AE的长为n,AD，AB的长是关于x的方
2
x14xmn0的两个根•
（I）证明：
C,B,D,E四点共圆；
（n）若A90，且m4,n6，求C,B,D,E所在圆的半径
23.（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为
x2cos
y22sin
为参数）
M是Ci上的动点,
P点满足
2OM,p点的轨迹为曲线
C2
（I）求C2的方程
（n）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与Ci的异于极点的交点为A，与C2的异
3
于极点的交点为B,求AB
24.（本小题满分10分）选修4-5:
不等式选讲
设函数f（x）xa3x,其中a0.
（I）当a1时，求不等式f（x）3x2的解集；
（n）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值.
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
、选择题
（1）C
（2）B
（3）
B
（4）A
（5）B
（6）D
（7）B
（8）D
（9）
C
（10）A
（11）A
（12）D
、填空题
2
2
（13）-6
（14）
x
y_
1
（15）8.3
（16）2.7
16
8
三、解答题
（17）解：
23221
（I）设数列｛an｝的公比为q,由a39a2a5得a39a4所以q
9
1
由条件可知a>0,故q—。
3
（12...n）n（n1）
2
（18）解:
（I）因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得BDJ3aD
从而BD+AD=AB2,故BDAD
又PD底面ABCD可得BDPD
所以BD平面PAD.故PABD
A1,0,0,B0,3,0,C1,.3,0,P0,0,1。
（—3,0）,
（O小31）E（1,0,0）
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z）,则｛嚼0'
因此可取n=（.3,1,.3）
设平面pbc的法向量为m则
mPB0,
{mBC0,
可取m=（0,-1,,3）
cosm,n
故二面角A-PB-C的余弦值为
27
7
（19）解
2^-8=03，所以用A配方生产的产品的优质品
100
率的估计值为0.3。
3210
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质品
100
率的估计值为0.42
（n）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为
0.04,,054,0.42，因此
P（X=-2）=0.04,P（X=2）=0.54,P（X=4）=0.42,
即X的分布列为
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望值EX=-2X0.04+2X0.54+4X0.42=2.68
（20）解：
（I）设M（x,y）,由已知得B（x,-3）,A（0,-1）.
所以
MA=（-x,-1-y）,
再由题意可知（
MB=（0,-3-y）,
）?
AB=0,即（-x,-4-2y）?
（x,-2）=0.
=（x,-2）.
所以曲线C的方程式为y=]x2-2.
4
（n）设P（x0,y0）为曲线C:
y=x2-2
4
1
因此直线l的方程为yy0_x0（x
2
|2y0xo|.又
上一点，因为
Xo），即XoX
则O点到|的距离d
Yo1x02,
4
11
y'=-x,所以I的斜率为一x0
22
2y2yoxf
所以
2（用4f4）2,
2
当Xo=0时取等号，所以O点到I距离的最小值为2.
（21）解:
1,
考虑函数h（x）2lnx―——°（x0），则
h'（x）（k曲2"2X。
22
（i）设k0,由h'（x）血久以卩知，当x1时，h'（x）0。
而h
（1）0,故
当x（0,1）时，h（x）
1
0,可得2h（x）0;
1x
当x（1,+）
时，h（x）<0,
从而当x>0,且x
1时，f（x）-
（ii）设01
可得
1x2
/Inxk、+—）
x1x
1
—）时，
1k
h（x）>0
>0,
（k-1）
即f（x）>J^+k
x1x
（x2+1）
+2x>0,故h（x）>0,而
1
h
（1）=0,故当x（1,）时，h（x）>0,
1k
（iii）设k
1.此时h（x）>0,而h
（1）=0,
故当
（1,
1
+）时，h（x）>0,可得戸山（x）<0,与题
设矛盾。
（22）解:
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C,B,D,E
四点共圆，所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
1
由于/A=900，故GH/AB,HF//AC.HF=AG=5,DF=（12-2）=5.
2
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5..2
（23）解:
Xy
（I）设P（x,y）,则由条件知M（—,-）.由于M点在G上，所以
22
2cos,
22sin
即x4cos
y44sin
从而C2的参数方程为
射线
3与C1的交点A的极径为14sin3，
射线—与C2的交点B的极径为28sin—。
33
所以|AB||2i|2、3
（24）解：
（I）当a1时，f（x）3x2可化为
|x1|2。
由此可得x3或x1。
故不等式f（x）3x2的解集为
{x|x3或x
1}。
（n）
由f（x）0得
xa3x0
此不等式化为不等式组
xa
亠xa
或
xa3x0
ax3x0
xa
xa
即xa
或a-
4
2
因为a0，所以不等式组的解集为x|x-
2
a
由题设可得=1，故a2
2
2011年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标）理科数学解析
小组，每位同学参
第I卷
、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的⑴复数得的共轭复数是
…、3.
3
（A）i
（B）-i
C.
iD
5
5
解析：
14=色导i，共轭复数为C
（2）下列函数中，既是偶函数又在（0,+）单调递增的函数是
（A）yx3（B）yx1C.yx21（D）y2凶
解析：
由图像知选B
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6,那么输出的
（A）120
（B）720
（C1440
D.5040
解析：
框图表示annan1，且a11所求a6720
选B
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个加各个小组的可能性相同，贝U这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
31
的概率为p=-丄选A
93
y2x上，则cos2=
（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线
解析：
由题知tan2,cos2
2.2cossin
2.2cossin
1tan2
1tan2
（A）5
（B）3
5
（C）5
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示,
则相应的侧视图可以为
（D）5
的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r
的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
故选
（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与
C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，AB为C
的实轴长的2倍，贝UC的离心率为
111
个提出x,选3个提出丄；若第1个括号提出丄，从余下的括号中选2个提出-，选3个提出x.
x
（A）10
3
（B）4
（D）6
其中的真命题是
f（x）^2sin（2x—）42cos2x，选A
1
（12）函数y的图像与函数y2sinx（2x4）的图像所有交点的横坐标之和等于
1x
（A）2（B）4（C）6（D）8
1
解析：
图像法求解。
y——的对称中心是（1,0）也是y2sinx（2x4）的中心，
x1
们的图像在x=1的左侧有4个交点，贝Ux=1右侧必有4个交点。
不妨把他们的横坐标由小到大设为
X1,X21X3iX41X51X6iX71X8，贝UX-|冷X2X7X3XqX4X52，所以选D
、填空题：
本大题共4小题，每小题5分
（13）若变量X,y满足约束条件
32xv9
6X'J则ZX彳、的最小值为
解析：
画出区域图知，
当直线ZX2y过：
丫93的交点（4,-5）时，张6
0
（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为
过R的直线L交C于A,B两点，且纟ABF2的周长为16,那么C的方程为
c迈
解析：
由a~2得a=4.c=22,从而b=8,
4a16
22
—L1为所求。
168
（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC^.3,则棱锥O的体积为。
解析：
设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM」（2*3）26223,
2
ABCD
OM=4
2（2V3）22，VoABCD
1._
-62.32
3
83.
（16）
在J[ABC中，B
60：
AC
-、3，则AB
2BC的最大值为。
解析：
AC
1200C
1200
A,A（0,120°）,-BCAC2BC
2sinA
sinAsinB
AB
AC
2AB
2sinC
2sin（12O0A）
、-3cosAsinA;
sinC
sinB
AB
2BC
、3cosA
5sinA
■28sin（A）
2、7sin（A），故最大值是
2-7
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
9a2a6.
2
等比数列an的各项均为正数，且2ai3a21,a3
（i）求数列an的通项公式;
1
由条件可知a>0,故q-。
3
故数列｛an｝的通项式为an=4r。
3
（18）（本小题满分12分）
解析1：
（I）因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得BD3AD
从而BD+AD=AB2,故BDAD;又PD底面ABCD可得BDPD
所以BD平面PAD.故PABD
因此可取n=（.3,1,.3）
设平面pbc的法向量为m则
102的产品
（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于
为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的
质量指标值，得到下面试验结果:
A配力的罚哉分布表
!
18标值分酗
[90.91）
（94,98）
卜乩3Q2）
（102-106）
【10缶110；
1頻就
20
42
22
B配方的藝數分芾农
丹0・94）
（94,g对
F~
[98.102）
（102.106）
（106,110]
4
耳1
42
32
10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;
（n）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：
元）与其质量指标值t的关系式为
rt<94,
肿斗2.944,（孑1屹
量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
质品率的估计值为0.3。
0.04,,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P（X=-2）=0.04,P（X=2）=0.54,P（X=4）=0.42,
即X的分布列为
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望值EX=-2X0.04+2X0.54+4X0.42=2.68
M点的轨迹为曲线C
（I）求C的方程；
（n）p为c上的动点，I为C在P点处得切线，求O点到I距离的最小值。
解析；（I）设M（x,y）,由已知得B（x,-3）,A（0,-1）.
mB=（0,-3-y）,AB=（x,-2）.
）?
AB
所以MA=（-x,-1-y）,
=0,即（-x,-4-2y
?
（x,-2）=0.
再由题意可知（
所以曲线C的方程式为y=lx2-2.
4
则0点到|的距离d|2y°——x°|.又y0
^x22，所以
4
；4）2,
2
当X。
=0时取等号，所以0点到I距离的最小值为2.
（21）（本小题满分12分）
（I）求a、b的值;
1,
h（x）0,可得」^h（x）
1x
h（x）>0,
可得」2h（x）<0,与题设矛盾。
1x2
点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。
若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。
即以参数为分类标准，看是否符合题意。
求的答案。
此题用的便是后者。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时请写清题号。
（n）若A90，且m4,n6,求C,B,D,E所在圆的半径。
解析：
（I）连接DE根据题意在△ADE和△ACB中，ADABmnAEAC
即AD.又/DAE=/CAB从而△AD0AACB因此/ADENACB
ACAB
所以C,B,D,E四点共圆。
（n）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作ACAB的垂
连接DH.因为C,B,D,E四点共圆，所以C,B,D,E四点所
DH.
1
由于/A=9C°，故GH//AB,HF//AC.HF=AG=5DF=-（12-2）=5.
2
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5...2（23）（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为
（为参数）
x2cos
y22sin
M是G上的动点，P点满足
（I）求C2的方程
于极点的交点为B,求AB
解析；（I）设P（x,y）,则由条件知M（-,^）.由于M点在C上，所以
22
x
即x4cos
y44sin
2cos,
2
y
22sin
2
从而C2的参数方程为
射线与C1的交点A的极径为14sin,
33
射线与C2的交点B的极径为28sin。
323
所以|AB||21|2-、3.
（24）（本小题满分10分）选修4-5:
不等式选讲
（I）当a1时，求不等式f（x）3x2的解集;
（n）若不等式f（x）0的解集为x|x1
，求a的值。
解析：
（I）当a1时，f（x）
3x2可化为|x
1|2。
由此可得x3或x
故不等式f（x）3x2的解集为
{x|x
1}。
（n）由f（x）0得
3x
此不等式化为不等式组
因为a0,
由题设可得
a3x
x3x0
所以不等式组的解集为
x|x
a
2=1，故a2
升级会员 