高中数学必修二 教案中心投影与平行投影空间几何体的三视图.docx
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高中数学必修二教案中心投影与平行投影空间几何体的三视图
1.2空间几何体的三视图和直观图
1.2.1中心投影与平行投影
1.2.2空间几何体的三视图
一、中心投影与平行投影
1．投影的概念
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做.其中，我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做.
2．中心投影
（1）概念
光由一点向外散射形成的投影，叫做,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.学@科网
（2）性质
①中心投影的投影线相交于.
②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越.
例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.
3．平行投影
（1）概念
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做斜投影．如图所示.在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.
（2）性质
①平行投影的投影线互相.
②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全的.
③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：
（ⅰ）直线或线段的平行投影仍是；
（ⅱ）平行直线的平行投影是的直线；
（ⅲ）平行于投影面的线段，它的投影与这条线段；
（ⅳ）与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形；
（ⅴ）在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比这两条线段的长度比.
二、空间几何体的三视图
1．三视图的概念
（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的;
（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的;
（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.
2．三视图的画法规则
（1）排列规则：
一般地，侧视图在正视图的，俯视图在正视图的.如下图：
正
侧
俯
（2）画法规则
①正视图与俯视图的长度一致，即“”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“”.
（3）线条的规则
①能看见的轮廓线用表示；
②不能看见的轮廓线用表示.
3．常见几何体的三视图
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆
三、简单组合体的三视图
常见的组合体的生成方式：
（1）将基本几何体拼接成的组合体；
（2）从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.所以，在画组合体的三视图时，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.如图.
K知识参考答案：
一、1．投影投影线投影面
2．
（1）中心投影
（2）一点大
3．
（1）平行投影正投影
（2）平行相同直线或线段平行或重合平行且等长全等等于
二、1．正视图侧视图俯视图
2．
（1）右边下边
（2）长对正高平齐宽相等（3）实线虚线
K—重点：
空间几何体的三视图.
K—难点：
简单组合体的三视图、由三视图还原几何体.
K—易错：
不能准确画出三视图或由三视图还原几何体.
1．K重点——空间几何体的三视图
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度.
下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
A．①②B．①③
C．①④D．②④
【答案】D
【解析】②中正视图和侧视图相同，④中正视图和侧视图相同，可得②④正确，故选D.
【名师点睛】在确定几何体的三视图时可以按照下面的步骤进行：
确定投影角度→按照三视图的画法规则作图→完成后检验.
2．K难点——简单组合体的三视图
对于简单组合体要分清楚是由哪些简单几何体组成的，并注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置，画出分解后的简单几何体的三视图后，将其拼合即得组合体的三视图．
将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
【思路点拨】画三视图时，要想象在几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，先画出影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能够看到的画成实线，不能看到的画成虚线．
3．K难点——由三视图还原几何体
由三视图还原立体图形时，根据三视图的特征，先判断是简单几何体还是由它们组成的组合体.若是简单几何体，结合柱、锥、台、球的三视图逆推；若是组合体，结合柱、锥、台、球的三视图，判断是由哪几种简单几何体组合而成，根据它们的相对位置关系，想象出组合体的构成情况，再加以验证.
如图
（1），
（2），（3），（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
【答案】C
【解析】根据柱、锥、台体的结构特征和三视图的定义可知
（1）
（2）（3）（4）分别为三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C．
【技巧点拨】由三视图判断几何体时，首先，确定正视、侧视、俯视的方向；其次，判断几何体的组合方式，特别是它们的交线位置，交线的实虚情况等.要注意不能看见的轮廓线的画法，应画成虚线，切不可略去不画.学%科网
4．K易错——不能准确由三视图还原几何体
当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是
【错解】A或B或C
【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.
【正解】由三视图可知该几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
1．下列命题中正确的是
A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
2．下列光线所形成的投影，不是中心投影的是
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线D．路灯的光线
3．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A．三棱锥B．三棱柱
C．四棱锥D．四棱柱
4．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是
A．圆柱B．圆锥
C．球D．三棱锥
5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是
6．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是
ABCD
7．如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有
A．3块B．4块
C．5块D．6块
8．给出以下结论，其中正确的结论的序号是________.学！
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①一个点光源把一个平面图形照射到一个平面上，它的投影与这个图形全等；
②平行于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形全等；
③垂直于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形相似；
④在平行投影下，不平行、也不垂直于投射面的线段的投影仍是线段，但与原线段不等长．
9．桌子上放着一个长方体和一个圆柱（如图所示），则下列三幅图分别是什么图（填“正视图、俯视图、侧视图”）.①________、②________、③________.
10．画出如图所示几何体的三视图.
11．当图形中的直线或线段不平行于投影线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是
A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段
B．平行直线的平行投影仍是平行的直线
C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等
D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比
12．如图，在正方体
中，
分别为棱
的中点，用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的侧视图为
13．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），其直观图如下图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是
14．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
15．（2017年高考新课标Ⅰ卷理）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10B．12
C．14D．16
16．（2017年高考北京卷理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
A．3
B．2
C．2
D．2
17．（2016年高考天津卷文）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为
A B C D
1
2
3
4
5
6
7
11
12
13
14
15
16
17
D
A
B
C
A
B
B
B
C
B
B
B
B
B
1．【答案】D
2．【答案】A
【解析】太阳光线形成的投影是平行投影．
3．【答案】B
【解析】由三视图中的正视图可知，有一个面为直角三角形，由侧视图和俯视图可知其他的面为长方形.综合可判断为三棱柱.
4．【答案】C
【解析】由题意得，球的三视图都是圆，所以正视图、侧视图和俯视图都相同的是球，故选C．
7．【答案】B
【解析】由三视图可知组成此几何体的长方体木块共摆放两层，下层三块，上层一块，如图，设四边形
是长方形的直观图，在下层的
处各放一块，上层的一块在
的正上方，共
块，故选B.
8．【答案】②④
【解析】由定义知，②④正确．
9．【答案】俯视图 正视图 侧视图
【解析】由三视图的定义可知，①是俯视图，②是正视图，③是侧视图．
10．【答案】见解析.
【解析】已知几何体为正六棱柱，其三视图如图所示：
11．【答案】B
【解析】∵图形中的直线或线段与投影线不平行，∴直线或线段的平行投影不可能为一点，仍是直线或线段；平行直线的平行投影可以是平行直线或一条直线；而与投射面平行的平面图形的投影形状大小均不变，∴A、C、D均正确，B错．
12．【答案】C
【解析】通过观察剩余几何体（下半部分），可以发现C图才正确，故选C.
14．【答案】B
【解析】A，C与正视图不符，D与侧视图不符，故选B.
15．【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为
，故选B.
【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.
16．【答案】B
【解析】几何体是四棱锥
，如图.
最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为
，故选B.学！
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【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:
或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.
17．【答案】B
【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.
【名师点睛】
（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
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