完整版对勾函数详细分析.docx
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完整版对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用
、对勾函数yaxb(a0,b0)的图像与性x
质:
1.定义域:
(,0)(0,)
2.值域:
(,2ab][2ab,)
3.
奇偶性:
奇函数,函数图像整体呈两个
对勾”的形状,且函数图像关于
原点呈中心对称,即f(x)f(x)0
即f(x)在x=b时,取最小值2aba
、对勾函数的变形形式
2.值域:
(,2ab][2ab,)
3.奇偶性:
奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状
4.图像在二、四象限,当x<0时,f(x)在x=b时,取最小值2ab;当x0时,a
f(x)在x=b时,取最大值2ab
a
5.
ba)
单调性:
增区间为(0,b),(b,0)减区间是(b,aaa,
类型二:
斜勾函数yaxb(ab0)x
①a0,b0作图如下
1.定义域:
(,0)(0,)2.值域:
R
3.奇偶性:
奇函数4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性:
增区间为(-,0),(0,+)
②a0,b0作图如下:
1.定义域:
(,0)(0,)2.值域:
R3.奇偶性:
奇函数4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值
5.单调性:
减区间为(-,0),(0,+)
此类函数可变形为f(x)axcb,可由对勾函数yaxc上下平移得到xx
2
练习1.函数f(x)xx1的对称中心为
x
类型四:
函数f(x)xa(a0,k0)
xk
此类函数可变形为f(x)(xka)k,则f(x)可由对勾函数yxa左右平移,xkx上下平移得到
练习1.作函数f(x)x1与f(x)x3x的草图
x2x2
2.求函数f(x)x1在(2,)上的最低点坐标
2x4
3.求函数f(x)xx的单调区间及对称中心
x1
a.若a0,图像如下:
1.定义域:
(,)2.值域:
[a2b,a2b]
3.奇偶性:
奇函数.4.图像在一、三象限.当x0时,f(x)在xb时,取最大值a,当x<0时,f(x)在x=b时,取最小值a
2b2b
5.单调性:
减区间为(b,),(,b);增区间是[b,b]
练习1.函数f(x)x21的在区间2,上的值域为
b.若a0,作出函数图像:
1.定义域:
(,)2.值域[a1,a1]3.奇偶性:
奇函数
2b2b
4.图像在一、三象限.
当x0时,
f(x)在xb时,取最小值a,
2b
当x<0时,
f(x)在x=b时,取最大值a
2b
5.单调性:
增区间为(b,),(,b);减区间是[b,b]
练习1.如a122xx1,2,则的取值范围是
x4
2
类型六:
函数f(x)ax2bxc(a0).可变形为xm
2
f(x)a(xm)2s(xm)ta(xm)ts(at0),
xmxm
则f(x)可由对勾函数yaxt左右平移,上下平移得到
x
2
练习1.函数f(x)xx1由对勾函数yx1向(填“左”、“右”)平x1x
移单位,向(填“上”、“下”)平移单位.
2
2.已知x1,求函数f(x)x27x10的最小值;x1
2
3.已知x1,求函数f(x)x29x9的最大值
类型七:
x1
函数f(x)2xm(a0)
)则f(x)的
ax2bxc
练习1.求函数f(x)2x1在区间(1,)上的最大值;若区间改为[4,
x2x2
最大值为
2
2.求函数f(x)x22x3在区间[0,)上的最大值
x2x2
类型八:
函数f(x)xb.此类函数可变形为标准形式:
xa
xababa
f(x)xa(ba0)
xaxa
练习1.求函数f(x)x3的最小值;
x1
2.求函数f(x)x5的值域;
x1
3.求函数f(x)xx32的值域
2
类型九:
函数f(x)x2b(a0)。
此类函数可变形为标准形式:
2
xa
22
(xa)ba2baf(x)2xa2(bao)x2ax2a
2
练习1.求函数f(x)x5的最小值;
x24
2.求函数f(x)x2x2171的值域
1.均值不等式
x12,当且仅当x1,即x1的时候不等式取到“=”。
当x1x
2.法
1yx
x
yx10
若y的最小值存在,则
y240必需存在,即
2或y2(舍)
1的时候,ymin2
找到使y2时,存在相应的x即可。
通过观察当
3.单调性定义
设0x1x2
fx1fx2x1x2
111
x1x21
x1x2x1x2
x1x
x1x21
x1x2
当对于任意的x1,x2,只有x1,x2
0,1时,fx1fx2
0,
此时fx单调递增;
当对于任意的x1,x2,只有x1,x2
1,时,
fx1fx2
0,
此时fx单调递减。
当x1取到最小值,ymin
4.复合函数的单调性
2
tx
1在0,单调递增,y
t22在
0单调递减;在
0,单调递增
又x
0,1t,0x1,
t0,
原函数在
0,1上单调递减;
在1,
上单调递增
即当x
1取到最小值,yminf1
2
5.
求一阶导
6.三角代换
令xtan,
0,2,则1x
2x
cot
yx1tan
x
cot
2
sin2
0,2
0,
当4
即2
2时,
sin2
max
1,
ymin
2,显然此时x1
7.向量
1x,
x
b
1,1
ab
abcos
根据图象,a为起点在原点,终点在
0图象上的一个向量,
acos的
几何意义为a在b上的投影,
显然当ab时,acos取得最小值。
此时,x1,ymin2228.图象相减
1,即y表示函数yx和y1两者之间的距离xx
求ymin,即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线yx,显然当yx与y
1相切时,两曲线竖直距离最小。
x
y1关于直线yx轴对称,若yx与y1在x
xx
性,在0x1处也必有一个交点,即此时yx与y
1处有一交点,根据对称
1相交。
显然不是距离
x
最小的情况
所以,切点一定为1,1点。
此时,x1,ymin2
9.平面几何
依据直角三角形射影定理,设AEx,EB1,则
x
1
ABADx
x
显然,x1为菱形的一条边,只用当ADAB,即AD为直线x
AB和CD之间的距离时,x1取得最小值。
即四边形ABCD为
x
矩形
1
此时,x1,即x1,ymin2
x
10.对应法则
设fxmin
221xx2x2
x0,
x2
0,
,对应法则也相同
fx2minmin
2xx
x122
x
左边的最小值
右边的最小值
t2t2t
1(
舍)或t2
当x
x2,即x
1时取到最小值,
且ymin2
对勾函数练习:
1.若x>1.求y
xx11的最小值.11.若t2t9
t22在t
t2
0,2上恒成立,
则a的取值范围是
2.若
x>1.
求y
x2x2的最小值12.x1
求函数fxx
x126x1x1的
最值。
3.若
x>1.
求y
2
xx1的最小值13.x1
当x(0,1)时,求f(x)
x2的值域
4x1
4.若
x>0.
求y
3x2的最小值14.x
21
求f(x)x2x21的值域
x2x3
5.已知函数
2xa
(x[1,))
1)求a1时,求f(x)的最小值
2
(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围
6.
:
方程sin2x-asinx+4=0在[0,2]内有解,则a的取值范围是
最大值为
8.函数y23x4的最大值为
x
10.函数y924sin2x的最小值是
sinx