数列与不等式.docx

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数列与不等式

专题测试

数列与不等式

I数列与不等式均是高中数学中的重要内容，所以在高考中占有重要的地位•高考对这两部I分的考查比较全面，在近年来的全国各地高考试题中，常常综合在一起考查这两部分知识，尤I

I其是在解答题中较为明显•在高考试题中，数列与不等式这部分知识所占分值大约是20分.解|I答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题有较好的区|1分度•有关数列的综合题，经常把数列知识与不等式的知识综合起来，其中还蕴含着丰富的数！

1学思想，通常要用到放缩法以及函数思想（求函数的最值等）•这就要求考生能够灵活地运用I'相关数列的性质与不等式的方法去解决相关问题•估计2008年全国各地的高考试题中仍会出I-现数列与不等式的综合问题，因此考生在复习过程中应当注意掌握数列与不等式中的常见方I:

法，并注意积累一些特殊的方法，从而做到灵活处理相关的问题!

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分为150分，考试时间为

120分钟•

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共

只有一项是符合题目要求的在数列｛an｝中，a1=14,

A.21B.22

已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2-9n+2008，则满足5

A.9B.8C.7

12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

3an=3an+1+2，则使anan+2<0成立的n值是（

C.23D.24

（理）已知数列｛an｝的通项公式是

（）

A.a2006B.a2007

（文）已知数列｛an｝的通项公式是数■的取值范围（）

A・（3,+3）

D.6

k=（

型乙（其中

C.a2006或a2007

2*an=-n+丸n（其中n€N）

）,那么数列｛an｝的最大项是

D.a2008

是一个单调递减数列，则常

D.3,:

数列｛an｝的通项公式是关于x的不等式x2-x

B.n（n+1）

Cn（n+1）

D.（n+1）（n+2）

若数列｛an｝、｛bn｝的通项公式分别是

n七008

an=（-1）n+2007•a,b^2——，且an

n+2007

A.（-2,1）

C.L2,1

D.（-2,--）

6.在等差数列｛an｝中，a10<0,an>0且an>|a10|,Sn是数列｛an｝的前n项和，则使Sn>0的n的最小值是（

A.21

7.（理）

和是

已知首项为

Sn,且lim

B.20C.10D.11

a、公比为q（0<|q|<1）的无穷等比数列｛an｝的各项和是S,其前n项

（Sn-qS）=q，则a的取值范围是（

A.（-二

2）

—1

0）-（0,―）

D.（-：

：

，0）一

（文）

无穷数列1,,

1，…的前（）项和开始大于10

（

A.99

&已知数列m€N）,

A.5

）

B.100

｛an｝的通项公式是Sn-Sm的最大值是（

B.10

C.101

an=-n+12n-32,

）

C.15

D.102

其前n项和是Sn,则对任意的n>m（其中

D.20

n、

9.已知等差数列｛an｝的前n项和是Sn,且a1=2008，且存在自然数p>10,使得Sp=ap，则当n>p时，Sn与an的大小关系是（

A.an》Si

B.an>Si

10.已知等差数列

｛an｝的前n项和是

）

C.anW5

S-1n2a8Snn_c

D.an

n，则使an<-2006成立的最小正整数

n=（）

A.2009

B.2010

C.2011

D.2012

11.已知集合M=｛0,

2｝，无穷数列

｛an｝满足an€M，且

_a1a2a3...a100

匕」产，则p

定不属于区间（

A.0,1

B.0,1

12.已知某企业2006年的生产利润逐月增加，为了更好地发展企业，该企业也同时在改造

建设.其中一月份投入的建设资金恰好一月份的利润相等，且与每月增加的利润相同.随

着投入的建设资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资

金又恰与十二月份的生产利润相同.则该企业在2006年的总利润M与总投入资金N的大

小关系是

A.M>NB.M

第口卷（非选择题）

共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.

13.（理）在正项等比数列｛an｝中，a2a8=,ai+a9的最小值是m,且3a=m,其中a€（k,

k+1），则整数k=.

（文）在正项等比数列｛an｝中，a2a8=25,a计a9的最小值是m=.

14.（理）一张厚度为0.1mm的矩形纸片，每次将此纸片沿一组对边的中点连线对折，则经过次这样的折叠后其厚度开始大于100m（假设这样的折叠是可以实现

的，参考数据：

lg2=0.3010）.

（文）一种机械设备的价格为200000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加

1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为

15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a2,b2,c2成等差数列，则sinB的最大值是.

16.（理）设正数数列｛an｝的前n项之和是bn,数列｛bn｝前n项之积是Cn,且bn+cn=1，则数

列丿：

>中最接近108的项是第项.

1J3

（文）在等比数列｛an｝中，a1=,公比q=,其前n项之和是Sn,x=S10（S20+S30）,

102

y=S2S20,则x,y的大小关系是.

三、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列｛an｝是递增等差数列，前n项和为Sn,a1=2，且a1,a?

成等比数列.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）令人,

1当n为何正整数时，Tn>Tn+1?

2若对一切正整数n,总有Tn

18.（本小题满分12分）

（理）已知数列｛不｝是首项为q、公比为q的等比数列（其中q>0且q工1），设bn=an*log2an（其中n€N*）.

（1）当q=2时，求数列｛bn｝的前n项和为Sn；

（2）在

（1）的条件下，求lim-的值；

J鈕nan

2007

（3）当q时，在数列｛bn｝中，是否存在最小的自然数n,使得对任意的m>n（m

2008

€N）,都有bm>bn?

证明你的结论•

（文）数列｛an｝的通项公式是an=Cn•2C2•3cn宀—nC；J（其中n€N*）,前n项和为Sn.

（1）化简数列｛an｝的通项公式an；

111

（2）求证：

0S2Sn

19.（本小题满分12分）

医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法，通常将这种病

毒细胞m个注入一只小白鼠的体内进行试验.

在试验过程中，将病毒细胞的数量（个）与时间（h）的关系记录如下表：

时间（h）

病毒细胞总数（个）

16m

32m

64m

已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过mx106个时，小白鼠将死亡，但有一种药物

对杀死此种病毒有一定的效果，在最初使用此药物的几天内，每次用药可杀死其体内该病毒细胞的98%.

（1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？

（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？

（答案精确到小时，参考数据：

lg2=0.3010）

20.（本小题满分12分）

an-1*_1

已知函数f（x）=x+1，点（n+1,）（n€N）在y=f（x）上，且ai=a2=1.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）设sn=OiOz幻，若Sn>m恒成立，求常数m的取值范围

（n+1）!

21.（本小题满分12分）

已知数列｛an｝满足：

a1=2,a2=3,2an+1=3an_an_1（n>2）.

（1）求数列｛an｝的通项公式an；

（2）求使不等式旦一—:

—成立的所有正整数m、n的值.

an*—m3

22.（本小题满分12分）

已知点Pl、P2、P3、…、Pn、

顺次为曲线xy=3（x>0）上的点（如图所示），点Qi、Q2、Q3、…、Qn、…顺次为X轴上的点，且厶OPiQi'AOP2Q2、AQn-lPnQn、…均为等边三角形

记点Qn（Cn,0）,Pn（an,bn）（其中n€N）.

（1）求数列{cn}（n€N*）的通项公式；

*a“

（2）（理）求数列{an}（n€N）的通项公式及limn的

I讼cn

值；

（文）求数列{an}（n€N*）的通项公式

（3）（理）求证：

亠爲存：

：

4-2・.2（其中n€N*）.

a2a2a2a3anan*

参考答案

丄…2244—2n44—2n40—2n

1.A由已知彳得an+1-3n=—,an=14+（n-1）（…—）=,an3n+2=•<0,

33333

（n-20）（n-22）<0,20

5<-10+2k<8,

0=2000,n=1

an=*，由5

§n_Sn/=-10+2n,nz2

3.（理）C由题意得an>0,a°1=2007，当n<2006时，1>〔,an+1>an且a2007=a2006；

ann+1an

当n》2007时，<1,an+1

（文）Ban+1-an=-（n+1）+■（n+1）+n-，n=，-2n-1<0得■<2n+1,其中n€N,因此'<3.

4.C由x2-x

5.C当n是奇数时，由an

2,a>-2，因此常数a的取值范围是'-2,1.

B设数列｛an｝的公差是d，由已知得an>-a10,an+a10>0,2a什19d>0,2a1>-19d.令

=（n-20）d，需（n-20）d>0,又d>0，因此n》20,选B.

a22a

7.（理）由题意得S（1-q）S=（1-q）•=a（1+q）=q,

1-q1-q

q11

a==1-，又0<|q|<1,「.0<1+q<2且1+qM1,a<且a丰0，选C.

1q1q2

（文）C由题意得该数列有1+3+…+（2n-1）=n2项的和是n,因此其前101项和开始大于10,选C.

8.B由an=-n+12n-32=-n（n-4）（n-8）>0得4

（p-1）（a「ap_1）=0

9.B由Sp=ap得a1+a2+…+ap-1=,a1+p-1=0.

又a1=2008>0,因此ap-1<0,数列｛an｝的公差小于零.当n>p时，Sn-1=a1+a2+…+an-1Sn.

10.B设数列｛an｝的公差是d,则Sn=nai-

n（n_1）d

2）n

12a8d1口

nn,且a1

2222

a17d

d=-1且

ai=2,

an=2-（n-1）=3-n<-2006,n>2009，因此使

an<-2006成立的最小正整数

n=2010，选

11.C

a2a*a100

由题意得当a1=0时，0wp=23

310厂

31003

当a1=2时，-

—2

333100

1>1

2Ap》一.3100P3

因此结合各选项知选

12.A设一月份投入的建设资金与一月份的利润均为

各月的利润依次组成一个数列｛an｝，其中an=na（1wnw12,n€N），各月的建设资金依次

组成一个数列｛bn｝，其中bn=a（1+r）n-1（1wnw12,n€N）,由于a1=b1,玄仁“仁，结合函数y=ax与y=a（z1+r）x-1的图象可知a2>b2,a3>b3,…,an>bn,因此M>N.

由题意得a什a9>2a<9m,

13.（理）

-1

a，每月增加投入的百分率为

-1a

3<3=

<1=3,-1

r，则

（文）

由题意得a1+a9>2；a』9=10=m.

14.（理）

由题意得，经过

n次这样的折叠后其厚度是

0.1x2nmm，令0.1x2n>100x

103=105得，2n>106,唱

二淀，因此经过20次这样的折叠后其厚度开始大于100

2000001000^2）

（文）20当此设备使用了

n年时，此设备的平均费用是

-500（400n1）>500-

（2

400.n1）=20500,n

当且仅当

400=n，即

n=20时取得

等号.

15.-

222a2+c2-b2

由已知得2b=a+c,cosB=-

22a2c2

2ac

ac、

4ac

2ac

4ac

1，因此sinB=.1—cos2Bw

16.（理）10依题意得bh

二r（n》2），又

bn+Cn=1，贝UCn+Cn=1，-

=1，由

cnj

cnJ

-仆1

b1=c1,b什6=1得b1=C1=—

…1

，则cn=，bn=

，所以an=bn-bn-1=,

n（n+1），

n+1

n1n（n

1）

因此数列丿丄>中最接近108的项是第10项.

（文）x=y由等比数列的性质知（S2o-Si0）2=Sw（S30-S20），即S：

'S2o-2S20S10=S10S30-

S10S20，也即SoS2o=Si0（S^0+S30），贝yx=y.

17.

（1）设公差为d（d>0）,则有a2=3134,（2+d）=2（2+3d），由此解得d=0（舍去）或d=2,

因此an=2+2（n-1）=2n;

②•••T）=色=1,T2=T3=-，又Tn〉？

时，Tn>Tn+1，二各项中数值最大值为-,•••对一切

222

正整数n,总有Tn

命题动向近年来的全国各地的高考试题中，有关等差、等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式的基本考查常有出现，这就要求考生对于这方面的知识比较熟悉，做到灵活

地使用，同时注意与其他知识间的联系.

18.（理）

（1）当q=2时，an=2n，bn=2n•log22n=n•2n，Sn=1•21+2•22+…+n•2n①，

2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②，

12nn+12—2

-Sn=2+2+…+2-n•2=-n

2007水

（3）当q=时，存在最小的自然数n=2008，使得对任意的m>n（m€N），都有bm>bn.

2008

证明如下：

bn+i>bn,数列｛bn｝从第2008项开始各项随着n的增大而增大，

故存在最小的自然数n=2008，使得对任意的m>n（m€N）,都有bm>bn.

（文）

（1）由an=cn-2C；n3C3川…卷ncn①，

an=nCn（n一1）^（n一2疋忙C，即

an=nc0（n—1）C「（n—2）c2C；，②，

由①+②得2an=n（U•U•㈡）二n•2n,

则an=n•2n-1;

（2）由an=n•2n-1得Sn=1•2°+2•21+3•22+…+n•2n-1③，

123n-1n

2Sn=1•2+2•2+3•2+…+（n-1）2+n•2④，

由③-④得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n・2n=n•2n,Sn=（n-1）•2n+1,

1-2

111

Sn（n-1）*212

因此丄=丄+…+丄<1.

S1S2Sn

规律总结有关数列前n项和的求解问题，具体问题应当进行具体分析.当一个数列的

各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成，则此时可采用错位相减法.

把其前n项和的表示式两边同时乘以公比，然后两式相减，从而求解.当一个数列｛an｝满

足：

a1+an=a2+an-1=・・・时，可考虑采用倒序相加法来求其前n项和.

19.

（1）设第一次最迟在第n（h）时注射药物由病毒细胞的生长规律可知，第n（h）时病

毒细胞的数量是2n-1•m个.

因此为了使小白鼠在试验过程中不死亡，应有2n-1•mwmx106,即2n-1<106,（n-1）lg2<

6，n1+lg2"20.9，…第次最迟应在第20（小时注射该种药物;

220

（2）第20（h）时的小白鼠体内的病毒细胞数是210・m（1-98%）=m个.

设第一次注射药物后的第

220

t小时必须注射药物，则2m•2twmx106,即卩2t+20w108,

100

（t+20）lg2w8,t<—-20沁6.57,因此第二次注射药物的时间最迟应在自开始注射该种药

lg2

物后的第6（h），才能维持白鼠的生命.

规律总结解决实际应用问题的一般步骤：

（1）读题：

反复读题，领悟题目的数学本质，弄清题中出现的每个量及其数学含义；

（2）建模：

恰当地设出关键量，根据题意进行数学化设计，建立目标函数（函数模型）

（3）求解：

用相关的函数知识进行数学上的计算；

（4）反馈：

把计算获得的结果返回到实际问题中，写出答案

（5）

（1）f（x）=x+1的反函数是f（x）=x_1,

20.

因此an=4-n

（4-m）・2n-23

经检验使不等式-an―m:

-成立的所有正整数m、n的值为（m,n）=（1,1）或an书—m3

（2，1）或（3，2）.

方法探究求递推公式形如an+2=pan+qan+1（其中p，q是常数）的数列的通项公式已知数列｛an｝满足：

a1=a，a2=b，且an+2=pan+qan+1（其中p，q是常数），求an.

一般地，设an+2-X1an+1=X2（an+1-X1an），即an+2=（X1+X2）an+1-X1X2an，又

当X1X2时，则由对称性得an+2-X2an+1=X1（an+1-X2an）,由此求得数列｛an+1-X1an｝与｛an+1-X2an｝

的通项公式，从而得出an；

当X1=X2时，则有an+2-X1an+1=X1（an+1-X1an），求得数列｛an+1-X1an｝的通项公式，进而得到an.

fa—

厂v=J3x

22.

（1）由题意得直线OP1的方程是y=^3x，由」厂解得x=1，则C1=2.

、xy=I3（x>0）

y—•3（x-Cn）

又厶QnPn+1Qn+1是等边三

X=c^__Cn4舍去），即点Pn+1的横坐标是

J2+4；i

角形，因此Cn+1=Cn+2（男+—-2-Cn）=Jc：

+4，即5+1=斗£+4，贝cj申一£=4,

an=、n+.n—1.

（3）（理）由

（2）得an=4n+v'n-1,anan+1=^fn+Un—1）•（Jn+1）>4n•n=n.

当n"时，有亠二1，即亠D,

anan书n（n—1）nn—1nanan41n—1n

当n=1时，晋=V.2.

综上所述,

1616

~44

CiC2

：

2（其中n€N）cn

规律总结有关数列背景下的不等式的证明问题，在处理过程中常常会涉及放缩法的使用，这就要求考生对于放缩法的使用技巧有一定的积累，否则难以完成•常见的数列问题

中的放缩方式有：

（1）「亠n>2）;nn-1n

（2）

111

2\n1、n1.n2、•n

212

（3）2（...n1rn）==2（、n-..n-1）；

In+1+JnJnIn-1+Jn

（4）当1n;

（5）

1111

（n1）2（n1）（n2）_n1_n2

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