高三数学一轮复习学案函数及其表示.docx
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高三数学一轮复习学案函数及其表示
高三数学一轮精品复习学案：
函数及其表示
【高考目标定位】
一、考纲点击
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解
析法）表示函数。
3．了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、热点、难点提示
1．本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函
数的图象、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。
2．以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的表
达式、对应法则，仍是明年高考考查的重要内容。
【考纲知识梳理】
一、函数与映射的概念
函数
映射
两集合
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
如果按照某种确定的对应关
如果按某一个确定的对应关
f:
AB
系f
，使对于集合A中的任
系f，使对于集合
A中的任
意一个数x，在集合B中都
意一个元素
x，在集合B中
有唯一确定的数f（x）和它对
都有唯一确定的元素
y与之
应。
对应。
名称
称f:
A
B为从集合A到
称f:
A
B为从集合A到
集合B的一个函数
集合B的一个映射
记法
y
f（x），xA
对应f:
A
B是一个映射
注：
函数与映射的区别：
函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是
非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
二、函数的其他有关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数
y
f（x），x
A中，
x叫做自变量，
x的取值范围
A叫做函数的定义域；与
x的值相对应的
y值叫做函数值，函数值
{f（x）|x
A}
的集合叫做函数的值域
（2）一个函数的构成要素定义域、值域和对应关系
（3）相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
注：
若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
（不一定。
如果函数y=x和
y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，
值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。
因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对
应关系）
（4）函数的表示方法
表示函数的常用方法有：
解析法、图象法和列表法。
（5）分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，
这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
【热点、难点精析】
一、求函数的定义域
1、确定函数的定义域的原则
（1）当函数
（2）当函数
y=f（x）
y=f（x）
用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数用图象法给出时，函数的定义域是指图象在
x的集合;
x轴上的投影所覆盖
的实数的集合；
（3）当函数
y=f（x）
用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集
合；
（4）当函数y=f（x）由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
2、确定函数定义域的依据
（1）若f（x）
是整式，则定义域为全体实数；
（2）若f（x）
是分式，则定义域为使分式的分母不为零的
x取值的集合；
（3）当f（x）
是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的
x取值的集合；
（4）当f（x）
是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为
0的x取值的集合；
（5）若已知函数f（x）的定义域为[a,b]，其复合函数f（g（x））定义域由不等式a≤g（x）
≤b解出;
（6）若已知函数f（g（x））的定义域为[a,b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a,b]时的值
域。
3、例题解析
考点1
函数的概念
2
则A∩B等于（
）
设f:
x→x是集合A到集合B的映射,如果B={1,2},
A.?
B.{1}C.
?
或{2}
D.?
或{1}
下列是映射的是（
）
a
a
e
a
e
a
e
a
e
b
e
b
f
b
f
f
b
c
c
g
c
f
b
g
c
图1
图2
图3
图4
图5
（A）图1、2、3
（B）
图1、2、5
（C）
图1、3、5
（D）
图1、2、3、5
已知A
{0,1,2,4},
B{1,0,1,2,6,8},下列对应关系能构成从
A到B的映射的是
（）
2
A.
f:
xx31B.
f:
x
（x1）2
C.
f:
x
2x1
D.
f:
x2x
判断下列图象能表示函数图象的是（）
yyyy
0x0x0x0x
（A）
（B）
（C）
（D）
10）
x3,（x
＝
。
设函数f（x）
，则f（5）
f（f（x
5））,（x10）
|x
1|x
1
f（x）x2
1x
2，那么f（f（－2））=
；如果f（a）
3，那么实数
2x
x
2
a=
。
x2（x≤1）
已知f（x）=x2（1x2）,若f（x）=3,则x的值是（）
2x（x≥2）
A.1B.1或C.1,±3,D.3
考点2同一个函数
试判断以下各组函数是否表示同一函数？
2
3
3
（1）f（x）=
x，g（x）=
x
；
|x|
1
x
0,
1
x
0;
（2）f（x）=x
，g（x）=
（3）f（x）=2n1x2n1，g（x）=（2n1x）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=xx1，g（x）=x2x；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
考点3求定义域
一具体函数
函数y
x2
2x
15的定义域是__
函数y
（x
1）0
的定义域是
x
3
3
x
x
__________
二抽象函数
已知函数y
fx的定义域是
1,2，求函数yf
2x1的定义域。
已知函数yf2x1的定义域是1,2，求函数yfx的定义域。
考点4求函数的解析式
1、函数的解析式的求法
（1）待定系数法。
若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法。
（2）换元法。
已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值
范围.
（3）解方程组法。
已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其
他未知量，如f（-x）、f
（1）等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方
x
程组求出f（x）
2、例题解析
f（x
1）
x31
，求f（x）；
（1）已知
x
x3
f（2
1）
lgx
（2）已知
x
，求f（x）；
（3）已知f（x）是一次函数，且满足
3f（x1）2f（x1）2x17，求f（x）；
（4）已知f（x）
2f（x）
f
（1）
3x
满足
x
，求f（x）；
考点5求函数值域
求下列函数的值域：
（1）y3x2
x2；
（2）y
x2
6x5；（3）y
3x
1
x
2；
（4）yx
41x；（5）y
x
1x2；（6）y|x1|
|x4|；
2x2
x
2
2x2
x1
1
1
sinx
y
x
y
2x
（x
）
y
cosx
（7）x2
1；（8）
1
2；（9）
2
解：
（1）
改题：
求函数y3x2x2，x[1,3]的值域
（2）
（3）
（4）
注：
总结y
ax
b
cx
d型值域，
变形：
或y
ax2
b
cx
d
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
注：
上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以
后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。
考点6函数图象及其应用
|lgx|,
0x≤10,
（2010·新课标全国）已知函数f（x）=
1x6
若a,b,c
互不相
x10.
2
等,且f（a）=f（b）=f（c）,
则abc的取值范围是（）
A.（1,10）
B.（5,6）
C.（10,12）
D.（20,24）
log2x,x0,
（2010·天津）若函数f（x）=log1
（x）,x
0,若f（a
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