届高三数学一轮复习经典学案文理通用第8章 平面解析几何 第2讲两直线的位置关系.docx

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届高三数学一轮复习经典学案文理通用第8章平面解析几何第2讲两直线的位置关系

第2讲　两直线的位置关系

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　两条直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直

（1）两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1：

y＝k1x＋b1，l2：

y＝k2x＋b2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

（2）两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

2.两条直线的交点

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

考点2　三种距离公式

1.两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离|P1P2|＝.

2.点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

3.两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0（其中C1≠C2）间的距离d＝.

[必会结论]

1.与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直和平行的直线方程可设为：

（1）垂直：

Bx－Ay＋m＝0；

（2）平行：

Ax＋By＋n＝0.

2.与对称问题相关的两个结论：

（1）点P（x0，y0）关于A（a，b）的对称点为P′（2a－x0,2b－y0）．

（2）设点P（x0，y0）关于直线y＝kx＋b的对称点为P′（x′，y′），则有

可求出x′，y′.

[考点自测]

1.判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．（　　）

（2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　　）

（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（　　）

（4）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．（　　）

（5）若点A，B关于直线l：

y＝kx＋b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）√

2.[课本改编]过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（　　）

A.x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0

C.2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　设直线方程为x－2y＋c＝0，又经过点（1,0），故c＝－1，所求方程为x－2y－1＝0.

3.[2018·重庆模拟]若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于（　　）

A.1B．－C．－D．－2

答案　D

解析　由a·1＋2·1＝0得a＝－2，故选D.

4.[课本改编]已知点（a,2）（a>0）到直线l：

x－y＋3＝0的距离为1，则a等于（　　）

A.B．2－

C.－1D.＋1

答案　C

解析　由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.

5.[课本改编]平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是（　　）

A.B．2C.D.

答案　B

解析　依题意得，所求的距离等于＝2.

6.[2018·南宁模拟]直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（　　）

A.x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0

C.2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0

答案　D

解析　设所求直线上任一点（x，y），则它关于直线x＝1的对称点（2－x，y）在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.

板块二　典例探究·考向突破

考向　平行与垂直问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　

（1）直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是（　　）

A.平行B．垂直

C.相交但不垂直D．不能确定

答案　C

解析　由可得3x＋2m－n＝0，由于3x＋2m－n＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－，斜率之积不等于－1，故不垂直.

（2）[2018·金华十校模拟]“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的（　　）

A.充分不必要条件B．必要不充分条件

C.充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行，得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件.

触类旁通

两直线位置关系问题的解题策略

（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．

（2）设l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

【变式训练1】　

（1）“m＝3”是“直线l1：

2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：

（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由l1⊥l2，得2（m＋1）（m－3）＋2（m－3）＝0，

∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件.

（2）[2018·宁夏模拟]若直线l1：

x＋2my－1＝0与l2：

（3m－1）x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．

答案　0或

解析　因为直线l1：

x＋2my－1＝0与l2：

（3m－1）x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－＝或者m＝0，∴m＝或0.

考向　距离公式的应用

例2　[2018·潍坊模拟]已知点P（2，－1）．

（1）求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；

（2）求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？

若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

解　

（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为（2，－1），显然，过P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2），

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得＝2，解得k＝，

此时l的方程为3x－4y－10＝0.

综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

（2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．

由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2），即2x－y－5＝0.

所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.

（3）由

（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.

触类旁通

与距离有关问题的常见类型及解题策略

（1）求距离．利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离．

（2）已知距离求参数值．列方程求出参数．

（3）求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值.

【变式训练2】　

（1）若直线l1：

x－2y＋m＝0（m>0）与直线l2：

x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝（　　）

A.0B．1C．－1D．2

答案　A

解析　∵直线l1：

x－2y＋m＝0（m>0）与直线l2：

x＋ny－3＝0之间的距离为，∴∴n＝－2，m＝2（负值舍去），∴m＋n＝0.

（2）已知点A（－3，－4），B（6,3）到直线l：

ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．

答案　－或－

解析　由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.

考向　对称问题

命题角度1　点关于点的对称　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　过点P（0,1）作直线l使它被直线l1：

2x＋y－8＝0和l2：

x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解　设l1与l的交点为A（a,8－2a），

则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a,2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，

解得a＝4，即点A（4,0）在直线l上，

所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.

命题角度2　点关于线的对称

例4　若将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2）与点（4,0）重合，点（7,3）与点（m，n）重合，则m＋n＝________.

答案　

解析　由题可知纸的折痕应是点（0,2）与点（4,0）连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点（7,3）与点（m，n）连线的中垂线，于是

解得故m＋n＝.

命题角度3　直线关于直线的对称

例5　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是（　　）

A.x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0

C.x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　设所求直线上任意一点P（x，y），则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′（x0，y0），

由得

由点P′（x0，y0）在直线2x－y＋3＝0上，

则2（y－2）－（x＋2）＋3＝0，即x－2y＋3＝0.

命题角度4　对称问题的应用

例6　已知直线l：

x－2y＋8＝0和两点A（2,0），B（－2，－4）．

（1）在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

（2）在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．

解　

（1）设A关于直线l的对称点为A′（m，n），则解得

故A′（－2,8）．

P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为（－2，3）．

（2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解得故所求的点P的坐标为（12,10）.

触类旁通

解决对称问题的方法

（1）中心对称

①点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

（2）轴对称

①点A（a，b）关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点为A′（m，n），则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

核心规律

1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．

2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．

3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线（法线）对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．

满分策略

1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若直线无斜率，要单独考虑．

2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的x，y的系数化成相等．

板块三　启智培优·破译高考

题型技法系列13——物理光学中对称思想的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[2018·湖南模拟]在等腰直