陕西省西安市届高三下学期第二次质量检测文科数学试题含答案解析.docx
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陕西省西安市届高三下学期第二次质量检测文科数学试题含答案解析
陕西省西安市2022届高三下学期第二次质量检测文科数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
都是实数，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线
的一条渐近线与
轴正半轴所成夹角为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数
为偶函数，对任意
，
且
，都有
，则有
A．
B．
C．
D．
6．如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点
对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在正方体
中，
为棱
的中点，用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．连续掷2次骰子，先后得到的点数分别为
，那么点
到原点
的距离不超过3的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于
经测定，刚下课时，空气中含有
的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为
，且
随时间
（单位：
分钟）的变化规律可以用函数
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据
）
A．
分钟B．11分钟C．
分钟D．22分钟
10．
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3D．
11．在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），若cos（
）=
，则x0=（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆
的两焦点为
，以
为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若向量
，则
___________.
14．已知倾斜角为
的直线
与曲线
相切，则直线
的方程是___________.
15．已知函数
，若关于
的方程
在
内有唯一实根，则实数
的取值范围是___________.
16．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是
，则这样一个粮仓的容积为___________.
三、解答题
17．某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在
950元之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”.
（1）求
的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若样本中属于“高消费群”的女生有20人，完成下列
列联表，并判断是否有
的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男
女
合计
（参考公式：
，其中
18．在公比为2的等比数列
中，
成等差数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
19．如图，已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E，F，G分别为AC，PA，PB的中点，且AC＝2BE．
（1）求证：
PB⊥BC；
（2）设平面EFG与BC交于点H，求证：
H为BC的中点．
20．已知定点
，定直线
，动圆
过点
，且与直线
相切.
（1）求动圆
的圆心轨迹
的方程；
（2）过焦点
的直线
与抛物线
交于
两点，与圆
交于
两点（
，
在
轴同侧），求证：
是定值.
21．已知函数
.
（1）当
时，求函数
的单调减区间；
（2）若不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围.
22．在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
（t为参数），以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于
两点，点D是
的中点，点
，求
的取值范围．
23．设不等式
的解集是
，且
.
（1）试比较
与
的大小；
（2）设
表示数集
中的最大数，
，证明：
.
参考答案：
1．A
【解析】
根据集合的补集、并集运算即可得到结论．
【详解】
解：
，
，
，
故选：
．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2．B
【解析】
分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
.
故选：
B．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生的计算能力，是一道基础题.
3．A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性，判断由“
”可推出“
”即“
”，反之，由“
”也可推出“
”，由此可得答案.
【详解】
都是实数，则“
”,可得
，即
，
故“
”是“
”的充分条件；
当
时，
，则
，
故“
”是“
”的必要条件，
故“
”是“
”的充要条件，
故选：
A
4．A
【解析】
【分析】
求出
的值，利用双曲线的离心率公式可求得结果.
【详解】
双曲线
的渐近线方程为
，由题意可得
，则
，
所以，
.
故选：
A.
5．A
【解析】
【分析】
由已知可知
的对称轴为
，且在
上为单调递减函数.由
，可确定
，从而可选择正确选项.
【详解】
解：
因为函数
为偶函数，所以
的对称轴为
；
又对任意
，
且
有
，则
在
上为单调递减函数.因为
，
，
，所以
，
即
.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了函数的对称性，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的对称轴以及函数的单调区间.
6．A
【解析】
【分析】
利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.
【详解】
因函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点
对称，则有
，
于是得
，显然
对于
是递增的，
而
时，
，
，当
时，
，
，
所以|φ|的最小值为
.
故选：
A
7．C
【解析】
【分析】
取
中点
，连接
．平面
为截面，然后即可得出侧视图.
【详解】
取
中点
，连接
，平面
为截面，如图所示：
进而根据三视图的概念，可得该几何体的侧视图为选项C.
故选：
C.
故选：
C.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及其应用，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，属于基础题．
8．D
【解析】
【分析】
写出满足点
到原点
的距离不超过3的事件，再写出总的基本事件，利用古典概型即可得到答案.
【详解】
点
到原点
的距离不超过3，
故点
可以为
，总事件为36种，故点
到原点
的距离不超过3的概率为
.
故选：
D.
9．B
【解析】
【分析】
首先根据初始值，求
，再根据不等式
，利用指对互化，求
的取值范围.
【详解】
当
时，
，解得：
，
所以
，当
，解得
，
所以至少需要11分钟.
故选：
B
10．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理解三角形即可．
【详解】
解：
∵
，
，
，
∴由余弦定理
，得
，
化简得，
，即
，
解得
，或
（舍去），
故选：
C．
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．
11．A
【解析】
【分析】
由三角函数的定义知x0=cosα，因为cosα=
，所以利用两角差的余弦公式可求.
【详解】
解：
由题意，x0=cosα.
α∈
，
∈
，
又cos（
）=
，
∈
，
=
，
x0=cosα=
=
+
=
=
.
故选：
A.
【点睛】
关键点点睛：
本题的解题关键点是根据cos（
）=
，缩小角的范围，从而确定
的正负.
12．A
【解析】
【分析】
椭圆的正三角形另两边的交点分别为
，易得
，
，由此建立
的齐次式，进而可的结果.
【详解】
解：
由题意得：
设椭圆的正三角形另两边的交点分别为
，易得
，
故选：
A
13．
.
【解析】
【分析】
根据平面向量加法、数量积的坐标表示公式，结合互相垂直向量的性质进行求解即可.
【详解】
因为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
由倾斜角为
可知，直线
得斜率为1，将曲线
求导，令导数等于1，可求切点坐标，再用点斜式方程写出直线
即可.
【详解】
因为直线
的倾斜角为
，
所以直线
的斜率为1，
将曲线
求导，
得
，
，
令
，可得
，
所以切点坐标为
，
所以直线
：
，
即
，
故答案为：
.
15．
【解析】
【分析】
先利用分段函数求出函数
的零点，再利用
、
与区间的包含关系进行求解.
【详解】
令
，得
或
，
解得
，且
，
所以较小的实数根为
、
；
因为
，所以
，
若关于
的方程
在
内有唯一实根，
则
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
16．
##
【解析】
【分析】
求出圆锥的底面半径
和高
，再利用圆柱和圆锥的体积公式求解.
【详解】
解：
设圆锥的母线为
，底面半径为
，高为
，
所以
，解得
，
；
所以圆柱的高为
，
所以这样一个粮仓的容积为
故答案为：
17．
（1）
；消费金额平均数为670
（2）列表见解析：
有
的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关
【解析】
【分析】
（1）利用概率之和为“1”求
，利用组距的中间值乘以频率得到平均数；
（2）结合分层抽样以及频率分布直方图完成联表，计算
进行判断.
（1）
由题，因为各组之间频率之和为“1”，所以有
，解得
；
平均数为组距的中间值乘以频率，所以有
，所以平均消费金额为670（元）.
（2）
属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男
5
35
40
女
20
40
60
合计
25
75
100
有表可知
故有
的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关
18．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
（1）
因为
成等差数列，
所以
，
因此
；
（2）
由
（1）可知：
，
所以
，
因为
，
所以
.
19．
（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）要证明PB⊥BC，只需证明BC⊥平面PAB即可；
（2）易得PC∥平面EFG，利用线面平行的性质定理即可得到
，进而可证得结论．
【详解】
（1）证明：
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．
因为AC＝2BE，所以EA＝EC＝EB，所以点B在以
为直径的圆上，所以BA⊥BC．
又因为BA∩PA＝A，BA⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
又因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥BC．
（2）证明：
因为平面EFG与BC交于点H，所以GH⊂平面PBC．
因为E，F分别为AC，PA的中点，所以EF∥PC．
又因为
平面EFG，EF⊂平面EFG，所以PC∥平面EFG．
又因为PC⊂平面PBC，平面PBC∩平面EFG＝GH，所以
，
又G是PB的中点，所以H为BC的中点．
【点睛】
关键点点睛：
（1）关键点是：
证明BC⊥平面PAB；
（2）关键点是：
证明
．
20．
（1）
（2）1
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的定义先判定动点的轨迹形状，再求其标准方程；
（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于
的一元二次方程，利用根与系数的关系、抛物线的定义进行证明.
（1）
解：
由题意，得动圆的圆心
到点
的距离等于到直线
的距离，所以
的轨迹是以点
为焦点的抛物线，其轨迹方程为
；
（2）
解：
设经过焦点
的直线为
，
联立
，得
；
设
，
，则
，
且
，
；
因为圆
的圆心为
（即抛物线的焦点），半径为
，
由抛物线的定义，得
，
，
则
，
，
所以
，
即
是定值，定值是1.
21．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）求导，令
，即得解；
（2）转化为
恒成立，求导分
，
，
讨论单调性，分析即得解
（1）
当
时，
令
，得
故函数
的单调减区间为
（2）
令
令
，由于
①当
时，
对
恒成立，故
对
恒成立
故
在
单调递减，
成立；
②当
时，
在
恒成立，
故
在
单调递减，
成立；
③当
时，
对称轴为
，为开口向下的二次函数，
故
在
单调递增，
，
故
在
存在唯一的零点
，
在
，故
在
单调递减；在
，故
在
单调递增
故当
不成立
综上：
22．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，可以求得曲线的平面直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程
（t为参数）代入
中，得到
，利用直线参数方程中参数的几何意义，得到
，利用
，从而求得结果.
【详解】
（1）由题意可得，
所以曲线C的直角坐标方程为
（2）联立方程
设
对应的参数t分别为
，则
因为D是
的中点，所以
当
时，
当
时，
，因为
，所以
综上所述，
.
【点睛】
该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题目.
23．
（1）
；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
先由绝对值不等式，得到
；
（1）利用作差法比较大小，即可得出结果；
（2）根据题意，得到
，
，推出
，根据基本不等式，即可证明结论成立.
【详解】
解：
由
得
，解得
.
.
（1）由
得，
，
，
所以
，故
；
（2）由
，得
，
，
则
，故
.
当且仅当
时等号成立.
【点睛】
本题主要考查解绝对值不等式，作差法比较大小，以及证明不等式，熟记绝对值不等式的解法，以及不等式的证明方法即可，属于常考题型.
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