初中数学阿氏圆最值模型归纳.docx

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初中数学阿氏圆最值模型归纳

几何模型：

阿氏圆最值模型

[模型来源]

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：

PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

[模型建立]

如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R=OB，

连接PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

解决办法：

如图2，在线段OB上截取OC使OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。

故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

[技巧总结]

计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：

在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：

1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

2.计算出这两条线段的长度比

3.在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，

4.则，当A、P、C三点共线时可得最小值

典题探究启迪思维探究重点

例题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．

[分析]这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，

连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，

连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：

PM=2:

1，即PM=．

问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得．

变式练习>>>

1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，

求①，②，③，④的最小值.

[答案]：

①=，②=2，③=，④=.

例题2.如图，点C坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.

[答案]：

5.

变式练习>>>

2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（6,-1），M（4,4），以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.

[答案]：

10.

例题3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．

[解答]解：

如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：

连接PB、CO，AD与CO交于点M，

∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，

∵AB是直径，∴∠APB＝90°，

∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，

∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，

∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，

∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，

∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．

变式练习>>>

3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为　5　；PD+4PC的最小值为　10　．

[解答]解：

①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．

∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，

∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，

∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，

∴PD+PC的最小值为5．

②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．

∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，

∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，

∴＝＝，∴PE＝PD，

∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），

∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，

∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．

例题4.如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

[分析]当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．

变式练习>>>

4．

（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．

（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．

图1图2

[解答]解：

（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．

∵＝＝，＝＝，

∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，

∴△PBG∽△CBP，

∴＝＝，∴PG＝PC，

∴PD+PC＝DP+PG，

∵DP+PG≥DG，

∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．

∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，

当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．

故答案为，

（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．

∵＝＝2，＝＝2，

∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，

∴△PBG∽△CBP，

∴＝＝，

∴PG＝PC，

∴PD+PC＝DP+PG，

∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，

在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，

∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，

在Rt△GDF中，DG＝＝

∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，

当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．

故答案为，．

例题5.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：

y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？

求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

[解答]解：

（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，

∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，

∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，

设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；

（3）①如图1，

由

（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），

∵直线AC：

y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），

∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，

∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：

y=﹣x﹣6，

∴AB⊥AC，∴EF为对角线，

∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），

∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如图2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，

连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，

∴=，∵=，∴=，

∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，

∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，

∵PE=，∴5（p+2）2=，

∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），

∵C（0，﹣6），∴PC==，即：

AM+CM=．

变式练习>>>

5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；

（3）如图2，在

（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

[解答]解：

（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，

∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，

∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），

∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，

∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．

（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，

∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），

∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，

∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴＝，解得m＝2．

（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，

∴OE′2＝OM′•OB，

∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，

∴△M′OE′∽△E′OB，

∴＝＝，

∴M′E′＝BE′，

∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小

（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），

最小值＝AM′＝＝．

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1.如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值.

[答案]：

.

2.如图，边长为4的正方形，切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA+PB的最小值为________.

[答案]：

.

3.如图，等边△ABC的边长为6，切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.

[答案]：

.

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？

5.如图，在平面直角坐标系中，，，，，P是△AOB外部第一象限的一动点，且∠BPA=135°，则的最小值是多少？

[答案]

6.如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD

（1）求证：

△BDC≌△AFC；

（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；

（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．

[解答]

（1）证明：

如图1中，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，

∴∠ACF＝∠DCB