《高等数学》下册期末总复习第六版.docx

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《高等数学》下册期末总复习第六版

《高等数学》（下册期末总复习

一、向量代数与空间解析几何

（一）向量代数

JJJJGGGG

1、点M（x,y,z⇔向量OM=（x,y,z=xi+yj+zk；

JJJG2、点A（x1,y1,z1,B（x2,y2,z2⇒向量AB=（x2−x1,y2−y1,z2−z1；

GG3、设a=（ax,ay,az,b=（bx,by,bz，则

GGG

a±b=（ax±bx,ay±by,az±bz；λa=（λax,λay,λaz（λ为数）；GGGGGGn

a⋅b=|a|⋅|b|cos（a,b=axbx+ayby+azbz；

GGGijkGGGGGGGGGGGGGGn

a×b=axayaz，（|a×b|=|a||b|sin（a,b,a×b⊥b,a×b⊥a；

bxbybz

bxbybzGG

a&b⇔==（对应坐标成比例）；

axayaz

GGGG

a⊥b⇔a⋅b=0；

GGGa⋅bGn

cos（a,b=；

|a||b|

GGGGnPrjb=|b|cos（a,b

Ga

（二）曲面、空间曲线及其方程

1、曲面及其方程Σ:

F（x,y,z=0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母

线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图2、空间曲线及其方程：

一般方程（面交式）、参数方程；

3、曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：

投谁便消去谁4、会作简单立体图形

（三）平面方程与直线方程：

1、平面方程：

1）一般方程：

Ax+By+Cz+D=0，其中n=（A,B,C为其一法向量．

G

第1页共14页1

2）点法式方程：

法向量n=（A,B,C，点M（x0,y0,z0∈Π，则A（x−x0+B（y−y0+C（z−z0=0．3）截距式方程：

G

xyz

++=1abc

⎧A1x+B1y+C1z+D1=0

的平面束方程为

⎩A2x+B2y+C2z+D2=0

4）平面束方程：

过直线⎨

（A1x+B1y+C1z+D1+λ（A2x+B2y+C2z+D2=0

2、直线方程：

点M0（x0,y0,z0∈L，则1）对称式方程（点向式方程）：

方向向量s=（m,n,p，

G

x−x0y−y0z−z0

==

mnp

⎧x=x0+mt

⎪

2）参数式方程：

⎨y=y0+nt

⎪z=z+pt

0⎩

3）一般式方程：

⎨

⎧A1x+B1y+C1z+D1=0

⎩A2x+B2y+C2z+D2=0

3、面面、线线、线面关系：

GG|nGG1⋅n2|nn=1面面：

cosθ=|cos（n,|=12

|n1||n2|

GG

Π1⊥Π2⇔n1⋅n2=0⇔A1A2+B1B2+C1C2=0；A1B1C1GG

Π1&Π（或重合）⇔n&n⇔==212

A2B2C2

GG|sGG1⋅s2|ns==2线线：

cosθ=|cos（s,|12|s1||s2|GG

L1⊥L2⇔s1⋅s2=0⇔m1m2+n1n2+p1p2=0；m1n1p1GG

L1&L（或重合）⇔s&s⇔==212

m2n2p2

GG|s⋅n|GGm3线面：

sinϕ=|cos（s,n|==|s||n|ABCGG

L⊥Π⇔s&n⇔==；

mnp

GG

L&Π（或L在Π上⇔s⊥n⇔Am+Bn+Cp=0

第2页共14页

2

4、距离

点面：

d=

JJJJJJG点线：

d=|MG0M×s||s|

，其中G

s为直线的方向向量，M为直线上任意一点．

第3页共14页3

二、多元函数的微分学及其应用

（一）极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外）：

（x,y→（x0,y0

lim

f（x,y=A⇔∀ε>0,∃δ>0,δ时,有|f（x,y-A|<ε

（x,y→（x0,y0

∆

（二）连续性：

∆

lim

f（x,y=

f（x0,y0

⇔∀ε>0,∃δ>0,δ时,有|f（x,y-f（x0,y0|<ε

（三）偏导数：

1、显函数：

z=f（x,y

1）定义：

fx（x0,y0=lim

∆x→0

f（x0+∆x,y0−f（x0,y0

，

∆x

fy（x0,y0=lim

∆y→0

f（x0,y0+∆y−f（x0,y0

∆y

2）求导法则：

对x求偏导，暂时视y为常量；对y求偏导，暂时视x为常量

3）复合函数的求导法则（链式法则）：

若z=f（u,v具有连续偏导数，而u=g（x,y与

v=h（x,y都具有偏导数，则复合函数z=f[g（x,y,h（x,y]的偏导数为：

∂z∂z∂u∂z∂v

=⋅+⋅=fu⋅ux+fv⋅vx=f1′⋅gx+f2′⋅hx；∂x∂u∂x∂v∂x

∂z∂z∂u∂z∂v=⋅+⋅=fu⋅uy+fv⋅vy=f1′⋅gy+f2′⋅hy∂y∂u∂y∂v∂y

特别的，设z=f[h（x,g（x]，则

dz

=f1′⋅h′（x+f2′⋅g′（xdx

例如，设z=f（xy,2x+3y，其中f具有二阶连续偏导数：

令u=xy,v=2x+3y，则

∂z∂z

=f1′⋅y+f2′⋅2=yf1′+2f2′，=xf1′+3f2′.∂x∂y

∂2z∂∂

′′⋅x+f12′′⋅3]+2（f21′′⋅x+f22′′⋅3=（yf1′+2（f2′=[f1′+y（f11

∂x∂y∂y∂y

′′+（3y+2xf12′′+6f22′′=f1′+xyf11

注意：

1）解题时，要注意偏导数以及导数的写法．2）其中f1′=

∂f（u,v

∂uu=xy

f1′（xy,2x+3y】与原函数具有相同的复合结构.=fu（xy,2x+3y【即

4

v=2x+3y

第4页共14页

2、隐函数：

1）一个方程的情形：

Fxdy⎧

=−⎪dxFy⎪⎪y=y（x

→⎨隐函数求导法：

方程两边对x求导，注意y=二元方程可确定一个一元隐函数：

F（x,y=0⎯⎯⎯

⎪微分法：

方程两边取微分，Fdx+Fdy=0

xy

⎪⎪⎩

y（x为x的函数

Fy⎧Fx∂z∂z

=−,=−z=z（x,y⎪dxFzdyFz⎪

三元方程可确定一个二元隐函数：

F（x,y，z=0⇒⎨

隐函数求导法：

方程两边对x（或y求偏导,注意z=z（x,y为x、y的函数⎪⎪⎩微分法：

方程两边取微分，Fxdx+Fydy+Fzdz=0⇒dz="

2）方程组的情形：

（隐函数求导法）

⎧y=y（x

⎨

⎩z=z（x

⎧F（x,y,z=0dydz

三元方程组确定两个一元隐函数：

⎨⇒,

对x求导dxdxGxyz（,,=0⎩

四元方程组可确定两个二元隐函数：

{

F（x,y,u,v=0

G（x,y,u,v=0

⎧u=u（x,y⎨

⎩v=v（x,y

⇒

对x（或y求偏导，视y（或x为常量,得

∂u∂v,∂x∂x

（或∂u∂v）

∂y∂y

（四）全微分：

可微函数z=f（x,y的全微分为：

dz=zxdx+zydy.定义为：

∆z[=f（x0+∆x,y0+∆y−f（x0,y0]=A∆x+B∆y+

o（ρ，其中ρ=（五）应用：

1、几何应用：

1）曲线的切线与法平面：

∆

⎧x=x（t⎪

a、若曲线Γ的方程为参数方程：

⎨y=y（t，点M（x0,y0,z0∈Γ↔t=t0，则

⎪z=z（t⎩

G

切向量为T=（x′（t0,y′（t0,z′（t0，

切线方程为

x−x0y−y0z−z0

；==

x′（t0y′（t0z′（t0

法平面方程为x′（t0⋅（x−x0+y′（t0⋅（y−y0+z′（t0⋅（z−z0=0

G⎧y=f（x

，点M（x0,y0,z0∈Γ，则切向量为T=（1,y′（x0,z′（x0，从而可b、若曲线Γ的方程为：

⎨

⎩z=g（x

得切线方程与法平面方程．

⎧F（x,y,z=0

，点M（x0,y0,z0∈Γ，则切向量为c、若曲线Γ的方程为一般方程：

⎨

G（x,y,z0=⎩

第5页共14页

5

GdydzT=（1,y′（x0,z′（x0（利用隐函数求导法，方程两边对x求导，可得,），从而可得切线方程与法

dxdx

GGGGG

平面方程．【另解：

n1=（Fx,Fy,Fz|M，n2=（Gx,Gy,Gz|M，可取切向量为T=n1×n2】

2）曲面的切平面与法线：

a、若曲面Σ的方程为F（x,y,z=0，点M（x0,y0,z0∈Σ，则

法向量为：

n=（Fx（x0,y0,z0,Fy（x0,y0,z0,Fz（x0,y0,z0，

切平面方程为：

Fx（x0,y0,z0（x−x0+Fy（x0,y0,z0（y−y0+Fz（x0,y0,z0（z−z0=0；

法线方程为：

G

x−x0y−y0z−z0

==

Fx（x0,y0,z0Fy（x0,y0,z0Fz（x0,y0,z0

b、若曲面Σ的方程为z=f（x,y，点M（x0,y0,z0∈Σ，则法向量为：

n=（fx（x0,y0,fy（x0,y0,−1，

切平面方程为：

fx（x0,y0（x−x0+fy（x0,y0（y−y0−（z−z0=0；法线方程为：

G

x−x0y−y0z−z0

==

fx（x0,y0fy（x0,y0−1

⎧fx（x,y=0

2、极值：

1无条件：

设z=f（x,y，由⎨解得驻点（x0,y0，

f（x,y0=⎩y

令A=fxx（x0,y0,B=fxy（x0,y0,C=fyy（x0,y0，然后利用A,B,C判定极值与否：

AC−B2>0有极值，A>0极小，A<0极大；AC−B2<0无极值；AC−B2=0用此法无法

判定．注意：

最后必须求出极值．2）条件极值：

z=f（x,y在条件

ϕ（x,y=0下的极值：

构造Lagrange函数，令

⎧Lx（x,y=0⎪

L（x,y=f（x,y+λϕ（x,y，联立方程⎨Ly（x,y=0，其解（x0,y0为⎪ϕ（x,y=0⎩

是否为极值点，一般可由问题的本身性质来判定．

3、方向导数与梯度：

（以二元函数为例）1）、方向导数：

设z=f（x,y可微分，

∂fG

el=（cosα,cosβ，则

∂l

=fx（x0,y0cosα+fy（x0,y0cosβ

（x0,y0

2）梯度：

gradf（x,y=（fx（x,y,fy（x,y，方向导数的最大值为梯度的模，取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向．

三、积分（一求法

1、重积分

I、

二重积分I=

∫∫f（x,ydσ

D

⎧bdxy2（xf（x若D:

⎧⎪

⎨

a≤x≤b⎪[X:

上下]a、直角坐标：

I=

∫∫

f（x,ydxdy=⎪⎨∫a∫y,ydy,1（x

⎩y1（x≤y≤y2（x

D

⎪⎩∫d

c

dy∫x2（y

xf（x,ydx,

若D:

⎧⎪⎨c≤y≤d1（y⎪xx≤x[Y：

左右]

⎩1（y≤2（y

若D既不是X－型也不是Y－型，则适当分割之．

注意：

通过二重积分，可交换二次积分的积分次序，这是一类常考的题型．

⎧⎨

x=ρcosθ

b、极坐标：

IZZZZZZYZZZZZ⎩y=ρsinθ

dσ=ρdρdθ

XZ∫∫f（ρcosθ,ρsinθ⋅ρdρdθ

D

ZZZZZZZZZD:

⎧

⎨

α≤θ≤βYZZZZZZZZ⎩ρ1（θ≤ρ≤ρ2（θ

XZ∫βρ2

（θ

αdθ∫ρ（θf（ρcosθ,ρsinθρdρ

1

II、

三重积分I=

∫∫∫f（x,y,zdv

Ω

a、直角坐标I=

∫∫∫f（x,y,zdxdydz：

Ω

1）投影法：

i）先一后二公式：

IZZZZZZZZZZZZZZZZXYZZZZZZZZZZZZZZZZ

Ω={（x,y,z|z1（x,y≤z≤z2（x,y,（x,y∈Dxy

}

z2（x,y

D∫∫dxdy∫

zf（x,y,zdz

1（x,y

xy

⎧

a≤x≤bΩ:

⎪

⎨y1（x≤y≤y2（xii三次积分公式：

IZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZ⎪⎩z1

（x,y≤z≤z2（x,y

XZ∫bdx∫y2（x

z2

（x,y

ay（xdy∫z1

（x,yf（x,y,zdz

1

2）截面法：

（先二后一公式）IZZZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZZZΩ={（x,y,z|c≤z≤d,（x,y∈Dz}

XZ

∫

d

c

dz∫∫f（x,y,zdxdy

Dz

⎧⎪

x=ρcosθ

⎨y=ρsinθ⎪b、柱面坐标：

IZZZZZZYZZZZZZ⎩

z=zdv=ρdρdθdz

X∫∫∫f（ρcosθ,ρsinθ,z⋅ρdρdθdz

Ω

⎧

α≤θ≤βΩ:

⎪

⎨ρ1（θ≤ρ≤ρ2（θZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZ⎪⎩z1

（ρ,θ≤z≤z2（ρ,θ

XZ

∫β

θ

α

dθ∫

ρ2（θ

ρ1（θ

ρdρ∫

z2（ρz（ρcosθ,ρsinθ,zdz

1（ρ,θ

f

⎧⎪

x=rsinϕcosθ

⎨y=rsinϕsinθ⎪c、球面坐标：

IZZZZZZZZYZZZZZZZ⎩

z=rcosϕdv=r2

sinϕdrdϕdθ

XZ∫∫∫

f（rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosϕ⋅r2sinϕdrdϕdθ

Ω

⎧

α≤θ≤Ω:

⎪

β⎨ϕ1（θ≤ϕ≤ϕ2（θZZZZZZZZZXYZZZZZZZZ⎪⎩r1

（ϕ,θ≤r≤r2（ϕ,θ

ZZZ

∫β

ϕ2（θ

α

dθ∫

ϕϕdϕ（ϕ,θ

1（θ

sin∫

r2r1（ϕ,θ

f（rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosϕr2dr

2、曲线积分

I、第一类（对弧长）：

L:

⎧⎨

x=x（ta、平面曲线：

∫

⎩y=y（t

L

f（x,ydsZZZZZYZZZZZα≤t≤β

X

∫β

α

f[x（t,y（t]（α<β

⎧x=x（t

Γ:

⎪

⎨y=y（tb、空间曲线：

∫

⎪⎩

z=z（tΓ

f（x,y,zdsZZZZZYZZZZZX

β

α≤t≤β

∫α

f[x（t,y（t,z（t]（α<β

II、第二类（对坐标）a、平面曲线：

I=∫LP（x,ydx+Q（x,ydy

i参数法：

IZZZZZZL:

⎧⎨

x=x（t

YZZZZZ⎩y=y（t

β

t由α变到β

XZ∫α{P[x（t,y（t]x′（t+Q[x（t,y（t]y′（t}dt

ii与路径无关：

选取特殊的路径求之，注意条件：

单连通，偏导数处处连续．

定理设函数P（x,y,Q（x,y在单连通区域D内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价：

（1）

∫

L

P（x,ydx+Q（x,ydy在D内与路径无关；

（2）沿D内任意一条闭曲线C，

v∫

C

P（x,ydx+Q（x,ydy=0；

（3）在D内恒有：

∂P∂Q

∂y=

∂x

；（4）P（x,ydx+Q（x,ydy在D内为某函数u（x,y的全微分，即存在函数u（x,y，使得

P（x,ydx+Q（x,ydy=du（x,y．

这里u（x,y可由下列三种方法求得：

①曲线积分法：

u（x,y=

∫

（x,y

（xx,ydx+Q（x,ydy+C；

0,y0

P（②凑全微分法：

利用微分的运算法则，将P（x,ydx+Q（x,ydy凑成d（"，则u（x,y＝（"+C；③偏积分法：

由du=Pdx+Qdy，得ux=P（x,y；

两边对x求偏积分可得u（x,y=P（x,ydx=f（x,y+C（y两边对y求偏导可得uy=fy（x,y+C′（y，再由uy=Q（x,y，可解得C（y，从而得u（x,y．iii）Green公式：

∫

v∫

P（x,ydx+Q（x,ydy=∫∫（

∂Q∂P

−dxdy；不闭则补之．注意条件：

L

D

∂x∂y

偏导数处处连续，L为D的正向边界．

iv）化为第一类：

∫

L

P（x,ydx+Q（x,ydy=∫L

[P（x,ycosα+Q（x,ycosβ]dsb、空间曲线：

I=

∫

Γ

P（x,y,zdx+Q（x,y,zdy+R（x,y,zdz

⎧Γ:

⎪

x=x（t

⎨y=y（ti参数法：

IZZZZZZYZZZZZ⎪⎩

z=z（tt由α变到β

XZ∫β

α

{P[x（t,y（t,z（t]x′（t+Q[x（t,y（t,z（t]y′（t+R[x（t,y（t,z（t]z′（t}

dt

ii*与路径无关：

选取特殊的路径求之，注意条件：

单连通，偏导数处处连续．iiiStokes公式：

cosα

cosβcosγdydzdzdxdxdyv∫

Γ

Pdx+Qdy+Rdz=∫∫

∂∂∂

∂∂∂

Σ

∂x∂y∂zdS=∂x∂y∂z；

或∫∫ΣPQRPQR

不闭则补之．注意方向：

L的方向与Σ的侧符合右手规则．iv化为第一类：

∫

Γ

Pdx+Qdy+Rdz=∫Γ

（Pcosα+Qcosβ+Rcosγds

3、曲面积分

I、第一类（对面积）：

⎧⎪∫∫Df[x,y,z（x,y]Σ:

z=z（x,yI=∫∫

Σ

f（x,y,zdS=⎪xy

⎪

⎨⎪∫∫Df[x,y（z,x,z]Σ:

y=y（z,x

zx⎪⎪⎩∫∫Df[x（y,z,y,z]Σ:

x=x（y,zyz

II、第二类（对坐标）：

I=

∫∫P（x,y,zdydz+Q（x,y,zdzdx+R（x,y,zdxdy

Σ

1）Gauss公式：

w∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫（

∂P∂x+∂Q∂R

Σ

Ω

∂y+∂z

dxdydz若不闭则补之．注意条件：

偏导数处处连续及方向性：

Σ为Ω的整个边界曲面的外侧．2）投影法：

注意垂直性．若不垂直，则

∫∫P（x,y,zdydzΣ:

x=x（y,z±∫∫P[x（y,z,y,z]dydz【前正后负】

Σ

Dyz

∫∫Q（x,y,zdzdxΣ:

y=y（z,x±∫∫Q[x,y（z,x,z]dzdx【右正左负】

Σ

Dzx

∫∫R（x,y,zdxdyΣ:

z=z（x,y±∫∫R[x,y,z（x,y]dxdy【上正下负】

Σ

Dxy

3）化为第一类：

∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫（Pcosα+Qcosβ+RcosγdS

Σ

Σ

4）化为