电场强度为：
（A）（B）（C）（D）
A
7.一内半径为a，外半径为b的驻体半球壳，如图所示，被沿+Z轴方向均匀极化，设极化强度为，球心0处的场强是：
（A）
（B）
（C）
（D）
D
8.内外半径为的驻极体球壳被均匀极化，极化强度为的方向平行于球壳直径，壳内空腔中任一点的电场强度是：
（A）（B）
（C）（D）
B
9.半径为R相对介电常数为的均匀电介质球的中心放置一点电荷q，则球内电势的分布规
律是：
（A）
（B）
（C）
（D）
C
10.球形电容器由半径为的导体球和与它同心的导体球壳所构成，球壳的内半径为,其间半充满相对介电常数为的均匀电介质，另一半为空气，如图所示，该电容器的电容为：
（A）
（B）
（C）
（D）
D
11.
q,
把一相对介电常数为的均匀电介质球壳套在一半径为a的金属球外，金属球带有电量
设介质球壳的内半径为a,外半径为b，则系统的静电能为：
（A）
（B）
（C）
（D）
B
三、填空题
1、如图，有一均匀极化的介质球，半径为R,极
化强度为P,则极化电荷在球心处产生的场强
是（）在球外Z轴上任一点产生
的场强是（）
2、带电棒能吸引轻小物体的原因是（）。
轻小物体由于极化在靠近带电棒一端出现与带电棒异号的极化电荷
3、附图给出了A、B两种介质的分界面，设两种介质
A、B中的极化强度都是与界面垂直,且,当
取由A指向B时，界面上极化电荷为（）号。
当由B指向A时，界面上极化电荷为（）号。
4、如果电介质中各的（）相同，这种介质为均匀电介质。
如果电介质的总体或某区域
内各点的（）相同，这个总体或某区域内是均匀极化的。
5、成立的条件是（）。
介质为均匀介质
6、在两种不同的电介质交界面上，如果交界面上无自由电荷，则=（）。
7、介质中电场能量密度表示为只适用于（）介质。
适用于（）
介质。
各向同性的均匀线性线性
8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S,极反间距为L,板间介电常数为）
然后使电容器充电至电压U。
在这个过程中，电场能量的增量是（）。
9、平行板电容器的极板面积为s，极板间距为d中间有两层厚度各为的均匀介质（）,它们
的相对介电常数分别为。
（1）当金属板上自由电荷的面密度为时，两层介质分界面上极化电荷的面密度=（）。
（2）两极板间的电势差（）。
（3）电容C=
（）。
10、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电介质，相对介电常数分别为。
极板面积为A,两极板的间距为2d，略去边缘效应，此电容器的电容是（）。
11、无限长的圆柱形导体，半径为R沿轴线单位长度上带电量入，将此圆柱形导体放在无
限大的均匀电介质中，则电介质表面的束缚电荷面密度是（）。
b,导线与圆筒间充满介
-入，略去边缘效应，
半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为电常数为的均匀介质，沿轴线单位长度上导线带电为入，圆筒带电为
13、一圆柱形的电介质截面积为S,长为L,被沿着轴线方向极化，已知极化强度沿X方向,
且P=KX（K为比例常数）坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示则极化电荷的体密度（）
在X=L的端面上极化电荷面密度为（
极化电荷的总电量为（）。
14、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为（）。
0
四、问答题
1、电介质的极化和导体的静电感应，两者的微观过程有何不同？
答：
从微观看，金属中有大量自由电子，在电场的作用下可以在导体内位移，使导体中的电荷重新分布。
结果在导体表面出感应电荷。
达到静电平衡时感应电荷所产生的电场与外加电场相抵消，导体中的合场强为零。
导体中自由电子的宏观移动停止。
在介质中，电子与原子核的结合相当紧密。
电子处于束缚状态，在电场的作用下，只能作一微观的相对位移或者它们之间连线稍微改变方向。
结果出现束缚电荷。
束缚电荷所产生的电场只能部分地抵消外场，达到稳定时，电介质内部的电场不为零。
2、为什么要引入电位移矢量D?
E与D哪个更基本些？
答：
当我们研究有电介质存在的电场时，由于介质受电场影响而极化，出现极化电荷，极化
电荷的场反过来改变原来场的分布。
空间任一点的场仍是自由电荷和极化电荷共同产生即：
因此，要求介质中的，必须同时知道自由电荷及极化电荷的分布。
而极化电荷的分布取决于介质的形状和极化强度，而,而正是要求的电场强度。
这样似乎形成计算上的循环，为了克服这一困难，引入辅助量。
由知，只要已知自由电荷，原则上即可求，再由求。
故更基本些。
3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中，极板平面与液面平行，当电容器与电源连
接时会产生什么现象？
为什么？
答：
当电容器与电源连接时，电容器将离开电介质。
这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷，当其中一极板平面与液面平行时，由于介质极化，该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。
且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。
五、证明题
1、一个半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为，试证明球心和无穷远处的电势差是：
证明：
当时以球心为心，为半径作球面（高斯面）
如图虚线所示，由对称性和的高斯定理得
由得
当时取高斯面如图虚线所示，同理得
取无限远处电势为零，则球心与无限远处的电势差等于球心电势。
根据电势与场强的关系得
六、计算题
1将一个半径为a的均匀介质球放在电场强度为Eo的均匀电场中；电场E）由两块带等量异
号电荷的无限大的平行板所产生，假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布，介质的相对介电常数为£r,
（1）求介质小球的总电偶极矩
（2）若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球（并设E0不变），求
导体球上感应电荷的等效电偶极矩。
解：
（1）均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化，故只有球面上有极化电荷，设极化电荷面密度为，在球心产生的电场强度为，则球心的场强为
……①
如图1-1因
……②
由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场，所以根据对称性可得球内的场强为
图1-1
……③
其方向与方向相反所以
……④
根据与的关系
由④、⑤式得
由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为
⑥
（2）将导体球放在均匀电场中，导体球感应电荷面密度为余弦分布，如图1-2所示设
根据对称性则球内的场强为
……⑦
其方向与方向相反
由静电平衡条件得
图1-2
……⑧
在球面上取一电偶极子，电量为偶极子臂为，根据对称性，元电偶极矩为
……⑨
由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为
2、一圆柱形电介质长为L,其横截面的半径为R,被沿着轴线方向极化，极化强度（k为
常数），设坐标原点0在介质圆柱内左端面的中心，此外无其它电场源，试求：
（1）在介质圆柱中心一点的电场强度E和电位移D;
（2）在坐标原点0处的电场强度E和电位移Db
解：
极化电荷的体密度为
即介质内均匀地分布差负的体极化电荷，在的端面上的极化电荷面密度为
在的端面上的极化电荷密度为
（1）在圆柱中心体极化电荷不产生场，只有在X=L处而极化电荷产生场，根据均匀带电圆
盘轴线上的场强公式得
由电位移矢量定义式得中心处的为
（2）在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。
在距原点处，取一圆盘，厚度如图所示，其上电量为
圆盘上电荷面密度为
该圆盘在原点O处产生的电场为
体极化电荷在原点0处产生的电场强度为
面极化电荷在原点0处产生的电场强度为
原点处电位移矢量为
3、一块柱极体圆片，半径为R,厚度为t，在平行于轴线的方向上永久极化，且极化是均匀
的，极化强为P，试计算在轴线上的场强E和电位移D（包括圆片内外）。
解：
在垂直x轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷，如图所示，其面密度为对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面，圆片内电场强度为电位移矢量为
对圆片内外轴线任一点而言，两表面相当于均匀带电圆盘。
在距原点处，正负带电圆盘产生的场强分别为
该处的总电场强度为
因为t很小，用台劳级数将上式在t=0处展开，取前两项
取
则有
所以
电位移矢量为
4、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷
的空穴。
由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图如示），称为阻
挡层。
现设半导体材料的相对介电常数为，结外电荷体密度，结内电荷的体分布为式中e
为电子电量，k为常数，试求p-n结内电场强度和电势的分布，并画出、和随变化的曲线。
解：
建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点处取宽度为的无限大平面，该平面电荷密度为
该带电平面在结内P点产生的场强为
0B区电荷在P点产生的场强为
图4-1
所以
0P区电荷在P点产生的场强为图4-2
所以
PA区电荷在P点产生的场强为图4-3
所以
图4-4
由叠加原理得P点的总场强为
场强随变化曲线如图4-3所示
由高斯定理知，结外的场强为
在结内任意点P的电势为
电势随变化曲线如图4-4所示，结内电荷体密度随变化曲线如图4-2所示。
5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷
的空穴。
由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在
结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平
衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图5-1所示），称
为阻挡层。
现设半导体材料的相对介电常数为，如果电荷的体分布为
n区：
（突变结）
p区：
式中是常数，为电子数且，其中各为p区和n区的厚度，试求结内电场强度和电势的分布并画出、和随变化的曲线。
解：
建立坐标轴，如图5-1所示，在P区内距原点处找一个考察点P,P点的场强由三部分
即B0段、0P段和PA段体分布电荷产生的。
每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成
的，其电荷面密度为
图5-1
由得
图5-4
所以，P点的总场强为
图5-5
取原点电势为零，由电势定义得
在n区内取一点P,如图5-2所示同理得各段在P点的场强为
所以，P点的总场强为同理可得P点的电势为
画出、和随变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示
6、平行板电容器的极板面积为S,间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。
介质的相对介电常数£r在一极板处为£rl,线性地增加到另一极板处为£r2。
略去边缘效应。
（1）求这电容器的电容C；
（2）当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。
解：
（1）建立坐标轴，如图所示
设，
则
由此得
因此板间任一点的介电常数为
厚度
将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成，如图所示，取距坐标原点为，
为一个电容元，该电容元的电容为
其倒数为
积分得
所以
（2）作一圆柱形高斯面S,如图中虚线所示，由介质中的高斯定理，得电位移矢量为
由与的关系和根据电位移矢量定义式得，极化强度为
极化电荷体密度为
正极板处的极化强度为板表面上的极化电荷面密度为
负极板处的极化强度为板表面上的极化电荷面密度为
7、一半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介
质，在离球心为r处介质的相对介电常数（A为常数）。
如果内球带电荷Q外球壳接地,试求：
（1）在电介质中离球心为r处的电势；
（2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度；
（3）介质中极化电荷的总量。
解：
（1）根据对称性，以球心为心，为半径在介质内作球面（高斯面），由的高斯定理得
所以
因球壳的电势为零，故有
（2）半径为球面上的极化强度为
该表面上极化电荷面密度为
半径为的球面上的极化强度为
该表面上极化电荷面密度为
半径为球面上的极化强度为
介质内极化电荷体密度为
（3）介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即
8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿，可以在金属球表面上均匀地涂上一层石蜡。
设球的半径为1cm,空气的击穿场强为，石蜡的击穿场强为，其相对介电常数为，问为使球的电势升到最高，石蜡的厚度应为多少？
其中球的电势之值是多少？
解：
设金属球带电量为Q由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为
……①
……②
取，代入上两式，得介质球壳内外表面的最大场强为
……③
……④
由③式和④式联立得
……⑤
……⑥
将已知数值代入⑥式得
由电势与场强积分关系得
……⑦
将代入⑦式得
……⑧
将已知数据代入⑧式得
9、如图所示的圆柱形电容器，内圆柱的半径为Ri，与它同轴的外圆筒的内半径为艮，长为
L、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质，分界面的半径为R,它们的相对介电常数分
别为，设两导体圆筒之间的电势差略去边缘效应，求：
介质内的电场强度。
解：
设充电后，单位长度的电量为，由对称性和介质中的高斯定理得
由与的关系得两介质内的场强分别为
……①
……②
圆筒之间的电势差为
……③
由③式得导体圆筒电荷的线密度为
……④
将④式分别代入①式和②式，得介质内的场强分别为
10、为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外导体间电场强度变化，这叫分段绝缘。
图中所示是这种电缆的剖面图。
若相对介电常数的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上带电量为。
试求：
（1）各层内的电场强度；
（2）各层电场强度极大值；（3）在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常数值？
解：
（1）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为
根据知，介质中离轴心分别为处的电场强度为
（2）当分别等于时，各层电场强度为极大值，其值为
（3）当时，有
所以常数时，常数
11、平行板电容器的两极板相距为a,极板面积为S,两极板之间填满电介质，绝对介电常数按下列规律变化，x轴的方向与平板垂直，x轴的原点在一块极板内表面上，若已知两极板间电势差为U,略去边缘效应，求电容及束缚电荷分布。
解：
在距原点为处取一厚度为的平行板电容器,其元电容为
其倒数为
积分得
所以
极板上的自由电荷为
由如图虚线所示作高斯面,由高斯定理得板内的电位移矢量为
板内的场强为
板内的极化强度为
在介质表面上,束缚电荷面密度为在介质表面上束缚电荷面密度为
介质中束缚电荷体密度为
12、一空心的电介质球，其内半径为R，外半径为R2，所带的总电荷量为Q,这些电荷均匀分布于Ri和R2之间的电介质球壳内。
求空间各处的电场强度。
介质的相对介电常数为
解：
由对称性和高斯定理得
当r>R1时E=0
当时
所以
当时
所以
13、今有A、B、C三导体板互相平行地放置，ABBC之间的距离均为之间充满相对介电常数为的介质，AB之间为真空，今使B板带+Q试求各导体板上的电荷分布。
忽略边缘效应。
解：
AB板和B、C板各组成电容器，其电容分别为
取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理得
由D的法线连续性Di=D2=D得
再根据得
由此可得AB之间和BC之间的电势差为
A、B极板所带电量为
B、C极板所带电量为
由电荷守恒定律知
A、C板的内侧带-Q/2电荷，外侧带Q/2电荷。
B板两侧各带Q/2电荷。
14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，电场强度为E的大小为220V/cm,其方向是
指向瓷板且与它的表面法线成角。
设瓷板的相对介电常数，求：
（1）瓷板中的场强；
（2）瓷
板表面上极化电荷面密度。
13-1所示。
解：
均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为，如图
在板内，极化电荷产生的电场强度为……①
式中为表面外法线方向上的单位矢量根据场强叠加原理，板内的电场强度为
以上三者关系如图13-2所示，由图可知
……②
极化电荷电密度为
图13-1
整理上式得
……③
将已知数据代入③式得
图13-2
15、在相对介电常数为的煤油中，离煤油表面深度h处，有一带正电的点电荷q,如将煤油
看作为无限大均匀介质，：
求
（1）在煤油表面上，该电荷的正上方A点处的极化电荷面
密度；
（2）在煤油表面与点电荷相距r处的B点的极化电荷面密度；（3）煤油表面极化电荷的总量。
解：
（1）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷,煤油表面出现正的极化电荷。
（如图）在煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少，A
点附近的液面两边的场强法向分量,可用叠加原理求得
在空气中
在煤油中
由边界条件,即,得
整理上式得
2）同理，B点附近的液面两边场强法向分量为
在空气中在煤油中
由边界条件，得整理上式得
3）以A点为圆心，在液面上距A为处选一小圆环，设小圆环边缘离q的间距为r。
显然，小圆环面积，小圆环上极化电荷为
所以
16、两个相同的空气电容器，电容都是900uF,分别充电到900V电压后切断电源，若把一
个电容器浸入煤油中，（煤油的介电常数=），再将两电容并联。
（1）求一电容器浸入煤油过程中能量的损失；
（2）求两电容器并联后的电压；
（3）求并联过程中能量的损失。
（4）问上述损失的能量到那里去了？
解：
（1）电容器极板上的电量为
电容器在空气中的储蓄的能量为
能量损失为
（2）并联后总电容为
并联后总电量为
所以并联后电压为
3）并联前的能量：
并联后的能量：
并联过程中的能量损矢为
4）损失的能量转化为介质的动能，最后通过磨擦转化为热能（内能）。
17、一平行板电容器的极板面积为S,间距为d（d2<设在t=0时，给两极板各充上电量+Q和-Q,然后撤去电源。
试求：
（1）t=0时刻介质内的电场强度；
（2）t=t时刻介质内的传导电流；（3）t=0ft=g过程中，从介质内释放的总焦耳热。
解：
（1）时刻，极板上的电量仍然为Q由高斯定理知，此时板内电位移矢量为
电场强度为
（2）由欧姆定理的微分形式知，时刻有
其中，而所以
由初始条件，，解微分方程得
所以时刻介质内的传导电流为
（3）由焦耳定律得
所以介质释放的总焦耳热为
18、一个圆柱形电容器的内圆筒的半径为Ri,外圆筒的内半径为F2，筒长L>>R，在Ri和之
间的空间填满长为L、相对介电常数为的圆筒形均匀电介质，其余的容积是空气间隙，如图
18-1所示。
假设电容器两极与一电源相连而维持其电势差为U,试求将介质圆筒抽出该电容
器所需作的机械功？
解：
把圆住形电容器看成两个电容器串联而成,如图18-2所示根据圆柱形电容器电容公式知,每个电容器电容为
根据电容器串联性质得
图18-1
所以,总电容为
图18-2
当介质抽出距离时,如图18-3所示,把电容器看作两个电容器并联,如图18-4所示其中
所以
图18-3
电容器储存的能量为
由虚功原理得
图18-4
外力作功为
另解：
介质全部抽出时，电容器的能量为
介质未抽出时，电容器的能量为
根据功能关系知，全部抽出介质时，外力所作的机械功为
19、一平行板电容器由两块平行的矩形导体平板构成，平板宽为b,面积为S,两板间距为d,
设两极板间平行地放一块厚度为t、大小与极板相同、相对介电常数为的电介质平板，两极板所带的电量分别为+Q和-Q。
现将介质平板沿其长度方向从电容器内往外拉，以至它只有长度为x的一段还留在两板之间。
（1）问这时介质平板受到的电场力的方向如何？
（2）试证明，这时介质平板受到的电力为
其中（忽略边缘效应）
解：
（1）在电场中
升级会员 