曲线运动运动的合成和分解.docx

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曲线运动运动的合成和分解

曲线运动　运动的合成和分解 

   学习要求

   1、理解运动的合成与分解是解决实际问题中的一种很便利的方法。

   2、理解同一直线上的运动的合成。

   3、能够用运动合成与分解的知识解决有关问题、解释有关现象。

　　学习目的：

（1）掌握曲线运动的特点和条件

（2）掌握运动的合成与分解的一般方法

　　学习重点：

（1）曲线运动的特点和条件

（2）运动的合成和分解

学习前测试

   1、关于运动的合成与分解的下列说法中，正确的是（） 

   A、合运动的位移是分运动的位移的矢量和 

   B、合运动的速度一定比其中一个分速度大 

   C、合运动的时间为分运动时间之和 

   D、合运动的速度方向一定与合运动位移方向相同 

   2、小船要由河南岸渡到河北岸，已知水向东流，速度为10m/s，船对水的速度是20m/s。

现在要想在最短的时间内到达北岸，船与水流方向应保持的夹角是（）

   A、120°B、150°C、60°D、90°

   3、小船在静水中的速度是3m/s，要想使小船垂直横渡流速是1.5m/s的河，则小船应向与上游河岸成角的方向开出。

若小船垂直横渡这条河所用的时间为2min30s，则河宽是m。

若要使小船渡河的时间为最短，则小船应向与上游河岸成角方向开出，到达对岸时，小船沿河岸漂下m.

   学习前测试参考答案

   1、A2、D3、60°，390m，90°，195m。

　　学习内容：

   1、知道什么是运动的合成与分解

   运动的合成：

（1）已知分运动的位移求实际的位移

（2）已知分运动的速度求实际运动的速度

   （3）已知分运动的加速度求实际运动的加速度

   2、运动的合成与分解的计算

   遵从矢量运算法则，即平行四边形法则。

运动的合成与分解互为逆运算。

   3、运动的独立性    

   一个物体同时参与两个或两个以上的运动时，其中任何一个运动都按其本身的规律进行，不会因为有其它运动的存在、其它运动的改变而本身的运动规律。

   4、运动的等时性

   实际运动与分运动是同时开始、同时结束的，所以分运动与实际运动时间相等。

   本结讲解

　　一、曲线运动

　　1、曲线运动的特点

　　在曲线运动中，运动质点在某一点的即时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。

因此，质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

（但是，变速运动不一定是曲线运动。

）

　　2、物体做曲线运动的条件

　　物体所受合外力的方向与物体的速度方向不在一条直线上

　　二、运动的合成与分解

　　1、运动的独立性

　　一个物体同时参与几个分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其他方向的运动是否存在而受到影响。

这是运动的合成与分解的理论基础。

　　整体的合运动是各分运动决定的总效果，它与各分运动之间是等效代替的关系。

合运动与分运动之间遵循等时性，即合运动与各分运动所需的时间相同。

　　2、运动的合成：

加速度、速度、位移都是矢量，其合成要遵循平行四边形法则，如图所示。

　　3、合运动的性质与轨迹

　　两直线运动的合成，合运动的性质与轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系来决定。

（1）两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动

（2）两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然为匀加速直线运动

　　（3）两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动轨迹可能为直线，也可能为曲线

　　4、运动的分解：

是运动合成的逆过程

　　分解的原则：

根据运动的实际效果或进行正交分解

　　例如：

人用绳通过定滑轮拉物体A，人以速度v0匀速前进。

当绳与竖直方向的夹角为θ时，求物体A的速度vA。

　　首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系。

物体A的运动（即绳的末端的运动）可看做两个分运动的合成：

一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动v1，它不改变绳长，只改变角度θ的值。

这样就可以将vA按图

示方向进行分解，很容易求得物体A的速度

。

当物体A向左移动，θ将增大，vA逐渐变大。

虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。

　　在进行速度分解时，要分清合速度与分速度。

合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线。

虽然分速度的方向具有任意性，但按实际作用效果分解时，就可以得出vA与v0的正确关系，因此分速度方向的确定要视题目而具体分析。

   例题分析

第一阶梯

   [例1]小汽艇在静水中速度为12km/h，河水流速是6.0km/h，如果驾驶员向着垂直河岸的方向行驶，小汽艇在河水中的实际速度多大？

   提示：

   在流动的河水中开动小汽艇，小汽艇在相对于水以12km/h的速度运动的同时，还将随着河水漂流，这就是小汽艇同时参与的两个运动。

小汽艇在河水中运动的实际速度，就是这两个运动的合运动。

   参考解答：

   设小汽艇在静水中的速度为v1，河水流速为v2。

根据题意画出小汽艇同时参与的两个分运动的矢量图，如图所示。

小汽艇在河水中运动的实际速度，即为这两个分运动速度矢量的合成。

   由矢量图根据平行四边形定则，可求出小汽艇的实际速度大小为：

v=

=13.4km/h。

   小汽艇实际运动方向与下游（v2方向）的夹角为θ，则由图可知，tanθ=12/6=2，所以θ=63.4°。

   说明：

   从本题的解答过程可看出，要求解速度矢量，通常要用到如上图所示的矢量图，这是我们进行计算的基础。

另外，对于速度矢量的计算，要特别注意在计算出其大小之后，还要计算速度的方向。

   [例2]小船在静水中的速度v1=5m/s，该小船现要渡过水流速度v2=4m/s的河，问船头沿什么指向渡河最省时间。

   提示：

   小船渡河的快慢只取决于小船相对于垂直河岸方向的速度，因此在河宽一定的条件下，要使小船渡河时间最短，则需要小船沿垂直河岸的方向的分速度最大即可。

   参考答案：

   要使小船渡河时间最短，要求小船沿垂直于河岸的分速度最大。

由于河水的速度方向沿河岸方向，所以小船实际运动中沿垂直河岸方向的分速度完全由小船的速度来决定。

由图所示的矢量图可看出，随着小船行驶方向与河水流速方向之间夹角的减小，小船实际运动沿垂直河岸方向的分速度也在减小，所以要使小船沿垂直河岸方向的速度最大，则必须使小船沿垂直河岸方向开出。

   说明：

   小船沿垂直河岸方向开出，并不意味着小船将沿垂直河岸方向运动。

因为小船将同时参与两个运动，根据如图2所示的速度矢量的平行四边形，我们不难看出，此时小船运动的实际方向应与河水流速方向成θ角，且tanθ=v船/v水=5/4。

第二阶梯

   [例1]某小船在流动的河水中的速度为v1，河水流动的速度为v2。

讨论分析v1与v2满足什么样的关系，小船才能够垂直河岸过河。

   提示：

   要想使小船垂直河岸过河，则要求小船的实际运动方向沿垂直河岸的方向，即小船的合速度方向垂直河岸。

   参考解答：

   根据题意可知，小汽艇在静水中的速度为v1，方向待定；河水流速为v2，方向沿河岸方向。

要使小船的合速度方向沿垂直河岸方向，我们可以画出如图1所示的矢量图。

由于要使v的方向与v2的方向垂直，我们可画出如图2所示的各种可能的v1的情况。

   由图2可直观的看出，要使v1与v2的合速度沿垂直于v2的方向，则v1应沿河水流动的反方向向上游开出，且v1与v2的反方向夹角越小，所需要的v1的值也就越小，但同时船的合速度也就越小。

   因此，要使船的合速度能沿垂直河岸的方向，则要求v1要大于v2。

   说明：

   本题也可以用矢量的三角形法则进行分析，如图3所示。

由于v1是三角形的斜边，v2是三角形的直角边，所以必有v1大于v2。

   [例2]小船在静水中的速度v1=2m/s，河水流动的速度为v2=4m/s，河宽为50m，求小船过河时的最小位移。

   提示：

   要使小船过河的位移最小，则小船的合速度应沿垂直河岸方面。

但由于v1小于v2，根据上面单元1的例题我们可以知道，此时小船不可能沿垂直河岸方向过河。

这就只能要求小船的合速度方向与河水流动的速度方向夹角尽量大一些。

   参考解答：

   为确定出小船向哪个方向运动时，其合速度与河岸之间的夹角最大，我们可以画出如图所示的矢量合成的三角形。

   由图可直观的看出，船沿OA方向运动时其速度方向与水流方向夹角最小（即与河岸方向夹角最小），其过河时所通过的位移也最小。

   根据图中的几何关系可知，

，所以小船过河时所通过的位移为：

=100m。

   说明：

   从本题的解答过程可看出，小船合运动的速度的方向实际上就是其真实运动的位移方向。

另外，通过本题的解答，我们可以看出矢量的平行四边形图，特别是三角形图，对我们分析、研究问题中是十分重要的。

第三阶梯

　　例1、一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示。

如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。

　　分析：

设河宽为d，河水流速为v1，船速第一次为v2，第二次为v’2，（v2、v’2大小相同，方向不同）船两次运动速度合成如图所示，由题意有：

　　d＝v2·t1=v’2·sinα·t2　　①

　　SBC=v1·t1　　②

　③

　　三式联立，代入数据可求得：

河宽d=200m

　　附：

对小船渡河的两种典型情况，要能熟练掌握并画出其运动合成的矢量图，并应用其解决问题。

　　例2、一条宽为d的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，问：

（1）要使船划到对岸时的时间最短，船头应指向什么方向？

最短时间为多少？

（2）要使船划到对岸时的航程最短，船头应指向什么方向？

最短航程是多少？

　　分析：

船在河流中航行时，由于河水流动要带动船一起运动，船的实际运动是船在静水中的运动和船随水漂流的运动的合运动。

所以，船的实际运动速度v是v2与v1的矢量和。

（1）当船头垂直指向对岸时，船在静水中的航速v2垂直对岸，则船相对于水的分运动的位移最短，运动所需时间最短，如图所示。

　　最短时间tmin=

（2）当v2>v1时，船头斜向上游与岸夹角为θ，船速v可垂直河岸，此时航程最短为d，如图所示，cosθ=

，即船头指向斜上游、与岸夹角θ=arcos

。

　　当v2

设航程最短为s，则由图可知

，所以

船头指向斜上游，与岸夹角θ=arccos

。

　　当v2=v1时，如图所示，θ越小α越大航程越短，由图可知β=

，而

，所以

。

此时船头指向斜上游，与岸夹角为θ，航程 

，θ越小航程越短。

当θ＝0时，s有最小值，等于d。

但此时船速v＝0，渡河已经没有实际意义。

所以，s只能无限趋近于d。

　　课后练习：

　　1、关于物体做曲线运动的条件

　　A、初速度不为零的质点，受到与初速度的方向不在一条直线上的外力作用

　　B、质点受到合外力作用

　　C、质点在恒力作用下，不可能做曲线运动

　　D、质点受到的外力与加速度有一夹角

　　2、关于两个运动的合成，下列说法中正确的是

　　A、两个直线运动的合运动一定是直线运动

　　B、两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动是直线运动

　　C、互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动

　　D、两个分运动时间一定与合运动时间相同

　　3、下列说法中，错误的是

　　A、速度的方向总是沿着物体运动轨迹的切线方向

　　B、各种曲线运动都是变速运动

　　C、做曲线运动的物体，其加速度不可能为零

　　D、加速度的方向与速度方向总在一条直线上

　　4、一小船以恒定速度垂直向对岸划去，当河水不流动时，渡河时间为t1；当河水匀速向下流动时，渡河时间为t2，则

　　A、t1>t2　B、t1

　　5、一条河宽400m，船在静水中的速度是4m/s，水流速度为5m/s，则

　　A、该船一定不能垂直河岸横渡到对岸

　　B、当船头垂直河岸横渡时，过河所用时间最短

　　C、当船头垂直对岸横渡时，船对水的位移最短，为400m

　　D、该船横渡到对岸时，船对岸的最小位移为400m

　　答案：

　　1、A　2、BCD　3、D　4、C　5、ABC

测试

　　选择题

　　1、下列说法正确的是（　　）

　　A、两匀速直线运动合运动的轨迹必是直线

　　B、两匀变速直线运动合运动的轨迹必是直线

　　C、一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是曲线

　　D、几个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线

　　2.关于运动和力，下列说法中正确的是：

　　A、物体运动的方向总与它所受合外力的方向一致。

　　B、物体的加速度的方向总与它所受合外力的方向一致。

　　C、原来受力平衡的物体，突然失去某一外力时，一定会产生加速度，加速度的方向与失去的那个力的方向相同。

　　D、物体所受的合外力越大，它的速度就越大。

　　3、小船在静水中速度是v，今小船要渡过一条河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行到河中间时，水流速度增大，则渡河时间与预定的时间相比（　　）

　　A、不变　B、减小　C、增加　D、无法确定

　　4、一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两力不变，此物体可能做（　　）

　　A、匀加速直线运动　B、匀减速直线运动　C、类似于平抛运动　D、匀速圆周运动

　　5、某人骑自行车以10米/秒的速度在大风中向东行驶，他感到风正以相当于车的速度从北方吹来，实际上风的速度是（　　）

　　A、14米/秒，方向为南偏西45°　B、14米/秒，方向为东偏南45°

　　C、10米/秒，方向为正北　　　　D、10米/秒，方向为正南

答案与解析

　　答案：

　　1、AD　2、B　3、A　4、ABC　5、B

　　解析：

　　1、

　　物体做曲线运动的条件是所受的合力方向与初速度方向不在一条直线上。

物体做匀速运动时，合外力为零，两个匀速直线运动合成时合外力仍为零，物体仍做匀速直线运动。

A正确。

物体做匀变速直线运动时，受到的是恒力，两个匀变速直线运动合成时的合外力也是恒力，这个恒力与初速度方向不在一条直线上时，运动的轨迹就是曲线运动。

B错。

当两个分运动在一条直线上时，即合力与初速度在一条直线上，合运动的轨迹仍是一条直线。

C错。

几个初速度为零的匀变速直线运动合成时，合外力是一恒力，由于初速度为零，所以一定沿合力方向运动，其轨迹一定是一条直线。

D对。

　　3、

　　小船同时参与两个运动。

一个是以水流速度向下游漂移，一个是以恒定的船速v向对岸行驶。

渡河时间由后一运动决定，即由河宽d和速度v决定，

，根据运动的独立性原理，各分运动都互不干扰。

水流速度增大，只能使小船向下游漂移的速度增大，而对垂直河岸的分运动没有影响，渡河时间不变。

A对。

　　4、

　　一个物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，这三个力的合力一定为零，撤去其中一个力后，另两个力的合力与撤去的力大小相等、方向相反，一定是个恒力。

若这个恒力方向与原运动方向一致，物体做匀加速直线运动；若这个恒力方向与原运动方向相反，则物体做匀减速直线运动；若这个恒力方向与原运动方向成90°角时，其运动就类似于平抛运动。

所以说，A、B、C三种情况是可能的。

物体做匀速圆周运动所需的合外力必须是大小恒定、方向总是指向圆心的变力，而此恒力不能满足其要求，所以不可能做匀速圆周运动。

D错。

　　5、

　　人感觉到的风速是风相对车的速度，是风的一个分速度v2，大小是10米/秒，方向向南，风还有一个与车速相同的分速度v1，方向向东，大小为10米/秒，这个分速度相对车静止，所以人感觉不到。

实际的风速是由v1和v2合成的

=14米/秒

　　其方向

　　θ=45°

　　所以应选择B。

学习后测试

   1、一只船沿垂直于河岸方向，以恒定的速度渡河。

当船运动到河中央时，河水的流速突然增大，则船渡河时间的变化情况是（）

   A、增大B、不变C、减小D、无法确定 

   2、关于运动的合成和分解，下述说法中正确的是：

（ ）

   A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和 

   B．物体的两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动 

   C．合运动和分运动具有同时性

   D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动 

   3、一船在静水中的速率为3m/s，要横渡宽为30m、水的流速为4m/s的河流，下述说法中正确的是（ ）

   A、此船不可能垂直到达正对岸B、此船不可能渡过此河

   C、船相对地的速度一定是5m/sD、此船过河的最短时间为6s

   4、人站在匀速行驶的自动扶梯上，经过时间t1恰好到达楼上。

如果自动扶梯不动，而人沿扶梯匀速向上走，则需要时间t2。

若自动扶梯运动，人也沿楼梯行走，则到达楼上所用的时间为。

   5、某人驾船从河岸A处出发横渡，如果他使船头保持跟河岸垂直的方向航行，经10min到达对岸下游120m处的C点；若他使船逆流而行，保持跟河岸成α角的方向航行，经过12.5min恰好到达对岸的B处，如图所示，则河宽为m。

   学习后测试参考答案：

   1、B2、C3、A4、t1t2/（t1+t2）5、200