高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧 1.docx

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高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧1

高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：

设曲线上两点为（x1,y1），（x2,y2），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：

（1）x2

a2

+

y2

b2

=1（a>b>

0）与直线相交于A、B，设弦AB中点

为M（x,y），则有x0+y0k=0。

00

2

2

ab

（2）x2

a2

-

y2

b2

=1（a>0,b>

0）与直线l相交于A、B，设弦AB

中点为M（x,y）则有x0-y0k=0

00

2

2

ab

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为

M（x0,y0）,则有2y0k=2p,即y0k=p.

典型例题给定双曲线x2

-

y2=。

过A（2，1）的直线

1

2

与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形

问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P（x,y）为椭圆x2+y2

=1上任一点，F（-，

a2b2

1c,0）

F2（c,0）为焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β。

（1）求证离心率e=sin（α+β）；

sinα+sinβ

（2）求|PF|3+PF|3的最值。

12

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大

曲线的定义去解。

典型例题

抛物线方程y2=p（x+1）（p>0），直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

（1）求证：

直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f（t）的表达式。

（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a

的范围，即：

“求范围，找不等式”。

或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于

（2）首

先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：

“最值问题，函数思想”。

最值问题的处理思路：

1、建立目标函数。

用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；

2、数形结合，用化曲为直的转化思想；

3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；

4、借助均值不等式求最值。

典型例题

已知抛物线y2=2px（p>0），过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，

|AB|≤2p

（1）求a的取值范围；

（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。

若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

M

已知直角坐标平面上点Q（2，0）

N

和圆C：

x2+y2=1,动点M到圆C的

OQ

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切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

（6）存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：

求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

（当然也可以利用韦达定理并结合判别式

来解决）

典型例题已知椭圆C的方程x2+y2

=1，试确定m的取值

43

范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于直线对称

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用

k1·k2=

y1·y2

x1·x2

=-1来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P（-2,0），抛物线

C:

y2=4（x+1），直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

（1）求k的取值范围；

（2）直线l的倾斜角θ为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

四、解题的技巧方面：

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。

事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。

下面举例说明：

（1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理

解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，

并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。

（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线

y=x+1相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=10，求此椭圆

2

方程。

（3）充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

1

典型例题求经过两已知圆C：

x2+y2-4x+2y=0和

C2：

x2+y2-2y-4=0的交点，且圆心在直线l：

2x+4y-1=0上

的圆的方程。

（4）充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换

法。

典型例题P为椭圆x2+y2=上一动点，A为长轴的右端

a2b21

点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

（5）线段长的几种简便计算方法

①充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：

把

直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中，得到型如

AB

ax2+bx+c=0的方程，方程的两根设为x，x，判别式为△，

则|AB|=

1+k2·|x

A-xB|=

1+k2·△，若直接用结论，能减少

|a|

配方、开方等运算过程。

例求直线x-y+1=0被椭圆x2+4y2=16所截得的线段

AB的长。

②结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

x2y2

例F1、F2是椭圆25+9

=1的两个焦点，AB是经过F1的

弦，若|AB|=8，求值|F2A|+|F2B|

③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，

点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标。

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：

1.直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：

点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率k=tanα,α∈[0,π）

Ax0+By0+C

A2+B2

②点到直线的距离d=③夹角公式：

k2-k1

1+k2k1

tanα=

（3）弦长公式直线y=kx+b

上两点

A（x1,y1）,B（x2,y2）

间的距离：

1+k2

AB=x-x

12

（1+k2）[（x+x）2-4xx]

12

12

=或AB=

1+1

k2

y-y

12

（4）两条直线的位置关系

①l1⊥l2⇔k1k2=-1②l1//l2⇔k1=k2且b1≠b2

2、圆锥曲线方程及性质

（1）、椭圆的方程的形式有几种？

（三种形式）

标准方程：

x2+y2=1（m>0,n>0且m≠

n）

mn

（x+c）2+y2

（x-c）2+y2

距离式方程：

+=2a

参数方程：

x=acosθ,y=bsinθ

（2）、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：

x2+y2=⋅<

1（mn0）

mn

（x+c）2+y2

（x-c）2+y2

距离式方程：

|-|=2a

（3）、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b2

椭圆：

；双曲线：

；抛物线：

2paa

（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

x2

如：

已知F1、F2是椭圆4

+y2

3

=1的两个焦点，平面内一个动

点M满足MF1

-

MF2

=2则动点M的轨迹是（）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线

（5）、焦点三角形面积公式：

P在椭圆上时，S

∆F1PF2

=b2tanθ

2

P在双曲线上时，S

∆F1PF2

=b2cotθ

2

（其中

|PF|2+|PF|2-4c2

∠F1PF2=θ,cosθ=12,PF1∙PF2=|PF1||PF2|cosθ

|PF1|⋅|PF2|

）

（6）、记住焦半径公式：

（1）

椭圆焦点在x轴上时为a±ex0;焦点在y轴上

，可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|±a

（3）抛物线焦点在x轴上时为|x|+p,焦点在y轴上时为|y|+p

1212

（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）

设A（x,y）、（），（）为椭圆x2+y2=的弦中点

11Bx2,y2

Ma,b

1AB

43

则有

x2y2

x2y2

（x2-x2）（y2-y2）

1+1=1，2+2=1；两式相减得12+12=0

434343

⇒（x1-x2）（x1+x2）=-（y1-y2）（y1+y2）⇒k=-3a

43AB4b

2、联立消元法：

你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？

经典套路是什么？

如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式∆≥0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A（x1,y1）,B（x2,y2），将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为y=kx+b，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;

（2）若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：

第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。

第二问抓住

1

2

角A为900可得出AB⊥AC，从而得xx

+y1y2

-14（y1

+y2

）+16=0，

然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；

解：

（1）设B（x1,y1）,C（x2,y2）,BC中点为（x0,y0）,F（2,0）

x2y2x2y2

则有1+1=1,2+2=1

20162016

两式作差有

（x1

+x2）（x1-x2）+（y1-y2）（y1+y2）=0x0+y0k=0

201654

（1）

F（2,0）为三角形重心，所以由

x1+x2

3

=2，得x0

=3，由

y1+y2+4=0得y

30

=-2，代入

（1）得k=6

5

直线BC的方程为6x-5y-28=0

2）由AB⊥AC得x1x2+y1y2-14（y1+y2）+16=0

（2）

设直线BC方程为y=kx+b,代入4x2+5y2=80，得

（4+5k2）x2+10bkx+5b2-80=0

x+x=-10kb，xx=

124+5k212

5b2-80

4+5k2

y+y=8k,yy=

124+5k212

4b2-80k2

4+5k2

代入

（2）式得

9b2-32b-16

4+5k2

=0，解得b=4（舍）或b=-4

9

y+4

直线过定点（0，-4），设D（x,y），则

9

9y2+9x2-32y-16=0

9⨯y-4=-1，即

xx

所以所求点D的轨迹方程是

x2+（y-16）2=（20）2（y≠4）。

99

4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD中AB=2CD，点E分有向线段AC

所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当

2≤λ≤3时，求双曲线离心率e的取值范围。

34

分析：

本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问

题的能力。

建立直角坐标系xOy，如图，若设C⎛c,h⎫，代入

x2-y2=1，求得h=，进而求得x=

ç

2

⎝

y=

⎪

⎭

再代入

a2b2EE

x2-y2=

，建立目标函数f（a,b,c,λ）=0，整理f（e,λ）=0，此运

1

a2b2

算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数f（a,b,c,λ）=0，整理f（e,λ）=0,化繁为简.

解法一：

如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对

称

依题意，记A（-c,0），C⎛c,h⎫，E（x,y），

ç⎪00

2

⎝⎭

其中c=1|AB|为双曲线的半焦距，h是梯

2

形的高，由定比分点坐标公式得

-c+cλ

x0=2=

（λ-

（

2）c，

y=λh

01+λ

1+λ

2λ+1）

设双曲线的方程为x2-y2=，则离心率=c

e

1

a2b2a

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=c代入双

a

曲线方程得

e2-h2=，①

4b21

e2⎛λ-2⎫-⎛λ⎫h2=②

4çλ+1⎪çλ+1⎪b21

⎝⎭⎝⎭

由①式得

h2=e2-，③

1

b24

将③式代入②式，整理得

（

-

2

e44

λ）=1+

2λ，

4

故λ=1-

3

e2+1

由题设2≤λ≤3得，2≤1-3≤3

343

e2+24

解得7≤e≤10

所以双曲线的离心率的取值范围为[7,10]

分析：

考虑

AE,AC为焦半径,可用焦半径公式,

AE,AC用

E,C的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略．

解法二：

建系同解法一，AE

=-（a+exE）,AC

=a+exC，

-c+cλ

x=2=

E1+λ

（λ-2）c，又

2（λ+1）

λ

AE

AC

=1+λ

，代入整理λ=1-

3，

e2+1

由题设2≤λ≤3得，2≤1-3≤3

343

e2+24

解得7≤e≤10

所以双曲线的离心率的取值范围为[7,10]

5、判别式法

2

例3已知双曲线C:

y

2

-x2

2

=1，直线l过点A（

2,0），斜率为k，

当0

分析1：

解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从

“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：

过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式∆=0.由此出发，可设计如下解题

思路：

l:

y=k（x-2）

（0

直线l’在l的上方且到直线l的距离为2

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2k2+2

l':

y=kx+

-

2k

解得k的值

解题过程略.

分析2：

如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用

2

代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为”，

问题

关于x的方程

kx-2+x2-2k

k2+1

=2（0

转化为一元二次方程根的问题

相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：

求解

简解：

设点M（x,2+x2）为双曲线C上支上任一点，则点M

到直线l的距离为：

kx-2+x2-2k

k2+1

=2

（*）

（0

于是，问题即可转化为如上关于x的方程.

2+x2

2+x2

由于0x>kx，从而有

2+x2

kx-

于是关于x的方程（*）

-

2k

=-kx+

+2k.

2+x2

2（k2+1）

⇔-kx++2k=

⇔⎧⎪（

2+x2）2=（

2（k2+1）

-2k+kx）2,

⎨

2（k2+1）

⎩⎪2（k2+1）-2k+kx>0

2（k2+1）

⇔

⎧⎪（k2-1）x2+2k（

⎨

-2k）x+（

-2k）2-2=0,

⎩⎪2（k2+1）-

2k+kx>0.

由0

方程（k2-1）x2+2k（

2（k2+1）-

2k）x+（

2（k2+1）-

2k）2-2=0

的二根同正，故

2（k2+1）-

2k+kx>0恒成立，于是（*）等价于

（k2-1）x2+2k（

2（k2+1）-

2k）x+（

2（k2+1）-

2k）2-2=0.

由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式∆=0，就可解

25

5

得k=.

点评：

上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分

体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:

x2+2y2=8和点P（4，1），过P作直线交

椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使AP=-AQ，求动

PBQB

点Q的轨迹所在曲线的方程.

分析：

这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q（x,y）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选

择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？

一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：

AP=-AQ来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到

PBQB

x=4（xA+xB）-2xAxB，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程

8-（xA+xB）

代入椭圆C的方程，利用韦达