电梯调控问题的数学模型.docx
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电梯调控问题的数学模型
群控电梯调度方案优化的建模研究
摘要
随着城市中高层建筑的不断增多,作为垂直运输工具的电梯得到了越来越广泛的应用。
为满足楼内交通的需要，一座大楼往往安装多台电梯；尽管如此，上下班高峰时期的电梯仍然异常拥挤，且乘梯人员的侯梯时间往往较长；而大楼的物业管理方考虑到自己的成本问题，并不会增加电梯数量。
因此，设计一个合理的最优电梯调配方案，对于改善乘梯人员的乘梯环境，降低物业方的管理成本均具有极其重要的意义。
本文针对某商业中心写字楼早晚上下班高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以获得合理的优化方案。
主要分为三个问题解决：
第一个问题：
确定合理的模型评价指标；
第二个问题：
在不考虑写字楼地下部分等前提下，建立早晚高峰期的电梯调度的优化模型，并利用所提出的评价指标对各种方案进行比较，找出最优方案；
第三个问题：
将第二个问题中建立的简化模型进一步实际化，以得到尽量符合实际的电梯调度方案。
对于第一个问题，本文分别从乘梯人群和写字楼物业管理两方面的利益出发，选择每台电梯的平均载客量和电梯的总运行时间作为评价指标，并运用层次分析法确定二者权重，建立了综合的评价函数；很多研究高峰时期电梯调度问题的论文使用乘梯人员的等待时间和乘梯时间作为衡量电梯效率的标准，这样虽然通俗易懂，但他们在计算等待时间时为了简化计算，往往假设乘梯人群同时到达，这与实际不符，且误差较大；本文在假设高峰期内乘梯人群以一定的到达率到达乘梯起点前提下，采用电梯的平均载客量作为衡量标准。
对于第二个问题，本文采用分区调度的方法，将可能的方案按楼层分区的多少（分区数：
1~6）分为六类，综合运用各种规划方法计算出每个分区方案中最优的调度方案，再利用综合评价函数对这六个最优的调度方案进行评价，从而得出最终的最优调度方案；在计算各类分区方案中最优的调度方案时，本文糅合了理想点法、线性加权法和最大最小法，并采用层次分析法计算出的权重将多目标规划问题转化为单目标规划；在逐步分区讨论的过程中，本文采用动态规划的方法，在计算出第k类的最优方案的基础上再计算第k+1类的最优方案；结果发现，在该简化模型的前提下，最优的调度方案是分为六区（具体分区见正文）
对于第三个问题，本文去掉了简化模型中“不考虑地下两层”这一假设，并考虑到“应优先满足高层的乘梯人员的乘梯需求”这一实际情况，将简化模型解决的单起点多终点（或多起点单终点）问题扩展为多起点多终点问题，并且在评价指标中加入了“优先满足高层的乘梯人员的乘梯需求”这一标准；为解出这一复杂模型的最优解，本文在简化模型的最优解的基础上，进一步确定各电梯在地下一、二层和地上一层的停靠情况，从而得出更加符合实际情况的最优解；结果发现，最优方案为仍分为六个区，每个电梯在一楼和地下一、二层均停。
最后，本文对该模型进行了评价，并提出了改进方案。
关键词：
群控电梯；分区调度；多目标规划；层次分析法；优化模型；遍历搜索；最大最小原则；动态规划；0-1规划
第一部分问题重述···································3
第二部分问题分析···································4
第三部分模型假设···································7
第四部分定义与符号说明·····························7
第五部分模型的建立与求解···························8
1问题
（1）····································8
2问题
（2）····································9
3问题（3）····································13
第六部分模型的评价与推广···························14
第七部分参考文献···································14
第八部分附录
·······································15
一、问题重述
现代高层商务楼一般都配备多部电梯以满足楼内人员的需要。
但在上下班高峰期，仍会造成电梯使用紧张。
因此，确定一个合理的电梯调度方案，安排好各个电梯的运行方式，是大楼物业管理中的重要内容。
1基本条件：
某写字楼有22层上层建筑，2个地下停车场，6部电梯，每个电梯的容量均为20人。
经调查，该楼各层人数分布如表1。
表1：
该写字楼各层办公人数
楼层
人数
楼层
人数
楼层
人数
1
2
3
4
5
6
7
8
无
208
177
222
130
181
191
236
9
10
11
12
13
14
15
16
236
139
272
272
272
270
300
264
17
18
19
20
2l
22
200
200
200
200
207
207
2问题：
问题
（1）：
给出若干合理的模型评价指标来评价电梯调度方案是否合理
问题
（2）：
暂不考虑该写字楼的地下部分，假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
对此建立数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。
问题（3）：
将在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。
二、问题分析及思路流程图
（一）问题分析
1.问题
（1）的分析
问题
（1）属于模型的评价问题，其意义在于：
通过建立一个评价体系，对建模过程中提出的各种方案进行优劣的比较，进而找出最大限度满足各方需求的最优方案。
其步骤一般为：
首先找出模型的若干评价指标，并将其量化；其次根据实际情况，选择合适的数学方法确定各评价指标的权重；最后我们要建立一个综合的评价函数，并通过比较各方案对应评价函数值的大小确定其优劣。
寻找评价指标，一般应从各方利益的角度进行分析；本文所讨论的电梯调度问题主要涉及到乘梯人群与写字楼物业管理两方的利益，因此评价指标应从乘客和电梯两方面考虑。
确定各评价指标的权重，一般有统计平均法，便宜系数法，专家打分法，层次分析法等，考虑到可行性，本文采用层次分析法。
建立综合评价函数，在前两步的基础上，将各评价指标先进行标准化，再按权重相加，最后得出综合评价函数。
2.问题
（2）的分析
问题
（2）属于简化条件下的调度问题，在查阅已有资料的基础上，发现分区调度是解决该类问题的基本方法。
针对该题，可以首先采用分类讨论的方法，即将地上21层（不含一楼）分别分为1，2，3，4，5，6个区六种方案；然后针对各种方案分别计算出其目标函数（各个分区电梯平均载客量中的最大值与电梯总运行时间），并计算在其约束条件下目标函数的最小值，从而解出最优调度方案（各区的起始楼层及所用电梯数）；最后计算出各分区的最优调度方案的综合评价函数值，并进行比较，找出最终的最优调度方案。
这其实是由6个规划问题组成的最优化问题。
第一，每个小的规划问题，实际上是包含一个最大最小型目标函数的双目标函数规划问题；而多目标规划问题，需要化为单目标规划来解决，主要有理想点法，最大最小法，线性加权法等三种方法，考虑到问题的复杂性，需要综合利用这三种方法。
首先，借助理想点法的思想，分别独立地算出两个目标函数的最优解；其次，在计算第一个目标函数（各个分区电梯平均载客量中的最大值）的最优解时，需要采用最大最小法；最后，借助理想点法和线性加权法的思想，选择将综合评价函数作为第三个目标函数计算其在约束条件下的最优值，解出此最优值对应的各区的起始楼层及所用电梯数即为该分区方案的最优调度方案。
第二，对于不同的分区方案，为简化计算方法，提高运算效率，可以采取动态规划的方法，即先计算出只分为1个区时的最优方案，在此基础上计算2个分区的最优方案，依次类推，得出6种分区方案各自的最优调度方案。
第三，比较6种分区方案各自的最优调度方案对应的综合评价函数值，得出最终的最优调度方案
3.问题（3）的分析
问题（3）要求将问题
（2）中建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的调度问题；这属于模型的修改完善问题。
解决这类问题的主要思路是，将简化模型中比较理想的，与现实相差较大的假设条件放宽或去掉以尽量接近实际情况，并据此对已建立的模型进行修改完善。
问题
（2）建立的简化模型中与实际最不相符的假设是不考虑地下两层，实际情况是（对于上班高峰）乘梯人群并不全在一楼乘梯，而是以一定的比例分散在地上1层与地下1,2层；考虑到这一点我们需要将（对于上班高峰）单起点多终点的调度模型修改为多起点多终点的调度模型，并借助0—1规划的思想建立0—1函数决定某台电梯在3个起点（1层，-1层及-2层）的停靠情况；在这个基础上修改原模型，得出最优解。
问题
（2）建立的简化模型中与实际不相符的假设还有写字楼所有人员均乘坐电梯上楼，而实际情况是低层的工作人员在等待电梯时间过长时，往往选择通过楼梯上下楼，因此，在评价最优方案时，要优先考虑更能满足高层人员乘梯需求的调度方案。
（二）思路流程图
图
（1）总体思路流程图
图
（2）建立评价指标的思路流程图
图（3）建立简化模型的思路流程图
图（4）将模型进一步实际化的思路流程图
三、模型假设
1假设电梯上行过程中只考虑一楼门口乘客情况，其他楼层的请求暂不考虑。
而电梯下行过程中只考虑所控制楼层需下行的乘客情况，上行请求暂不考虑。
2电梯满载时电梯即自动关门，不考虑认为因素造成关门延时
3电梯在这段时间的服务是连续的不考虑因故障停电等因素暂停运营的情况
4同一区的电梯是均匀分布在该区所服务的楼层
5假设办公楼里的工作人员都乘坐电梯，不考虑低层人员步行的情况
6假设上班高峰期间，电梯上行只用来将乘客往上层运，电梯下行时空载；下班高峰期间，电梯上行时空载，下行时只用来将乘客往下层运
7电梯单位时间内功耗一定
8其他假设在需要时在文中补充说明
四、符号定义及说明
I楼层分区数
i第i区
第i区电梯控制楼层的最低层
第i区电梯控制楼层数
第i区电梯数
N写字楼总人数
第i区办公人数
第i区乘客平均到达率
第i区乘客平均到达率最大值
第i区乘客到达率
第i区电梯运行周期
k第k层
第k层人数
C电梯容量
五、模型的建立与求解
问题
（1）：
请给出若干合理的模型评价指标
一个合理的电梯调度方案应该既能够满足大楼内人员使用需要，又要降低成本，因此可以从乘客和电梯组两个角度考虑来评价调度方案是否合理。
1乘客角度
对于乘客来说，到达目标层用时是影响其满意度的主要因素。
而到达目标层需要经历两个阶段，等待时间和乘坐电梯时间。
这两个指标越小越好。
2电梯角度
对于电梯来说，一方面电梯利用率应尽可能高，最好每次都达到满载，这样也可避免电梯运转次数，另一方面，考虑成本问题，电梯的运行成本应由电梯需载人数及其到达楼层，电梯运行速度等决定，由于这两点给定，电梯的单位时间功耗一定，因此电梯运行总时间越短越好。
根据以上分析我们得到评价指标有：
乘客等待时间，乘坐电梯的时间，电梯的利用率，电梯运行总时间。
考虑到乘客的等待时间和电梯的运行周期有以及电梯的利用率有着密切的关系，我们引入理论电梯平均载客量。
设乘客平均到达率为
，电梯运行周期为T，电梯容量为C，那么在T时间内到达乘客数为
T，那么理论电梯平均载客量为
T。
若
T>C，必然会有一部分乘客不能坐上电梯，长时间下去会造成乘客在一楼大量积累，不能较好地完成任务；若
T因此理论电梯平均载客量
T与电梯容量C应越接近越好，且
T不能小于C，否则会造成电梯的利用率降低。
于是我们可把评价指标化为电梯平均载客量和电梯的运行总时间。
下面用层次分析法确定各指标的权重
1建立层次分析结构模型
根据分析简化后的指标建立的层次分析结构模型如下：
电梯调度合理性
理论电梯的平均载客量（即在电梯运行周期内到达的人数）与电梯的容量越接近越好，因此，这一指标用理论电梯平均载客量与电梯容量的接近程度来衡量。
电梯的总功耗与所有电梯运行时间之和有关，电梯运行总时间越短，电梯功耗越小。
2建立比较矩阵
利用1-9尺度法建立两两比较矩阵。
由于电梯首先是为乘客服务的，故让来的乘客尽可能的坐上电梯到达目的楼层。
而电梯的功耗则是其次的。
故确定的两两比较矩阵如下
41
11/4
3计算权向量并作一致性检验
由于是一致阵，根据一致阵的性质，
①秩为1，唯一非零特征根为n
②每一个列向量都是该矩阵的特征向量
③归一化特征向量可作为权向量
由此可得该比较阵的权向量w=（0.8,0.2）
0.80.2
问题
（2）
1建模前的准备
（1）乘客到达率的计算
我们假设80%的人在上班前半个小时陆续来到一楼大厅乘坐电梯，那么可得第i区每个电梯前乘客的到达率
（2）平均载客量的计算
对于第i区，每个电梯的平均载客量
（3）每区人数的计算
对于第i区，总人数
（4）电梯运行周期的计算
对于第i区的电梯，其运行周期
2模型的建立
对于上班乘电梯上行的情况：
由于不考虑地下两层，上班乘电梯是一个单起点多终点的问题
（1）目标函数
由于电梯的平均载客量在大于电梯容量的基础上应越接近电梯容量越好，故对于一种分区方案，用该分区方案中所有分区中平均载客量的最大值来衡量，该最大值越接近电梯容量越好。
由此可建立目标函数
由于目标函数中的先求最小再求最大可化为
电梯的运行总时间越短越好，由此可以建立目标函数
（2）约束条件
3模型的求解
为了把多目标规划问题化为单目标规划，我们采用理想点法，并在此过程中对不同的目标进行加权得到新的目标函数
其中A为目标函数
的最优点，B为目标函数
的最优点。
易知不分区（即分区为1）一定不是最优调控方案，不再计算不分区的情况。
我们借助动态规划思想并用matlab编程计算出分区I分别为2,3,4,5,6的情况下最优分区方案在通过比较确定了总的最优电梯调度方案，具体步骤：
（1）用matlab编程计算出分区为2时的最优分区方案（表2）；
（2）在分区为2的基础上，将其中一个区分成两个区，并找到分区为3时的最优分区方案（表4）；
（3）在分区为3的最优分区方案基础上，找到分区为4时的最优分区方案（表5）；
（4）在分区为4的最优分区方案基础上，找到分区为5时的最优分区方案（表6）；
（5）在分区为5的最优分区方案基础上，找到分区为6时的最优分区方案（表8）；
（6）通过比较分区数不同时的最优分区方案，得到总的最优分区方案（表8）
表2：
分区为2（最优分区方案）
区域编号
控制楼层
电梯数量/个
各区电梯运行总时间/秒
各区每部电梯平均载客量/人
总时间/秒
1
2—14层
3
21505.3
79.65
40838
2
15—22层
3
19333.1
71.60
表3：
分区为3（将表2中第1部分分开）
区域编号
控制楼层
电梯数量/个
各区电梯运行总时间/秒
各区每部电梯平均载客量/人
总时间/秒
1
2—7层
1
5745.8
57.18
35396.7
2
8—14层
2
10317.8
57.32
3
15—22层
3
19333.1
71.60
表4：
分区为3（将表2中第2部分分开）分区为3时的最优分区方案
区域编号
控制楼层
电梯数量/个
各区电梯运行总时间/秒
各区每部电梯平均载客量/人
总时间/秒
1
2—14层
3
21505.3
79.65
31456.2
2
15—19层
2
7201.9
40.01
3
20—22层
1
2749.0
30.54
表5：
分区为4时的最优分区方案
区域编号
控制楼层
电梯数量/个
各区电梯运行总时间/秒
各区每部电梯平均载客量/人
总时间/秒
1
2—7层
1
5745.8
57.18
25414.9
2
8—14层
2
10327.8
57.32
3
15—19层
2
7201.9
40.01
4
20—22层
1
2749.0
30.54
表6：
分区为5（将表5中第2区分开）分区为5时的最优分区方案
区域编号
控制楼层
电梯数量/个
各区电梯运行总时间/秒
各区每部电梯平均载客量/人
总时间/秒
1
2—7层
1
5745.8
57.18
22831.3
2
8—11层
1
2966.9
32.97
3
12—14层
1
4167.7
46.31
4
15—19层
2
7201.9
40.01
5
20—22层
1
2749.0
30.54
表7分区为5（将表5中3区分开）
区域编号
控制楼层
电梯数量/个
各区电梯运行总时间/秒
各区每部电梯平均载客量/人
总时间/秒
1
2—7层
1
5745.8
57.18
24515.6
2
8—14层
2
10317.8
57.32
3
15—18层
1
2567.01
28.52
4
18—19层
1
3136.0
34.84
5
20—22层
1
2749.0
30.54
表8分区为6时的最优分区方案
区域编号
控制楼层
电梯数量/个
各区电梯运行总时间/秒
各区每部电梯平均载客量/人
总时间/秒
1
2—7层
1
5745.8
57.18
21332.4
2
8—11层
1
2966.9
32.97
3
12—14层
1
4167.7
46.31
4
15—18层
1
2567.01
28.52
5
18—19层
1
3136.0
34.84
6
20—22层
1
2749.0
30.54
比较各个分区中电梯总运行时间和平均载客量可知，当采用表8方案时无论是电梯总运行时间还是平均载客量都是最小，而对应的综合评价函数随这两个指标的下降而下降。
因此，表8所示方案的综合评价函数值最小，为该楼电梯调度的最优方案。
对于下班乘电梯下行的情况：
由于不考虑地下两层，下班乘电梯是一个多起点单终点的问题。
我们同样引入平均载客量和到达率，电梯能把它所控制的楼层在它运行周期所到达的人运走的越多越好。
假设下班高峰期间，电梯上行时空载，下行时只用来将乘客往下层运。
这样晚上下班乘电梯相当于早晨上班乘电梯的一个逆过程。
那么最优分区方案应和早晨上班时一样。
问题（3）
问题（3）的任务是将问题
（2）中提出的简化模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实中的电梯调度问题。
为完成这一任务，需要对问题
（2）中提出的简化模型的前提假设进行进一步估量，去除其中与现实相差较大的部分，并据此对模型进行修改。
1模型假设
（1）去掉简化模型中“不考虑地下两层”的假设
（2）去掉简化模型中“所有人员均乘坐电梯上楼”的假设
（3）其余假设不变
2评价标准的修正
（1）保留原评价标准
（2）在原评价标准的基础上，添加“优先满足高层乘梯人员的乘梯需求”这一条
3模型的修正
设0-1函数
表示第i分区中的第m台电梯（m=1,2,3,4,5,6）在第k层（k=-2，-1，1）是否停靠（停靠取1，不停靠取0）；
设函数
表示上（下）班高峰时，以第k层为起（终）点的人数占总人数的比例；
那么，问题
（2）中建立的简化模型应做如下修改：
第i分区的电梯运行周期修正为
第i分区中的第m台电梯的平均载客量修正为
4模型的求解
在简化模型得出的最优解的基础上，解得修正后的模型的最优解为：
（1）楼层分区结果仍为表8所示
（2）所有电梯在地上一层和地下一、二均停靠
六、模型的评价与推广
模型的优势：
（1）在分析评价指标时，引入了电梯平均载客量，利用乘客到达率与电梯运行周期，综合考虑了乘客等待时间和电梯的利用率，并巧妙的避开了乘客平均等待时间难以计算的问题。
（2）在确定最优方案化多目标规划为单目标规划的过程中，综合考虑到各个指标的权重不同，将理想点法和权重系数法综合起来，更直观地体现出电梯是为乘客服务，评价时更要考虑乘客感受这一思想。
（3）该模型对分区方案的求解是一个比较典型的规划问题。
对于一般的楼房电梯调度具有较高的适应性。
模型的不足：
（1）没有考虑底层员工会因为等电梯时间长于走楼梯时间而不乘坐电梯的情况。
（2）模型建立时没有考虑电梯控制楼层不连续的情况，而直接按分区处理。
（3）在分区时，没有考虑不同电梯控制的楼层之间是否有交叉。
七、参考文献
【1】、卓金武MATLAB在数学建模中的应用北京航空航天出版社
【2】、孙凤欣、蔡军伟乘客等待条件下的电梯优化调度模型宁波工程学报，2008年6月
【3】、陈希、麦学湖、魏景焕基于非线性规划的电梯调度研究自动化与仪表，2011年第1期
【4】、曹卫华郭正最优化技术方法及MATLAB的实现化学工业出版社
八、附件
附录一：
将楼层分为两部分
clc;clear;
rs=[0208177222130181191236236139272272272270300264200200200200207207];
S=sum（rs）;
fori=3:
22
N1（i）=0;
forj=2:
i-1
N1（i）=N1（i）+rs（j）;
end
N2（i）=S-N1（i）;
T1（i）=6*2+16*（i-2）+8;
T2（i）=6*i+16*（23-i）+8;
r1（i）=0.8*N1（i）/1800;
r2（i）=0.8*N2（i）/1800;
fork=1:
5
F1（i,k）=max（r1（i）*T1（i）/k,r2（i）*T2（i）/（6-k））;
end
F2（i）=0.8*N1（i）*T1（i）/20+0.8*N2（i）*T2（i）/20;
end
fori=1:
2
form=1:
5
F1（i,m）=inf;
end
end
F2
（1）=inf;
F2
（2）=inf;
A=min（min（F1））;
B=min（F2）;
end
fori=3:
22
fork=1:
5
F3（i,k）=0.8*（F1（i,k）/A-1）^2+0.2*（F2（i）/B-1）^2;
end
end
fori=1:
2
form=1:
5
F3（i,m）=inf;
end
end
C=min（min（F3））;
fori=3
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