二次函数压轴题.docx
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二次函数压轴题
2015年中考压轴题
说明：
由于中考所考内容为初中大部分内容∴关于二次函数的压轴题很少会单纯的考二次函数，必定结合几何内容，故部分试题会结合几何内容
·在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：
y＝x2＋bx＋c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：
y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
·
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A（－1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C．点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE．过点E作直线l⊥x轴于点H，过点C作CF⊥l于点F．
（1）求抛物线解析式．
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长．
（3）在
（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值．
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？
若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
·
如图，一次函数y＝kx＋2与反比例函数
（x＞0）的图象交于点A，与y轴交于点M，与x轴交于点N，且AM︰MN＝1︰2，则k＝________．
·小明开了一家网店，计划经销甲、乙两种商品，若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件，为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元．
（1）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：
y甲＝________，y乙＝________．
（2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式．如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的
，那么当x定为多少时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？
·
如图，已知经过点D（2，
）的抛物线
（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）填空：
m的值为________，点A的坐标为________．
（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：
连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE＝∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E．
（3）动点M，N分别在射线AB，AE上，求ME＋MN的最小值．
（4）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G．请你探究：
是否存在点P，使以P，G，A为顶点的三角形与△ABD相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
·
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴、y轴分别交于A，B，C三点．已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点D出发沿线段DB向终点B运动．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分子点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时点G的坐标．
（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x＝3向上运动，且速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为ts，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？
并直接写出相应t值．
·如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b－1）x+c的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
·
如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．
（1）填空：
点C的坐标为（________，________），点D的坐标为（________，________）；
（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD－PC|最大时，求a的值并在图中标出点P的位置；
（3）在
（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值是S最大，最大值为多少？
·抛物线
上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y＝－1的距离相等．你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋1与y轴交于C点，与函数
的图象交于A、B两点，分别过A、B两点作直线y＝－1的垂线，交于E、F两点．
（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF＝90°；
（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．
①求证：
PE2＋PF2＝2（PM2＋EM2）；
②已知PE＝PF＝3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．
·
如图，已知点D在双曲线
（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点；抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO＝∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
·
如图，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是_____，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是____；
（2）若两个三角形的面积满足
，求m的值；
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：
①PD＋DQ的最大值；
②PD·DQ的最大值．
·
如图，已知二次函数L1：
y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0）和二次函数L2：
y＝－a（x＋1）2＋1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
（1）函数y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0）的最小值为________；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是________；
（2）当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状；
（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程－a（x＋1）2＋1＝0的解．
·
已知抛物线y=－mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且
.
（1）求抛物线的解析式.
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E.是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？
若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.
·
如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（－1，0）；⑤当1·
如图，抛物
与直线
交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，A（0，3），C（3，0）.
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：
是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒
个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
·
在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（－1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．
·
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（－1，0），（0，－2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧
上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.
（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？
如果存在，清直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
·
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2－8mx+4m+2（m>2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2－x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0（3）当t>2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
·
已知：
抛物线l1：
y=－x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，
）.
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值.
·
如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE.
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：
当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：
对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
·
已知抛物线C1：
（a≠0）经过点A（－1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；
（2）如图1，把抛物线C1沿直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在
（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点．当点M从点B向点C运动时：
①tan∠ENM的值如何变化？
请说明理由；
②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．
·
如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：
m）与飞行时间t（单位：
s）之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？
最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：
m）与飞行时间t（单位：
s）之间具有函数关系x＝10t．已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
·如图，已知抛物线
与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）设动点N（－2，n），求使MN＋BN的值最小时n的值；
（3）P是抛物线上一点，请你探究：
是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
·如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：
①b2＞4ac ②2a＋b＝0 ③a＋b＋c＞0
④若点B（
，y1）、C（
，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．
其中正确结论是________.
·已知抛物线
与x轴交于A（－1，0），B两点，交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点（O、B），P，PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长.
·
边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
·
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC.则下列结论：
①abc<0；②
；③ac－b+1=0；④
.其中正确结论的个数是__________.
·
在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x＋4经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图
（1），当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图
（2），过点O，P的直线y＝kx交AC于点E，若PE︰OE＝3︰8，求k的值．
·
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数是_________.
·
如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：
四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的□DEFG？
（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出□DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
·
如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将
（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
·
若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．
（1）当x1＝c＝2，
时，求x2与b的值；
（2）当x1＝2c时，试问△ABM能否为等边三角形？
判断并证明你的结论；
（3）当x1＝mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．
·
已知抛物线的表达式为y＝－x2＋6x＋c．
（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2，若
，求c的值；
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于x轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：
．
·
已知抛物线E1：
y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.
（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式.
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
·
如图1，关于x的二次函数y=－x2+bx+c经过点A（－3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？
若存在，求出点P，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？
若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由.
·
如图，已知抛物线
与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：
________．
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？
最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
·
如图，反比例函数
的图象经过二次函数y＝ax2＋bx图象的顶点（
，0）（m＞0），则有（ ）
A．a＝b＋2kB．a＝b－2kC．k＜b＜0D．a＜k＜0
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