届高考数学理科一轮复习考纲解读学案第2章 函数导数及其应用 第4讲.docx

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届高考数学理科一轮复习考纲解读学案第2章函数导数及其应用第4讲

第4讲　二次函数与幂函数

[考纲解读]　1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．（重点、难点）

2.掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．（重点）

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.

1．二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

②顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）．

③两根式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

（2）二次函数的图象和性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0）

图象

定义域

R

R

续表

2．幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

（2）常见的5种幂函数的图象

（3）常见的5种幂函数的性质

1．概念辨析

（1）函数y＝2x是幂函数．（　　）

（2）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．（　　）

（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数．（　　）

（4）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．小题热身

（1）若a<0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是（　　）

A．0.2a<5a<0.5aB．5a<0.5a<0.2a

C．0.5a<0.2a<5aD．5a<0.2a<0.5a

答案　B

解析　因为a<0，所以函数y＝xa在（0，＋∞）上是减函数，又因为0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a.

（2）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则函数的解析式为________．

答案　f（x）＝x

解析　设f（x）＝xα，因为函数f（x）的图象过点（2，），所以＝2α，即2＝2α，所以α＝，所以f（x）＝x.

（3）若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________．

答案　－2

解析　y＝－2x2－4x＋t＝－2（x2＋2x）＋t＝－2[（x＋1）2－1]＋t＝－2（x＋1）2＋2＋t.

因为此函数的图象的顶点（－1,2＋t）在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.

（4）函数f（x）＝－x2＋2x（0≤x≤3）的值域是________．

答案　[－3,1]

解析　因为f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，所以f（x）在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又因为f（0）＝0，f

（1）＝1，f（3）＝－3，所以函数f（x）的值域为[－3,1]．

题型　幂函数的图象与性质

1．已知幂函数f（x）的图象经过点（9,3），则f

（2）－f

（1）＝（　　）

A．3B．1－C.－1D．1

答案　C

解析　设f（x）＝xα，因为函数f（x）的图象经过点（9,3），所以3＝9α，解得α＝.所以f（x）＝x.所以f

（2）－f

（1）＝－1.

2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　）

A．d>c>b>aB．a>b>c>d

C．d>c>a>bD．a>b>d>c

答案　B

解析　观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0

由图象可知2c>2d，所以c>d.

综上知a>b>c>d.

3．若（2m＋1）>（m2＋m－1），则实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C．（－1,2）D.

答案　D

解析　因为函数y＝x在[0，＋∞）是增函数，

且（2m＋1）>（m2＋m－1），

所以解得≤m<2.

1．求幂函数的解析式

幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

2．幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：

α取值

α>1

0<α<1

α<0

图象

特殊点

过点（0,0），（1,1）

过点（0,0），（1,1）

过点（1,1）

凹凸性

下凸

上凸

下凸

单调性

递增

递增

递减

举例

y＝x2

y＝x

y＝x－1，

y＝x－

3．幂函数单调性的应用

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2＋m－1）·x－5m－3为减函数，则实数m的值为（　　）

A．－2B．1

C．1或－2D．m≠

答案　B

解析　由题意得解得m＝1.

2．（2016·全国卷Ⅲ）已知a＝2，b＝3，c＝25，则（　　）

A．b

C．b

答案　A

解析　因为a＝2＝4，c＝25＝5，而函数y＝x在（0，＋∞）上单调递增，所以3<4<5，即b

题型　求二次函数的解析式

已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

解　解法一：

（利用二次函数的一般式）

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

由题意得解得

故所求二次函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

解法二：

（利用二次函数的顶点式）

设f（x）＝a（x－m）2＋n.

∵f

（2）＝f（－1），

∴抛物线的对称轴为x＝＝.

∴m＝，又根据题意函数有最大值8，

∴n＝8，

∴y＝f（x）＝a2＋8.

∵f

（2）＝－1，∴a2＋8＝－1，

解得a＝－4，

∴f（x）＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

解法三：

（利用两根式）

由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1），

即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，

∴＝8.

解得a＝－4或a＝0（舍去），

故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

条件探究1　将举例说明中的“f

（2）＝－1，f（－1）＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为（0,0）和（－2,0）”，其他条件不变，如何求解？

解　设f（x）＝ax（x＋2）．

因为函数f（x）的最大值为8，

所以a<0，且f（x）max＝f（－1）＝－a＝8，所以a＝－8，

所以f（x）＝－8x（x＋2）＝－8x2－16x.

条件探究2　将举例说明中条件变为：

二次函数f（x）的图象经过点（4,3），在x轴上截得的线段长为2，且对∀x∈R，都有f（2＋x）＝f（2－x），试确定f（x）的解析式．

解　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，

所以f（x）的对称轴为x＝2.

又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2，

所以f（x）＝0的两根为1和3.

设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）．

又因为f（x）的图象过点（4,3），所以3a＝3，a＝1.

所以f（x）的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），

即f（x）＝x2－4x＋3.

求二次函数解析式的方法

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），满足①不等式f（x）＋2x>0的解集为{x|1

解　因为f（x）＋2x>0的解集为（1,3），

设f（x）＋2x＝a（x－1）（x－3），且a<0，

所以f（x）＝a（x－1）（x－3）－2x＝ax2－（2＋4a）x＋3a.

由方程f（x）＋6a＝0得ax2－（2＋4a）x＋9a＝0.

因为方程有两个相等的实数根，

所以Δ＝[－（2＋4a）]2－4a·9a＝0，

解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1.

所以f（x）＝－x2－x－.

题型　二次函数的图象与性质

角度1　二次函数的图象

1．（2019·重庆五中模拟）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（　　）

答案　C

解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.

角度2　二次函数的单调性

2．（2019·河南中原名校联考）已知函数f（x）＝2ax2＋4（a－3）x＋5在区间（－∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　因为函数f（x）＝2ax2＋4（a－3）x＋5在区间（－∞，3）上是减函数，

当a≠0时，a须满足

解得0

当a＝0时，f（x）＝－12x＋5在（－∞，3）上是减函数．

综上知，a的取值范围是.

角度3　二次函数的最值

3．（2018·浙江杭州模拟）已知f（x）＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为（　　）

A.B．1或

C．－1或D．－5或

答案　D

解析　f（x）＝－42－4a，对称轴为直线x＝.

①当≥1，即a≥2时，f（x）在[0,1]上递增，

∴ymax＝f

（1）＝－4－a2.令－4－a2＝－5，得a＝±1（舍去）．

②当0<<1，即0

③当≤0，即a≤0时，f（x）在[0,1]上递减，

∴ymax＝f（0）＝－4a－a2.

令－4a－a2＝－5，

解得a＝－5或a＝1（舍去）．

综上所述，a＝或－5.故选D.

角度4　与二次函数有关的恒成立问题

4．

（1）（2018·武邑调研）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x≥0时，f（x）＝x3，若不等式f（－4t）>f（2m＋mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－）

B．（－，0）

C．（－∞，0）∪（，＋∞）

D．（－∞，－）∪（，＋∞）

（2）当x∈（1,3）时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．

答案　

（1）A　

（2）（－∞，－5]

解析　

（1）当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x3，∴f（x）＝x3（x∈R），易知f（x）在R上是增函数，结合f（－4t）>f（2m＋mt2）对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈（－∞，－）．

（2）设f（x）＝x2＋mx＋4.

因为x∈（1,3）时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，

所以即

解得m≤－5，

所以m的取值范围是（－∞，－5]．

1．识别二次函数图象应学会“三看”

2．研究二次函数单调性的思路

（1）二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．

（2）若已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）在区间A上单调递减（单调递增），则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧（右侧）．如举例说明2.

3．二次函数最值问题的解法

抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．如举例说明3.

4．与二次函数有关的不等式恒成立的条件

（1）ax2＋bx＋c>0（a≠0）恒成立的充要条件是

（2）ax2＋bx＋c<0（a≠0）恒成立的充要条件是如举例说明4

（1）．

（3）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.

（4）f（x）＝ax2＋bx＋c<0（a>0）在（m，n）上恒成立⇔如举例说明4

（2）．

（5）f（x）＝ax2＋bx＋c>0（a<0）在[m，n]上恒成立⇔　

1．（2019·郑州模拟）对数函数y＝logax（a>0且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一坐标系内的图象可能是（　　）

答案　A

解析　当01时，y＝logax为增函数，y＝（a－1）x2－x开口向上，其对称轴为x＝>0，排除B.故选A.

2．（2018·四川成都七中模拟）函数f（x）＝的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，－2]B．（－∞，1]

C．[1，＋∞）D．[4，＋∞）

答案　D

解析　由x2－2x－8≥0得x≥4或x≤－2，

令x2－2x－8＝t，则y＝为增函数，

∴t＝x2－2x－8在[4，＋∞）上的增区间是所求函数的单调递增区间，

∴所求函数的单调递增区间为[4，＋∞）．

3．（2019·陕西西安模拟）已知函数f（x）＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,2]

C．[－1,2]D．[2,5]

答案　C

解析　∵f（x）＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，

∴当x＝2时，f

（2）＝4，

由f（x）＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，

∴要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2.

4．已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．

当x＝0时，－3<0，成立；

当x≠0时，a<2－，

因为∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），

当x＝1时，右边取最小值，∴a<.

综上，实数a的取值范围是.